第65練 橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 [基礎(chǔ)保分練] 1．動(dòng)點(diǎn)A到定點(diǎn)F1(0，－2)和F2(0,2)的距離的和為4，則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡為(　　) A．橢圓B．線段C．不存在D．兩條射線 2．(2018長(zhǎng)沙模擬)橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)，其短軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)恰為邊長(zhǎng)是2的正方形的頂點(diǎn)，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 3．以橢圓上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積的最大值為1，則橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為(　　) A．1B.C．2D．2 4．已知P為橢圓C上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的焦點(diǎn)，且|F1F2|＝2，若|PF1|與|PF2|的等差中項(xiàng)為|F1F2|，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1或＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1或＋＝1 5．設(shè)P是橢圓＋＝1上一點(diǎn)，P到兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值為2，則△PF1F2是(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形 6．已知橢圓＋＝1(a>b>0)，M為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1為橢圓的左焦點(diǎn)，則線段MF1的中點(diǎn)P的軌跡是(　　) A．圓B．橢圓C．線段D．直線 7．已知橢圓＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M在該橢圓上，且＝0，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為(　　) A.B.C.D. 8．設(shè)P是橢圓＋＝1上一點(diǎn)，M，N分別是兩圓：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值、最大值分別為(　　) A．9,12B．8,11C．8,12D．10,12 9．中心在原點(diǎn)的橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)是圓E：x2＋y2－4x＋3＝0的圓心，一個(gè)焦點(diǎn)是圓E與x軸其中的一個(gè)交點(diǎn)，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________． 10．(2018廣東五校協(xié)作體考試)已知橢圓C：＋y2＝1的兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P(x0，y0)滿足0<＋y<1，則|PF1|＋|PF2|的取值范圍是________． [能力提升練] 1．已知橢圓＋＝1的上焦點(diǎn)為F，直線x＋y＋1＝0和x＋y－1＝0與橢圓相交于點(diǎn)A，B，C，D，則|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|等于(　　) A．2B．4C．4D．8 2．若F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，A為橢圓上一點(diǎn)，且∠AF1F2＝45，則△AF1F2的面積為(　　) A．7B.C.D. 3．已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則橢圓E的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 4．橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，則||||的取值范圍是(　　) A．(0,4] B．(0,3] C．[3,4) D．[3,4] 5．設(shè)橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若△PF1F2是直角三角形，則△PF1F2的面積為________． 6．若橢圓＋＝1的焦點(diǎn)在x軸上，過點(diǎn)作圓x2＋y2＝1的切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓的方程為______________________． 答案精析 基礎(chǔ)保分練 1．B　2.C　3.D　4.B　5.B　6.B　7.B　8.C　9.＋＝1　10.[2,2) 能力提升練 1．D　[設(shè)橢圓的下焦點(diǎn)為F1， 連接CF1，DF1， 因?yàn)椋?， 所以c＝1. 所以F(0,1)，F(xiàn)1(0，－1)， 由題意知，直線x＋y－1＝0過點(diǎn)F， 直線x＋y＋1＝0過點(diǎn)F1， 由橢圓的對(duì)稱性知， 四邊形CFBF1為平行四邊形， AFDF1為平行四邊形， 所以|AF|＝|DF1|，|BF1|＝|CF|. 所以|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|＝|DF1|＋|BF|＋|BF1|＋|DF|＝4a＝8.] 2．C　[由題意得a＝3，b＝，c＝， ∴|F1F2|＝2，|AF1|＋|AF2|＝6. ∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1||F1F2|cos45 ＝|AF1|2－4|AF1|＋8， ∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8. 解得|AF1|＝. ∴△AF1F2的面積S＝2＝.] 3．D　[因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)F(3,0)和點(diǎn)(1，－1)， 所以直線AB的方程為y＝(x－3)， 代入橢圓方程＋＝1， 消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0， 所以AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為＝1，即a2＝2b2， 又a2＝b2＋c2，c2＝9， 所以b2＝9，a2＝18， 即橢圓E的方程為＋＝1.] 4．D　[由橢圓定義，知||＋||＝4， 且橢圓＋＝1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為2， 所以1≤||≤3.令||＝t， 則||＝4－t. 令f(t)＝||||＝t(4－t) ＝－t2＋4t，t∈[1,3]， 由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)f(t)在t＝2處取得最大值， 即f(t)max＝f(2)＝－22＋42＝4， 函數(shù)f(t)在t＝1或t＝3處取得最小值， 由于f(1)＝f(3)＝3， 故f(t)min＝3，即||||的取值范圍是[3,4]，故選D.] 5. 解析　由已知a＝2，b＝，c＝1，則當(dāng)點(diǎn)P為短軸頂點(diǎn)(0，)時(shí)，∠F1PF2＝，△PF1F2是正三角形，若△PF1F2是直角三角形，則直角頂點(diǎn)不可能是點(diǎn)P，只能是焦點(diǎn)F1(或F2)為直角頂點(diǎn)，此時(shí)|PF1|＝＝，＝2c＝＝. 6.＋＝1 解析　由題意可設(shè)斜率存在的切線的方程為 y－＝k(x－1)(k為切線的斜率)， 即2kx－2y－2k＋1＝0， 由＝1，解得k＝－， 所以圓x2＋y2＝1的一條切線方程為 3x＋4y－5＝0， 求得切點(diǎn)A， 當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，k不存在，直線方程為x＝1， 易知另一切點(diǎn)為B(1,0)， 則直線AB的方程為y＝－2x＋2， 令y＝0得右焦點(diǎn)為(1,0)，即c＝1. 令x＝0得上頂點(diǎn)為(0,2)，即b＝2， 所以a2＝b2＋c2＝5， 故所求橢圓的方程為＋＝1.