（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.2.2 第1課時 橢圓的幾何性質(zhì)學(xué)案 新人教A版選修2-1.doc
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第1課時 橢圓的幾何性質(zhì) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.依據(jù)橢圓的方程研究橢圓的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形.2.依據(jù)幾何條件求出橢圓方程，并利用橢圓方程研究它的性質(zhì)、圖形． 知識點(diǎn)一 橢圓的范圍、對稱性和頂點(diǎn) 思考 在畫橢圓圖形時，怎樣才能畫的更準(zhǔn)確些？ 答案 在畫橢圓時，可先畫一個矩形，矩形的頂點(diǎn)為(－a，b)，(a，b)，(－a，－b)，(a，－b)． 梳理 橢圓的簡單幾何性質(zhì) 焦點(diǎn)在x軸上 焦點(diǎn)在y軸上 標(biāo)準(zhǔn)方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 圖形 焦點(diǎn)坐標(biāo) (c,0) (0，c) 對稱性 關(guān)于x軸、y軸軸對稱，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對稱 頂點(diǎn)坐標(biāo) A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 范圍 |x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a 長軸、短軸 長軸A1A2長為2a，短軸B1B2長為2b 知識點(diǎn)二 橢圓的離心率 橢圓的焦距與長軸長的比稱為橢圓的離心率，記為e＝，因為a＞c，故橢圓離心率e的取值范圍為(0,1)，當(dāng)e越近于1時，橢圓越扁，當(dāng)e越近于0時，橢圓越圓． (1)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的長軸長是a.() (2)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．() (3)若橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，長軸長與短軸長分別為10,8，則橢圓的方程為＋＝1.() (4)設(shè)F為橢圓＋＝1(a＞b＞0)的一個焦點(diǎn)，M為其上任一點(diǎn)，則|MF|的最大值為a＋c(c為橢圓的半焦距)．(√) 類型一 橢圓的簡單幾何性質(zhì) 例1 求橢圓m2x2＋4m2y2＝1(m＞0)的長軸長、短軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率． 考點(diǎn) 橢圓的簡單幾何性質(zhì) 題點(diǎn) 橢圓的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長短軸、對稱性 解 由已知得＋＝1(m＞0)， 因為0＜m2＜4m2， 所以＞， 所以橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，并且長半軸長a＝， 短半軸長b＝，半焦距c＝， 所以橢圓的長軸長2a＝，短軸長2b＝， 焦點(diǎn)坐標(biāo)為，， 頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，，， 離心率e＝＝＝. 反思與感悟 從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，分清其焦點(diǎn)位置，然后再寫出相應(yīng)的性質(zhì)． 跟蹤訓(xùn)練1 已知橢圓C1：＋＝1，設(shè)橢圓C2與橢圓C1的長軸長、短軸長分別相等，且橢圓C2的焦點(diǎn)在y軸上． (1)求橢圓C1的長半軸長、短半軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率； (2)寫出橢圓C2的方程，并研究其性質(zhì)． 考點(diǎn) 橢圓的簡單幾何性質(zhì) 題點(diǎn) 橢圓的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長短軸、對稱性 解 (1)由橢圓C1：＋＝1，可得其長半軸長為10，短半軸長為8，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0)，(－6,0)，離心率e＝. (2)橢圓C2：＋＝1.性質(zhì)如下： ①范圍：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②對稱性：關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對稱；③頂點(diǎn)：長軸端點(diǎn)(0,10)，(0，－10)，短軸端點(diǎn)(－8,0)，(8,0)；④焦點(diǎn)：(0,6)，(0，－6)；⑤離心率：e＝. 類型二 由幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 例2 (1)橢圓以兩坐標(biāo)軸為對稱軸，并且過點(diǎn)(0,13)，(－10，0)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為( ) A．(13,0) B．(0，10) C．(0，13) D．(0，) 考點(diǎn) 橢圓的簡單幾何性質(zhì) 題點(diǎn) 橢圓的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長短軸、對稱性 答案 D 解析 由題意知，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上， 且a＝13，b＝10，則c＝＝，故選D. (2)已知橢圓中心在原點(diǎn)，一個焦點(diǎn)為F(－2，0)，且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是___________________． 考點(diǎn) 橢圓的簡單幾何性質(zhì) 題點(diǎn) 橢圓的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長短軸、對稱性 答案?。? 解析 由已知，得焦點(diǎn)在x軸上，且∴ ∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 反思與感悟 此類問題應(yīng)由所給的幾何性質(zhì)充分找出a，b，c所應(yīng)滿足的關(guān)系式，進(jìn)而求出a，b，在求解時，需注意橢圓的焦點(diǎn)位置． 跟蹤訓(xùn)練2 根據(jù)下列條件，求中心在原點(diǎn)，對稱軸在坐標(biāo)軸上的橢圓方程： (1)長軸長是短軸長的2倍，且過點(diǎn)(2，－6)； (2)焦點(diǎn)在x軸上，一個焦點(diǎn)與短軸的兩端點(diǎn)連線互相垂直，且半焦距為6. 考點(diǎn) 由橢圓的簡單幾何性質(zhì)求方程 題點(diǎn) 由橢圓的幾何特征求方程 解 (1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)． 依題意，有解得 ∴橢圓方程為＋＝1. 同樣地可求出當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時， 橢圓方程為＋＝1. 故所求的橢圓方程為＋＝1或＋＝1. (2)依題意，有 ∴b＝c＝6， ∴a2＝b2＋c2＝72， ∴所求的橢圓方程為＋＝1. 類型三 求橢圓的離心率 例3 如圖，設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若△F1PF2為等腰直角三角形，求橢圓的離心率． 考點(diǎn) 橢圓的離心率問題 題點(diǎn) 求a，b，c的齊次關(guān)系式得離心率 解 設(shè)橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)． ∵F1(－c,0)，∴P(－c，yp)，代入橢圓方程得 ＋＝1，∴y＝， ∴|PF1|＝＝|F1F2|，即＝2c， ∴c2＋2ac－a2＝0， 又∵b2＝a2－c2，∴＝2c， ∴c2＋2ac－a2＝0，∴e2＋2e－1＝0，又∵0＜e＜1，∴e＝－1. 反思與感悟 求解橢圓的離心率，其實(shí)質(zhì)就是構(gòu)建a，b，c之間的關(guān)系式，再結(jié)合b2＝a2－c2，從而得到a，c之間的關(guān)系式，進(jìn)而確定其離心率． 跟蹤訓(xùn)練3 設(shè)橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點(diǎn)，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30，則C的離心率為( ) A.B.C.D. 考點(diǎn) 橢圓的離心率問題 題點(diǎn) 求a，b，c得離心率 答案 D 解析 由題意可設(shè)|PF2|＝m(m＞0)，結(jié)合條件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故離心率e＝＝＝＝＝. 1．橢圓9x2＋y2＝36的短軸長為( ) A．2B．4C．6D．12 考點(diǎn) 橢圓的簡單幾何性質(zhì) 題點(diǎn) 橢圓的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長短軸、對稱性 答案 B 解析 原方程可化為＋＝1，所以b2＝4，b＝2，從而短軸長為2b＝4. 2．若橢圓的兩個焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成一個正三角形，則該橢圓的離心率為( ) A. B. C. D. 考點(diǎn) 橢圓的離心率問題 題點(diǎn) 求a，b，c得離心率 答案 A 解析 不妨設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，B為橢圓的上頂點(diǎn)． 依題意可知，△BF1F2是正三角形． ∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c， |BF2|＝a，∠OF2B＝60， ∴cos 60＝＝， 即橢圓的離心率e＝，故選A. 3．(2017嘉興一中期末)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為4，離心率為，則該橢圓的方程為( ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案 D 4．已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，兩頂點(diǎn)分別是(4,0)，(0,2)，則此橢圓的方程是______________． 考點(diǎn) 由橢圓的簡單幾何性質(zhì)求方程 題點(diǎn) 由橢圓的幾何性質(zhì)求方程 答案?。? 解析 由已知，得a＝4，b＝2，且橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以橢圓的方程是＋＝1. 5．求橢圓25x2＋16y2＝400的長軸長、短軸長、離心率、焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)． 考點(diǎn) 由橢圓方程研究簡單幾何性質(zhì) 題點(diǎn) 由橢圓的方程求頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長短軸、離心率 解 將橢圓方程變形為＋＝1， 得a＝5，b＝4，所以c＝3， 故橢圓的長軸長和短軸長分別為2a＝10,2b＝8， 離心率e＝＝， 焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－3)，(0,3)， 頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－5)，(0,5)，(－4,0)，(4,0)． 求橢圓離心率及范圍的兩種方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法：若a，c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a，b，c的關(guān)系式，借助于a2＝b2＋c2，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或范圍． 一、選擇題 1．已知橢圓的方程為2x2＋3y2＝m(m>0)，則此橢圓的離心率為( ) A.B.C.D. 考點(diǎn) 由橢圓方程研究簡單幾何性質(zhì) 題點(diǎn) 由橢圓的方程求頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長短軸、離心率 答案 B 解析 由2x2＋3y2＝m(m>0)，得＋＝1， ∴c2＝－＝，∴e2＝，∴e＝. 2．與橢圓9x2＋4y2＝36有相同焦點(diǎn)，且短軸長為2的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是( ) A.＋＝1 B.x2＋＝1 C.＋y2＝1 D.＋＝1 考點(diǎn) 由橢圓的簡單幾何性質(zhì)求方程 題點(diǎn) 由橢圓的幾何性質(zhì)求方程 答案 B 解析 由已知c＝，b＝1，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋x2＝1. 3．橢圓4x2＋49y2＝196的長軸長、短軸長、離心率依次是( ) A．7,2， B．14,4， C．7,2， D．14,4，－ 考點(diǎn) 由橢圓方程研究簡單幾何性質(zhì) 題點(diǎn) 由橢圓的方程求頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長短軸、離心率 答案 B 解析 先將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為＋＝1， 其中b＝2，a＝7，c＝3. 4．焦點(diǎn)在x軸上，長、短半軸長之和為10，焦距為4，則橢圓的方程為( ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 考點(diǎn) 由橢圓的簡單幾何性質(zhì)求方程 題點(diǎn) 由橢圓的幾何特征求方程 答案 A 解析 依題意得c＝2，a＋b＝10，又a2＝b2＋c2，所以解得a＝6，b＝4. 5．若焦點(diǎn)在x軸上的橢圓＋＝1的離心率為，則m等于( ) A.B.C.D. 考點(diǎn) 由橢圓方程研究簡單幾何性質(zhì) 題點(diǎn) 由橢圓的幾何特征求方程 答案 B 解析 ∵a2＝2，b2＝m，e＝＝＝＝，∴m＝. 6．橢圓(m＋1)x2＋my2＝1的長軸長是( ) A. B. C. D．－ 考點(diǎn) 由橢圓方程研究簡單幾何性質(zhì) 題點(diǎn) 由橢圓的方程求頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長短軸、離心率 答案 C 解析 橢圓方程可化簡為＋＝1， 由題意，知m>0，∴<，∴a＝， ∴橢圓的長軸長2a＝. 7．設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為直線x＝上一點(diǎn)，△F2PF1是底角為30的等腰三角形，則橢圓E的離心率為( ) A.B.C.D. 考點(diǎn) 橢圓的離心率問題 題點(diǎn) 求a，b，c得離心率 答案 C 解析 設(shè)直線x＝與x軸交于點(diǎn)M，則∠PF2M＝60，在Rt△PF2M中，|PF2|＝|F1F2|＝2c，|F2M|＝－c，故cos60＝＝＝， 解得＝， 故離心率e＝. 二、填空題 8．A為y軸上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，△AF1F2為正三角形，且AF1的中點(diǎn)B恰好在橢圓上，則此橢圓的離心率為________． 考點(diǎn) 橢圓的離心率問題 題點(diǎn) 求a，b，c得離心率 答案?。? 解析 如圖，連接BF2.因為△AF1F2為正三角形，且B為線段AF1的中點(diǎn)， 所以F2B⊥BF1. 又因為∠BF2F1＝30，|F1F2|＝2c，所以|BF1|＝c，|BF2|＝c， 由橢圓定義得|BF1|＋|BF2|＝2a， 即c＋c＝2a，所以＝－1， 所以橢圓的離心率e＝－1. 9．若橢圓＋＝1的焦點(diǎn)在x軸上，過點(diǎn)作圓x2＋y2＝1的切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓的方程是____________． 考點(diǎn) 由橢圓的簡單幾何性質(zhì)求方程 題點(diǎn) 由橢圓的幾何特征求方程 答案?。? 解析 ∵x＝1是圓x2＋y2＝1的一條切線， ∴橢圓的右焦點(diǎn)為(1,0)，即c＝1. 設(shè)P，則kOP＝，∵OP⊥AB，∴kAB＝－2，則直線AB的方程為y＝－2(x－1)，它與y軸的交點(diǎn)為(0,2)．∴b＝2，a2＝b2＋c2＝5，故橢圓的方程為＋＝1. 10．設(shè)橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是________． 考點(diǎn) 橢圓的離心率問題 題點(diǎn) 求a，b，c得離心率 答案?。? 解析 因為△F1PF2為等腰直角三角形，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝2c，又由橢圓定義知|PF1|＋|PF2|＝2a，所以2c＋2c＝2a，即(＋1)c＝a， 于是e＝＝＝－1. 11．在△ABC中，tanA＝，B＝.若橢圓E以AB為長軸，且過點(diǎn)C，則橢圓E的離心率 是_______． 考點(diǎn) 橢圓的離心率問題 題點(diǎn) 求a，b，c得離心率 答案 解析 由tan A＝，得sin A＝，cosA＝. 又B＝，∴sin B＝，cosB＝， 則sin C＝sin(A＋B)＝sin AcosB＋cosAsinB ＝＋＝. 由正弦定理，得|BC|∶|CA|∶|AB|＝sin A∶sinB∶sinC＝1∶∶2. 不妨取|BC|＝1，|CA|＝，|AB|＝2. 以AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系(C在x軸上方)，D是C在AB上的射影． 易求得|AD|＝，|OD|＝，|CD|＝， ∴點(diǎn)C. 設(shè)橢圓E的方程為＋＝1(a＞b＞0)， 則a2＝2，且＋＝1，解得b2＝， ∴c2＝a2－b2＝2－＝， ∴e2＝＝，∴e＝. 三、解答題 12．已知橢圓x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)，其焦距與長軸長的比值是，求m的值及橢圓的長軸長、短軸長及頂點(diǎn)坐標(biāo)． 考點(diǎn) 由橢圓方程研究簡單幾何性質(zhì) 題點(diǎn) 由橢圓方程求頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長短軸、離心率 解 橢圓方程可化為＋＝1. 因為m＞0，所以m－＝＞0， 所以m＞，所以a2＝m，b2＝， 所以c＝＝. 由＝，得＝，解得m＝1， 所以a＝1，b＝，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋＝1， 所以橢圓的長軸長為2，短軸長為1， 四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 (－1,0)，(1,0)，，. 13．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的兩個焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，斜率為k的直線l過左焦點(diǎn)F1且與橢圓的交點(diǎn)為A，B，與y軸的交點(diǎn)為C，且B為線段CF1的中點(diǎn)，若|k|≤，求橢圓離心率e的取值范圍． 考點(diǎn) 由橢圓方程研究簡單幾何性質(zhì) 題點(diǎn) 由橢圓的幾何特征求參數(shù) 解 依題意得F1(－c,0)，直線l：y＝k(x＋c)， 則C(0，kc)． 因為點(diǎn)B為線段CF1的中點(diǎn)，所以B. 因為點(diǎn)B在橢圓上，所以＋＝1， 即＋＝1. 所以＋＝1，所以k2＝. 由|k|≤，得k2≤，即≤， 所以2e4－17e2＋8≤0.解得≤e2≤8. 因為0下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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