(三)概率與統(tǒng)計(jì) 1．某高職院校進(jìn)行自主招生文化素質(zhì)考試，考試內(nèi)容為語文、數(shù)學(xué)、英語三科，總分為200分．現(xiàn)從上線的考生中隨機(jī)抽取20人，將其成績用莖葉圖記錄如下： (1)計(jì)算上線考生中抽取的男生成績的方差s2；(結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后一位) (2)從上述莖葉圖180分以上的考生中任選2人作為考生代表出席座談會，求所選考生恰為一男一女的概率． 解　(1)依題意：樣本中男生共6人，成績分別為164,165,172,178,185,186， ∴他們的總分為1 050，平均分為175. ∴s2＝[(－11)2＋(－10)2＋(－3)2＋32＋102＋112]≈76.7. (2)樣本中180分以上的考生有男生2人，記為A，B，女生4人，記為a，b，c，d， 從中任選2人，有AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd共15種， 符合條件的有Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd共8種， 故所求概率P＝. 2．(2018葫蘆島模擬)海水養(yǎng)殖場使用網(wǎng)箱養(yǎng)殖的方法，收獲時(shí)隨機(jī)抽取了100個網(wǎng)箱，測量各網(wǎng)箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其產(chǎn)量都屬于區(qū)間[25,50]，按如下形式分成5組，第一組：[25,30)，第二組：[30,35)，第三組：[35,40)，第四組：[40,45)，第五組：[45,50]，得到頻率分布直方圖如圖： 定義箱產(chǎn)量在[25,30)(單位：kg)的網(wǎng)箱為“低產(chǎn)網(wǎng)箱”，箱產(chǎn)量在區(qū)間[45,50]的網(wǎng)箱為“高產(chǎn)網(wǎng)箱”． (1)若同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，試計(jì)算樣本中的100個網(wǎng)箱的產(chǎn)量的平均數(shù)； (2)按照分層抽樣的方法，從這100個樣本中抽取25個網(wǎng)箱，試計(jì)算各組中抽取的網(wǎng)箱數(shù)； (3)若在(2)抽取到的“低產(chǎn)網(wǎng)箱”及“高產(chǎn)網(wǎng)箱”中再抽取2箱，記其產(chǎn)量分別為m，n，求|m－n|>10的概率． 解　(1)樣本中的100個網(wǎng)箱的產(chǎn)量的平均數(shù) ＝(27.50.024＋32.50.040＋37.50.064＋42.50.056＋47.50.016)5＝37.5. (2)各組網(wǎng)箱數(shù)分別為：12,20,32,28,8， 要在此100 箱中抽取25箱， 則分層抽樣各組應(yīng)抽數(shù)3,5,8,7,2. (3)由(2)知，從低產(chǎn)網(wǎng)箱3箱和高產(chǎn)網(wǎng)箱2箱共5箱中要抽取2箱，設(shè)低產(chǎn)網(wǎng)箱中3箱編號為1,2,3，高產(chǎn)網(wǎng)箱中2箱編號為4,5，則一共有10種抽法，基本事件為： (1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)， 滿足條件|m－n|>10的情況為從高、低產(chǎn)網(wǎng)箱中各取1箱，基本事件為 (1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，共6種， 所以滿足事件A：|m－n|>10的概率為P(A)＝＝. 3．(2016四川)我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖． (1)求直方圖中a的值； (2)設(shè)該市有30萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，說明理由； (3)估計(jì)居民月均用水量的中位數(shù)． 解　(1)由頻率分布直方圖可知，月均用水量在[0,0.5)的頻率為0.080.5＝0.04. 同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]等組的頻率分別為0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02. 由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5a＋0.5a， 解得a＝0.30. (2)估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為3.6萬．理由如下： 由(1)知，100位居民中月均用水量不低于3噸的頻率為0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上樣本的頻率分布，可以估計(jì)30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300 0000.12＝36 000. (3)設(shè)中位數(shù)為x噸． 因?yàn)榍?組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5. 而前4組的頻率之和為 0．04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5.所以2≤x<2.5. 由0.50(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04. 故可估計(jì)居民月均用水量的中位數(shù)為2.04噸． 4．(2018寧夏銀川一中模擬)為了參加某數(shù)學(xué)競賽，某高級中學(xué)對高二年級理科、文科兩個數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進(jìn)行了賽前模擬測試，成績(單位：分)記錄如下： 理科：79,81,81,79,94,92,85,89. 文科：94,80,90,81,73,84,90,80. (1)畫出理科、文科兩組同學(xué)成績的莖葉圖； (2)計(jì)算理科、文科兩組同學(xué)成績的平均數(shù)和方差，并從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度分析，哪組同學(xué)在此次模擬測試中發(fā)揮比較好； (3)若在成績不低于90分的同學(xué)中隨機(jī)抽出3人進(jìn)行培訓(xùn)，求抽出的3人中既有理科組同學(xué)又有文科組同學(xué)的概率． (參考公式：樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差： s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中為樣本平均數(shù))． 解　(1)理科、文科兩組同學(xué)成績的莖葉圖如下： (2)從平均數(shù)和方差的角度看，理科組同學(xué)在此次模擬測試中發(fā)揮比較好．理由如下： 理科同學(xué)成績的平均數(shù)1＝(79＋79＋81＋81＋85＋89＋92＋94)＝85， 方差是s＝[(79－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(81－85)2＋(85－85)2＋(89－85)2＋(92－85)2＋(94－85)2]＝31.25； 文科同學(xué)成績的平均數(shù)2＝(73＋80＋80＋81＋84＋90＋90＋94)＝84. 方差是s＝[(73－84)2＋(80－84)2＋(80－84)2＋(81－84)2＋(84－84)2＋(90－84)2＋(90－84)2＋(94－84)2]＝41.75； 由于1>2，s<s，所以理科組同學(xué)在此次模擬測試中發(fā)揮比較好． (3)設(shè)理科組同學(xué)中成績不低于90分的2人分別為A，B，文科組同學(xué)中成績不低于90分的3人分別為a，b，c，則從他們中隨機(jī)抽出3人有以下10種可能：ABa，ABb，ABc，Aab，Aac，Abc，Bab，Bac，Bbc，abc.其中全是文科組同學(xué)的情況只有1種是abc，沒有全是理科組同學(xué)的情況， 記“抽出的3人中既有理科組同學(xué)又有文科組同學(xué)”為事件M，則P(M)＝1－＝. 5．2018年6月14日，第二十一屆世界杯足球賽在俄羅斯拉開帷幕．為了了解喜愛足球運(yùn)動是否與性別有關(guān)，某體育臺隨機(jī)抽取100名觀眾進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下22列聯(lián)表. 男 女 總計(jì) 喜愛 30 40 不喜愛 40 總計(jì) 100 (1)將22列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為喜愛足球運(yùn)動與性別有關(guān)？ (2)在不喜愛足球運(yùn)動的觀眾中，按性別用分層抽樣的方式抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人參加一臺訪談節(jié)目，求這2人至少有一位男性的概率． 附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k0) 0.010 0.005 0.001 k0 6.635 7.879 10.828 解　(1)補(bǔ)充列聯(lián)表如下： 男 女 總計(jì) 喜愛 30 10 40 不喜愛 20 40 60 總計(jì) 50 50 100 由列聯(lián)表知K2＝≈16.667>10.828. 故可以在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為喜愛足球運(yùn)動與性別有關(guān)． (2)由分層抽樣知，從不喜愛足球運(yùn)動的觀眾中抽取6人，其中男性有6＝2(人)，女性有6＝4(人)． 記男性觀眾分別為a1，a2，女性觀眾分別為b1，b2，b3，b4，隨機(jī)抽取2人，基本事件有(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b3，a1)，(b3，a2)，(b4，a1)，(b4，a2)，(a1，a2)，共15種． 記至少有一位男性觀眾為事件A，則事件A包含(b1，a1)，(b1，a2)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b3，a1)，(b3，a2)，(b4，a1)，(b4，a2)，(a1，a2)，共9個基本事件， 由古典概型，知P(A)＝＝. 6．(2016全國Ⅲ改編)下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖． 注：年份代碼1～7分別對應(yīng)年份2008～2014. (1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明； (2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)測2019年我國生活垃圾無害化處理量． 附注： 參考數(shù)據(jù)：i＝9.32，iyi＝40.17，＝0.55，≈2.646. 參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝， 回歸方程 ＝ ＋ t中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為： ＝， ＝－ . 解　(1)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得 ＝4，(ti－)2＝28, ＝0.55. (ti－)(yi－)＝iyi－i＝40.17－49.32＝2.89， 所以r≈≈0.99. 因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系． (2)由＝≈1.331及(1)得 ＝＝≈0.10， ＝－ ≈1.331－0.1034≈0.92. 所以y關(guān)于t的線性回歸方程為 ＝0.10t＋0.92. 將2019年對應(yīng)的t＝12代入線性回歸方程，得 ＝0.92＋0.1012＝2.12. 所以預(yù)測2019年我國生活垃圾無害化處理量將約為2.12億噸．