（福建專版）2019高考數(shù)學一輪復習 課時規(guī)范練25 平面向量的數(shù)量積與平面向量的應用 文.docx
課時規(guī)范練25 平面向量的數(shù)量積與平面向量的應用
基礎鞏固組
1.對任意平面向量a,b,下列關系式不恒成立的是( )
A.|ab|≤|a||b|
B.|a-b|≤||a|-|b||
C.(a+b)2=|a+b|2
D.(a+b)(a-b)=a2-b2
2.已知a,b為單位向量,其夾角為60,則(2a-b)b= ( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
3.(2017河南新鄉(xiāng)二模)已知向量a=(1,2),b=(m,-4),若|a||b|+ab=0,則實數(shù)m等于( )
A.-4 B.4
C.-2 D.2
4.(2017河南濮陽一模,文3)若向量BA=(1,2),CA=(4,5),且CB(λBA+CA)=0,則實數(shù)λ的值為( )
A.3 B.-92
C.-3 D.-53
5.在四邊形ABCD中,AC=(1,2),BD=(-4,2),則該四邊形的面積為( )
A.5 B.25
C.5 D.10
6.(2017河北唐山期末)設向量a與b的夾角為θ,且a=(-2,1),a+2b=(2,3),則cos θ=( )
A.-35 B.35
C.55 D.-255
7.(2017河北邯鄲二模,文4)已知向量a=(m,2),b=(2,-1),且a⊥b,則|2a-b|a(a+b)等于( )
A.-53 B.1 C.2 D.54
8.(2017北京,文7)設m,n為非零向量,則“存在負數(shù)λ,使得m=λn”是“mn<0”的( )
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
9.若向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,則x= .
10.(2017廣東、江西、福建十校聯(lián)考,文13)已知點A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(2,2),則向量AB在CD方向上的投影為 .
11.(2017江西重點中學盟校二模,文17)在△ABC中,已知ABAC=3BABC.
(1)求證:tan B=3tan A;
(2)若cos C=55,求角A的度數(shù).
?導學號24190750?
綜合提升組
12.(2017安徽蚌埠一模,文6)已知非零向量m,n滿足3|m|=2|n|,其夾角為60,若n⊥(tm+n),則實數(shù)t的值為( )
A.3 B.-3 C.2 D.-2?導學號24190751?
13.(2017河北邯鄲一模,文3)已知向量a,b滿足|a|=2,|b|=3,(a-b)a=1,則a與b的夾角為( )
A.π6 B.π4 C.π3 D.π2
14.(2017河北武邑中學一模,文11)在Rt△ABC中,CA=CB=3,M,N是斜邊AB上的兩個動點,且MN=2,則CMCN的取值范圍為( )
A.2,52 B.[2,4]
C.[3,6] D.[4,6]
15.(2017江蘇南京一模,9)已知△ABC是直角邊長為4的等腰直角三角形,D是斜邊BC的中點,AM=14AB+mAC,向量AM的終點M在△ACD的內部(不含邊界),則AMBM的取值范圍是 .
16.(2017江蘇,12)如圖,在同一個平面內,向量OA,OB,OC的模分別為1,1,2,OA與OC的夾角為α,且tan α=7,OB與OC的夾角為45.若OC=mOA+nOB(m,n∈R),則m+n=.
創(chuàng)新應用組
17.已知△ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內一點,則PA(PB+PC)的最小值是( )
A.-2 B.-32 C.-43 D.-1
18.(2017遼寧沈陽二模)已知向量OA=(3,1),OB=(-1,3),OC=mOA-nOB(m>0,n>0),若m+n∈[1,2],則|OC|的取值范圍是( )
A.[5,25] B.[5,210)
C.(5,10) D.[5,210]
答案：
1.B A項,設向量a與b的夾角為θ,
則ab=|a||b|cos θ≤|a||b|,所以不等式恒成立;
B項,當a與b同向時,|a-b|=||a|-|b||;當a與b非零且反向時,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||.故不等式不恒成立;
C項,(a+b)2=|a+b|2恒成立;
D項,(a+b)(a-b)=a2-ab+ba-b2=a2-b2,故等式恒成立.
綜上,選B.
2.B 由已知,得|a|=|b|=1,a與b的夾角θ=60,
則(2a-b)b=2ab-b2
=2|a||b|cos θ-|b|2
=211cos 60-12=0,
故選B.
3.C 設a,b的夾角為θ,
∵|a||b|+ab=0,
∴|a||b|+|a||b|cos θ=0,
∴cos θ=-1,
即a,b的方向相反.
又向量a=(1,2),b=(m,-4),
∴b=-2a,∴m=-2.
4.C ∵BA=(1,2),CA=(4,5),
∴CB=CA+AB=CA-BA=(3,3),
λBA+CA=(λ+4,2λ+5).
又CB(λBA+CA)=0,
∴3(λ+4)+3(2λ+5)=0,
解得λ=-3.
5.C 依題意,得ACBD=1(-4)+22=0,∴AC⊥BD.
∴四邊形ABCD的面積為12|AC||BD|=1212+22(-4)2+22=5.
6.A ∵向量a與b的夾角為θ,且a=(-2,1),a+2b=(2,3),
∴b=a+2b-a2=(2,1),
∴cos θ=ab|a||b|=-4+155=-35.
7.B ∵a=(m,2),b=(2,-1),且a⊥b,
∴ab=2m-2=0,解得m=1,
∴a=(1,2),2a-b=(0,5),
|2a-b|=5.
又a+b=(3,1),a(a+b)=13+21=5,
∴|2a-b|a(a+b)=55=1.
8.A m,n為非零向量,若存在λ<0,使m=λn,即兩向量反向,夾角是180,則mn=|m||n|cos 180=-|m||n|<0.反過來,若mn<0,則兩向量的夾角為(90,180],并不一定反向,即不一定存在負數(shù)λ,使得m=λn,所以“存在負數(shù)λ,使得m=λn”是“mn<0”的充分而不必要條件.故選A.
9.-23 ∵a⊥b,∴ab=x+2(x+1)=0,解得x=-23.
10.115 由A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(2,2),得AB=(2,1),CD=(4,3),
故向量AB在CD方向上的投影為ABCD|CD|=24+1342+32=115.
11.解 (1)∵ABAC=3BABC,
∴cbcos A=3cacos B,即bcos A=3acos B,由正弦定理,得sin Bcos A=3sin Acos B.
又0<A+B<π,
∴cos A>0,cos B>0,
在等式兩邊同時除以cos Acos B,可得tan B=3tan A.
(2)∵cos C=55,0<C<π,
∴sin C=255,∴tan C=2,
∴tan[π-(A+B)]=2,
即tan(A+B)=-2,
∴tanA+tanB1-tanAtanB=-2,
將tan B=3tan A代入,得tanA+3tanA1-3tan2A=-2,
整理得3tan2A-2tan A-1=0,即(tan A-1)(3tan A+1)=0,
解得tan A=1或tan A=-13.
又cos A>0,∴tan A=1.
又角A為△ABC的內角,
∴A=π4.
12.B ∵n⊥(tm+n),∴n(tm+n)=tmn+n2=t|m||n|12+|n|2=t13|n|2+|n|2=0,解得t=-3.故選B.
13.C 設a,b的夾角為θ,∵向量a,b滿足|a|=2,|b|=3,且(a-b)a=1,
∴a2-ba=1,
∴22-32cos θ=1,
解得cos θ=12,
∴a與b的夾角為π3.故選C.
14.D 以C為坐標原點,CA為x軸建立平面直角坐標系,
則A(3,0),B(0,3),∴AB所在直線的方程為y=3-x.
設M(a,3-a),N(b,3-b),且0≤a≤3,0≤b≤3,不妨設a>b,
∵MN=2,∴(a-b)2+(b-a)2=2,∴a-b=1,∴a=b+1,∴0≤b≤2,
∴CMCN=(a,3-a)(b,3-b)=2ab-3(a+b)+9=2(b2-2b+3),0≤b≤2,
∴當b=1時有最小值4;當b=0或b=2時有最大值6,
∴CMCN的取值范圍為[4,6].
15.(-2,6) 以A為坐標原點,AB為x軸,AC為y軸建立平面直角坐標系,如圖所示,則A(0,0),B(4,0),C(0,4),D(2,2),
所以AM=14AB+mAC=14(4,0)+m(0,4)=(1,4m),則M(1,4m).
∵點M在△ACD的內部(不含邊界),∴1<4m<3,14<m<34,
則AMBM=(1,4m)(-3,4m)=16m2-3,∴-2<16m2-3<6,故答案為(-2,6).
16.3 |OA|=|OB|=1,|OC|=2,
由tan α=7,α∈[0,π]得0<α<π2,sin α>0,cos α>0,tan α=sinαcosα,sin α=7cos α,又sin2α+cos2α=1,得sin α=7210,cos α=210,OCOA=15,OCOB=1,OAOB=cosα+π4=-35,得方程組m-35n=15,-35m+n=1,解得m=54,n=74,所以m+n=3.
17.B 以BC所在的直線為x軸,BC的垂直平分線AD為y軸,D為坐標原點建立平面直角坐標系,如圖.
可知A(0,3),B(-1,0),C(1,0).
設P(x,y),則PA=(-x,3-y),PB=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y).
所以PB+PC=(-2x,-2y).
所以PA(PB+PC)=2x2-2y(3-y)=2x2+2y-322-32≥-32.
當點P的坐標為0,32時,PA(PB+PC)取得最小值為-32,故選B.
18.B ∵OA=(3,1),OB=(-1,3),OC=mOA-nOB=(3m+n,m-3n),
∴|OC|=(3m+n)2+(m-3n)2
=10(m2+n2),
令t=m2+n2,則|OC|=10t,
而m+n∈[1,2],即1≤m+n≤2,在平面直角坐標系中表示如圖所示,
t=m2+n2表示區(qū)域中任意一點與原點(0,0)的距離,
分析可得22≤t<2.又由|OC|=10t,故5≤|OC|<210.
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