課時(shí)規(guī)范練21　三角恒等變換 基礎(chǔ)鞏固組 1.函數(shù)f(x)=(3sin x+cos x)(3cos x-sin x)的最小正周期是(　　) 　　　　　　　　　　　　　 A.π2 B.π C.3π2 D.2π 2.(2017安徽蚌埠一模,文3)已知sinα+π5=33,則cos2α+2π5=(　　) A.13 B.33 C.23 D.32 3.已知2sin 2α=1+cos 2α,則tan 2α=(　　) A.43 B.-43 C.43或0 D.-43或0 4.已知cos2π3-2θ=-79,則sinπ6+θ的值等于 (　　) A.13 B.13 C.-19 D.19 5.已知f(x)=sin2x+sin xcos x,則f(x)的最小正周期和一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間分別為(　　) A.π,[0,π] B.2π,-π4,3π4 C.π,-π8,3π8 D.2π,-π4,π4 6.(2017湖北武漢二月調(diào)考,文9)為了得到函數(shù)y=sin 2x+cos 2x的圖象,可以將函數(shù)y=cos 2x-sin 2x的圖象(　　) A.向右平移π4個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向左平移π4個(gè)單位長(zhǎng)度 C.向右平移π2個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向左平移π2個(gè)單位長(zhǎng)度 7.設(shè)f(x)=1+cos2x2sinπ2-x+sin x+a2sinx+π4的最大值為2+3,則實(shí)數(shù)a=　　　　　. 8.(2017江蘇無(wú)錫一模,12)已知sin α=3sinα+π6,則tanα+π12=. 9.(2017北京東城一模,文15)已知點(diǎn)π4,1在函數(shù)f(x)=2asin xcos x+cos 2x的圖象上. (1)求a的值和f(x)的最小正周期; (2)求函數(shù)f(x)在(0,π)上的單調(diào)減區(qū)間. ?導(dǎo)學(xué)號(hào)24190743? 10.(2017山東濰坊二模,文17)已知函數(shù)f(x)=23sinωx+π6cos ωx(0<ω<2),且f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)5π12,32. (1)求ω的值及函數(shù)f(x)的最小正周期; (2)將y=f(x)的圖象向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,已知gα2=536,求cos2α-π3的值. 綜合提升組 11.(2017河南濮陽(yáng)一模,文10)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)+1ω>0,0<φ≤π2的圖象的相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為π,且在x=π6時(shí)取得最大值2,若f(α)=95,且π6<α<2π3,則sin2α+2π3的值為(　　) A.1225 B.-1225 C.2425 D.-2425 12.已知函數(shù)f(x)=cos ωx(sin ωx+3cos ωx)(ω>0),若存在實(shí)數(shù)x0,使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,都有f(x0)≤f(x)≤f(x0+2 016π)成立,則ω的最小值為(　　) A.12 016π B.14 032π C.12 016 D.14 032 ?導(dǎo)學(xué)號(hào)24190744? 13.已知cos α=13,cos(α+β)=-13,且α,β∈0,π2,則cos(α-β)的值為　　　　　. 14.(2017山東濰坊一模,文16)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,已知A為銳角,且bsin Acos C+csin Acos B=32a. (1)求角A的大小; (2)設(shè)函數(shù)f(x)=tan Asin ωxcos ωx-12cos 2ωx(ω>0),其圖象上相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸間的距離為π2,將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移π4個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求函數(shù)g(x)在區(qū)間-π24,π4上的值域. ?導(dǎo)學(xué)號(hào)24190745? 創(chuàng)新應(yīng)用組 15.(2017福建福州一模,文10)已知m=tan(α+β+γ)tan(α-β+γ),若sin 2(α+γ)=3sin 2β,則m=(　　) A.-1 B.34 C.32 D.2 16.(2017遼寧沈陽(yáng)一模,文17)已知函數(shù)f(x)=2cos2x+23sin xcos x+a,且當(dāng)x∈0,π2時(shí),f(x)的最小值為2. (1)求a的值,并求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)先將函數(shù)y=f(x)的圖象上的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的12,再將所得圖象向右平移π12個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求方程g(x)=4在區(qū)間0,π2上所有根之和. 答案： 1.B　f(x)=2sinx+π62cosx+π6=2sin2x+π3,故最小正周期T=2π2=π,故選B. 2.A　由題意sinα+π5=33, ∴cos2α+2π5=cos 2α+π5=1-2sin2α+π5=1-2332=13.故選A. 3.C　因?yàn)?sin 2α=1+cos 2α, 所以2sin 2α=2cos2α. 所以2cos α(2sin α-cos α)=0, 解得cos α=0或tan α=12. 若cos α=0,則α=kπ+π2,k∈Z,2α=2kπ+π,k∈Z, 所以tan 2α=0. 若tan α=12, 則tan 2α=2tanα1-tan2α=43. 綜上所述,故選C. 4.B　∵cos2π3-2θ=-79, ∴cosπ-π3+2θ =-cosπ3+2θ =-cos 2π6+θ =-1-2sin2π6+θ=-79, 解得sin2π6+θ=19, ∴sinπ6+θ=13.故選B. 5.C　由f(x)=sin2x+sin xcos x=1-cos2x2+12sin 2x =12+2222sin2x-22cos2x=12+22sin2x-π4, 則T=2π2=π.又2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2(k∈Z), ∴kπ-π8≤x≤kπ+3π8(k∈Z)為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.故選C. 6.A　∵y=sin 2x+cos 2x=222sin2x+22cos2x=2cos 2x-π8,y=cos 2x-sin 2x=222cos2x-22sin2x =2cos 2x+π8 =2cos 2x+π4-π8, ∴只需將函數(shù)y=cos 2x-sin 2x的圖象向右平移π4個(gè)單位長(zhǎng)度可得函數(shù)y=sin 2x+cos 2x的圖象. 7.3　f(x)=1+2cos2x-12cosx+sin x+a2sinx+π4 =cos x+sin x+a2sinx+π4 =2sinx+π4+a2sinx+π4 =(2+a2)sinx+π4. 依題意有2+a2=2+3, 則a=3. 8.23-4　sin α=3sinα+π6 =332sin α+32cos α, ∴tan α=32-33. 又tanπ12=tanπ3-π4=tanπ3-tanπ41+tanπ3tanπ4=3-13+1=2-3, ∴tanα+π12=tanα+tanπ121+tanαtanπ12 =32-33+2-31+32-33(2-3) =3+(2-3)(2-33)(2-33)-3(2-3) =-16-834=23-4. 9.解 (1)函數(shù)f(x)=2asin xcos x+cos 2x=asin 2x+cos 2x. ∵圖象過(guò)點(diǎn)π4,1, 即1=asinπ2+cosπ2,可得a=1. ∴f(x)=sin 2x+cos 2x =2sin2x+π4. ∴函數(shù)的最小正周期T=2π2=π. (2)由2kπ+π2≤2x+π4≤3π2+2kπ,k∈Z, 可得kπ+π8≤x≤5π8+kπ,k∈Z. 函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為kπ+π8,5π8+kπ,k∈Z. ∵x∈(0,π),當(dāng)k=0時(shí),可得單調(diào)減區(qū)間為π8,5π8. 10.解 (1)函數(shù)f(x) =23sinωx+π6cos ωx =23sinωx32+23cos ωx12cos ωx=3sin2ωx+π6+32. ∵f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)5π12,32, ∴3sin2ω5π12+π6+32=32,∴2ω5π12+π6=kπ,k∈Z, 即ω=6k-15. 再結(jié)合0<ω<2,可得ω=1, ∴f(x)=3sin2x+π6+32,故它的最小正周期為2π2=π. (2)將y=f(x)的圖象向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)y=g(x)=3sin2x-π6+32的圖象.由已知gα2=536=3sinα-π6+32, ∴sinα-π6=13, ∴cos2α-π3 =1-2sin2α-π6=79. 11.D　由題意,T=2π,即T=2πω=2π, 即ω=1. 又當(dāng)x=π6時(shí),f(x)取得最大值, 即π6+φ=π2+2kπ,k∈Z, 即φ=π3+2kπ,k∈Z. ∵0<φ≤π2,∴φ=π3, ∴f(x)=sinx+π3+1. ∵f(α)=sinα+π3+1=95, 可得sinα+π3=45. ∵π6<α<2π3,可得π2<α+π3<π, ∴cosα+π3=-35. ∴sin2α+2π3=2sinα+π3cosα+π3=245-35=-2425.故選D. 12.D　由題意可得,f(x0)是函數(shù)f(x)的最小值,f(x0+2 016π)是函數(shù)f(x)的最大值. 顯然要使結(jié)論成立,只需保證區(qū)間[x0,x0+2 016π]能夠包含函數(shù)的至少一個(gè)完整的單調(diào)區(qū)間即可.又f(x)=cos ωx(sin ωx+3cos ωx)=12sin 2ωx+32(1+cos 2ωx)=sin2ωx+π3+32,則2 016π≥122π2ω,求得ω≥14 032,故ω的最小值為14 032. 13.2327　∵α∈0,π2,∴2α∈(0,π). ∵cos α=13, ∴cos 2α=2cos2α-1=-79, ∴sin 2α=1-cos22α=429, 又α,β∈0,π2,∴α+β∈(0,π), ∴sin(α+β)=1-cos2(α+β)=223, ∴cos(α-β)=cos [2α-(α+β)] =cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β) =-79-13+429223=2327. 14.解 (1)∵bsin Acos C+csin Acos B=32a, ∴由正弦定理,得sin Bsin Acos C+sin Csin Acos B=32sin A. ∵A為銳角,sin A≠0, ∴sin Bcos C+sin Ccos B=32, 可得sin(B+C)=sin A=32, ∴A=π3. (2)∵A=π3,可得tan A=3, ∴f(x)=3sin ωxcos ωx-12cos 2ωx=32sin 2ωx-12cos 2ωx=sin2ωx-π6. ∵其圖象上相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸間的距離為π2,可得T=2π2=2π2ω, 解得ω=1, ∴f(x)=sin2x-π6,∴將y=f(x)的圖象向左平移π4個(gè)單位長(zhǎng)度后,圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=g(x)=sin2x+π4-π6=sin2x+π3. ∵x∈-π24,π4,可得2x+π3∈π4,5π6, ∴g(x)=sin2x+π3∈12,1. 15.D　∵sin 2(α+γ)=3sin 2β,∴sin[(α+γ+β)-(β-α-γ)]=3sin[(α+γ+β)-(α+γ-β)], ∴sin(α+γ+β)cos(β-α-γ)-cos(α+γ+β)sin(β-α-γ)=3sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)-3cos(α+γ+β)sin(α+γ-β), 即-2sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)=-4cos(α+γ+β)sin(α+γ-β), ∴12tan(α+γ+β)=tan(α+γ-β),故m=tan(α+β+γ)tan(α-β+γ)=2,故選D. 16.解 (1)f(x)=2cos2x+23sin xcos x+a=cos 2x+1+3sin 2x+a =2sin2x+π6+a+1, ∵x∈0,π2, ∴2x+π6∈π6,7π6, ∴f(x)的最小值為-1+a+1=2, 解得a=2, ∴f(x)=2sin2x+π6+3, 由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z,可得kπ-π3≤x≤kπ+π6,k∈Z, ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ-π3,kπ+π6(k∈Z). (2)由函數(shù)圖象變換可得g(x)=2sin4x-π6+3, 由g(x)=4可得sin4x-π6=12,∴4x-π6=2kπ+π6(k∈Z)或4x-π6=2kπ+5π6(k∈Z), 解得x=kπ2+π12(k∈Z)或x=kπ2+π4(k∈Z).∵x∈0,π2, ∴x=π12或x=π4, ∴所有根之和為π12+π4=π3.