(全國通用版)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 板塊四 考前回扣 專題6 立體幾何與空間向量學(xué)案 理.doc
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回扣6 立體幾何與空間向量 1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方體、平行六面體、直平行六面體、長方體之間的關(guān)系 2.三視圖 (1)三視圖的正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線.畫三視圖的基本要求:正俯一樣長,俯側(cè)一樣寬,正側(cè)一樣高. (2)三視圖排列規(guī)則:俯視圖放在正(主)視圖的下面,長度與正(主)視圖一樣;側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖的右面,高度和正(主)視圖一樣,寬度與俯視圖一樣. 3.柱、錐、臺、球體的表面積和體積 側(cè)面展開圖 表面積 體積 直棱柱 長方形 S=2S底+S側(cè) V=S底h 圓柱 長方形 S=2πr2+2πrl V=πr2l 棱錐 由若干三角形構(gòu)成 S=S底+S側(cè) V=S底h 圓錐 扇形 S=πr2+πrl V=πr2h 棱臺 由若干個(gè)梯形構(gòu)成 S=S上底+S下底+S側(cè) V=(S++S′)h 圓臺 扇環(huán) S=πr′2+π(r+r′)l+πr2 V=π(r2+rr′+r′2)h 球 S=4πr2 V=πr3 4.平行、垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化示意圖 (1) (2)兩個(gè)結(jié)論 ①?a∥b,②?b⊥α. 5.用空間向量證明平行、垂直 設(shè)直線l的方向向量為a=(a1,b1,c1),平面α,β的法向量分別為μ=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3).則有: (1)線面平行 l∥α?a⊥μ?aμ=0?a1a2+b1b2+c1c2=0. (2)線面垂直 l⊥α?a∥μ?a=kμ?a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2. (3)面面平行 α∥β?μ∥v?μ=λv?a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3. (4)面面垂直 α⊥β?μ⊥v?μv=0?a2a3+b2b3+c2c3=0. 6.用向量求空間角 (1)直線l1,l2的夾角θ滿足cos θ=|cos〈l1,l2〉|(其中l(wèi)1,l2分別是直線l1,l2的方向向量). (2)直線l與平面α的夾角θ滿足sin θ=|cos〈l,n〉|(其中l(wèi)是直線l的方向向量,n是平面α的法向量). (3)平面α,β的夾角θ滿足cos θ=|cos〈n1,n2〉|,則二面角α—l—β的平面角為θ或π-θ(其中n1,n2分別是平面α,β的法向量). 1.混淆“點(diǎn)A在直線a上”與“直線a在平面α內(nèi)”的數(shù)學(xué)符號關(guān)系,應(yīng)表示為A∈a,a?α. 2.在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí),根據(jù)三視圖的規(guī)則,空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線,不可見輪廓線為虛線.在還原空間幾何體實(shí)際形狀時(shí)一般是以正(主)視圖和俯視圖為主. 3.易混淆幾何體的表面積與側(cè)面積的區(qū)別,幾何體的表面積是幾何體的側(cè)面積與所有底面面積之和,不能漏掉幾何體的底面積;求錐體體積時(shí),易漏掉體積公式中的系數(shù). 4.不清楚空間線面平行與垂直關(guān)系中的判定定理和性質(zhì)定理,忽視判定定理和性質(zhì)定理中的條件,導(dǎo)致判斷出錯(cuò).如由α⊥β,α∩β=l,m⊥l,易誤得出m⊥β的結(jié)論,就是因?yàn)楹鲆暶婷娲怪钡男再|(zhì)定理中m?α的限制條件. 5.注意圖形的翻折與展開前后變與不變的量以及位置關(guān)系.對照前后圖形,弄清楚變與不變的元素后,再立足于不變的元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系去探求變化后的元素在空間中的位置與數(shù)量關(guān)系. 6.幾種角的范圍 兩條異面直線所成的角:0<α≤90; 直線與平面所成的角:0≤α≤90; 二面角:0≤α≤180. 7.空間向量求角時(shí)易忽視向量的夾角與所求角之間的關(guān)系,如求解二面角時(shí),不能根據(jù)幾何體判斷二面角的范圍,忽視向量的方向,誤以為兩個(gè)法向量的夾角就是所求的二面角,導(dǎo)致出錯(cuò). 1.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則這個(gè)幾何體的體積是( ) A. B. C. D.π 答案 D 解析 由三視圖可知,該幾何體為球的,其半徑為1,則體積V=π13=π. 2.直三棱柱ABC—A1B1C1的直觀圖及三視圖如圖所示,D為AC的中點(diǎn),則下列命題中是假命題的是( ) A.AB1∥平面BDC1 B.A1C⊥平面BDC1 C.直三棱柱的體積V=4 D.直三棱柱的外接球的表面積為4π 答案 D 解析 由三視圖可知,直三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)面B1C1CB是邊長為2的正方形,底面ABC是等腰直角三角形,AB⊥BC,AB=BC=2. 連接B1C交BC1于點(diǎn)O,連接OD. 在△CAB1中,O,D分別是B1C,AC的中點(diǎn), ∴OD∥AB1, 又OD?平面BDC1,AB1?平面BDC1, ∴AB1∥平面BDC1.故A正確; 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC, ∴AA1⊥BD.又AB=BC=2,D為AC的中點(diǎn), ∴BD⊥AC, 又AA1∩AC=A,AA1,AC?平面AA1C1C, ∴BD⊥平面AA1C1C, 又A1C?平面AA1C1C, ∴BD⊥A1C. 又A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,B1C1∩B1B=B1, B1C1,B1B?平面B1C1CB, ∴A1B1⊥平面B1C1CB, 又BC1?平面B1C1CB, ∴A1B1⊥BC1. ∵BC1⊥B1C,且A1B1∩B1C=B1, A1B1,B1C?平面A1B1C, ∴BC1⊥平面A1B1C, 又A1C?平面A1B1C, ∴BC1⊥A1C, 又BD∩BC1=B,BD,BC1?平面BDC1, ∴A1C⊥平面BDC1.故B正確; V=S△ABCC1C=222=4,故C正確; 此直三棱柱的外接球的半徑為,其表面積為12π,D錯(cuò).故選D. 3.已知直線l,m和平面α,則下列結(jié)論正確的是( ) A.若l∥m,m?α,則l∥α B.若l⊥α,m?α,則l⊥m C.若l⊥m,l⊥α,則m∥α D.若l∥α,m?α,則l∥m 答案 B 解析 若l∥m,m?α,則l∥α或l?α,故A錯(cuò)誤;若l⊥α,m?α,則l⊥m,B正確;若l⊥m,l⊥α,則m?α或m∥α,故C錯(cuò)誤;若l∥α,m?α,則l∥m或l,m異面,故選B. 4.已知互相垂直的平面α,β交于直線l.若直線m,n滿足m∥α,n⊥β,則( ) A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 答案 C 解析 由題意知,α∩β=l,∴l(xiāng)?β, ∵n⊥β,∴n⊥l. 故選C. 5.已知m,n為異面直線,m⊥平面α,n⊥平面β,直線l滿足l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,則( ) A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥β C.α與β相交,且交線垂直于l D.α與β相交,且交線平行于l 答案 D 解析 假設(shè)α∥β,由m⊥平面α,n⊥平面β,得m∥n,這與已知m,n為異面直線矛盾,那么α與β相交,設(shè)交線為l1,則l1⊥m,l1⊥n,在直線m上任取一點(diǎn)作n1平行于n,那么l1和l都垂直于直線m與n1所確定的平面, 所以l1∥l. 6.如圖,正方體AC1的棱長為1,過點(diǎn)A作平面A1BD的垂線,垂足為點(diǎn)H,以下四個(gè)命題:①點(diǎn)H是△A1BD的垂心;②AH垂直于平面CB1D1;③直線AH和BB1所成的角為45;④AH的延長線經(jīng)過點(diǎn)C1,其中假命題的個(gè)數(shù)為( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B 解析 ∵AB=AA1=AD,BA1=BD=A1D, ∴三棱錐 A-BA1D為正三棱錐, ∴點(diǎn)H是△A1BD的垂心,故①正確; ∵平面A1BD與平面B1CD1平行,AH⊥平面A1BD, ∴AH⊥平面CB1D1,故②正確; ∵AA1∥BB1, ∴∠A1AH就是直線AH和BB1所成的角, 在直角三角形AHA1中, ∵AA1=1,A1H==, ∴sin∠A1AH=≠,故③錯(cuò)誤; 根據(jù)正方體的對稱性得到AH的延長線經(jīng)過點(diǎn)C1, 故④正確,故選B. 7.將正方體紙盒展開如圖,則直線AB,CD在原正方體中的位置關(guān)系是( ) A.平行 B.垂直 C.相交成60角 D.異面且成60角 答案 D 解析 如圖,直線AB,CD異面.因?yàn)镃E∥AB, 所以∠ECD即為直線AB,CD所成的角,因?yàn)椤鰿DE為等邊三角形,故∠ECD=60. 8.長方體的頂點(diǎn)都在同一球面上,其同一頂點(diǎn)處的三條棱長分別為3,4,5,則該球面的表面積為( ) A.25π B.50π C.75π D.π 答案 B 解析 設(shè)球的半徑為R,由題意可得(2R)2=32+42+52=50,∴4R2=50,球的表面積為S=4πR2=50π. 9.如圖,三棱錐A-BCD的棱長全相等,點(diǎn)E為棱AD的中點(diǎn),則直線CE與BD所成角的余弦值為( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 方法一 取AB中點(diǎn)G,連接EG,CG. ∵E為AD的中點(diǎn),∴EG∥BD. ∴∠GEC為CE與BD所成的角.設(shè)AB=1, 則EG=BD=, CE=CG=, ∴cos∠GEC= = =. 方法二 設(shè)AB=1,則=(-)(-)=(-) =2--+ =-cos 60-cos 60+cos 60=. ∴cos〈,〉===,故選A. 10.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等,則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正三棱柱的棱長為2, 則O(0,0,0),B(,0,0),A(0,-1,0),B1(,0,2),則1=(,1,2), 則=(-,0,0)為側(cè)面ACC1A1的法向量, 故sin θ==. 11.如圖,在空間四邊形ABCD中,點(diǎn)M∈AB,點(diǎn)N∈AD,若=,則直線MN與平面BDC的位置關(guān)系是________. 答案 平行 解析 由=,得MN∥BD. 而BD?平面BDC,MN?平面BDC, 所以MN∥平面BDC. 12.如圖,在長方體ABCD—A′B′C′D′中,E,F(xiàn),G,H分別是棱AD,BB′,B′C′,DD′的中點(diǎn),從中任取兩點(diǎn)確定的直線中,與平面AB′D′平行的有________條. 答案 6 解析 如圖,連接EG,EH,F(xiàn)G,EF,HG, ∵EH∥FG且EH=FG, ∴EFGH四點(diǎn)共面,由EG∥AB′,EH∥AD′, EG∩EH=E,AB′∩AD′=A, 可得平面EFGH與平面AB′D′平行, ∴符合條件的共有6條. 13.點(diǎn)P在正方形ABCD所在平面外,PA⊥平面ABCD,PA=AB,則PB與AC所成角的大小是________. 答案 解析 以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略),設(shè)正方形ABCD的邊長為1,則A(0,0,0),P(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0),=(1,0,-1),=(1,1,0),因此 cos〈,〉= =, 因此PB和AC所成角的大小為. 14.設(shè)m,n是不同的直線,α,β,γ是不同的平面,有以下四個(gè)命題: ①?β∥γ;②?m⊥β; ③?α⊥β;④?m∥α. 其中,正確的命題是________.(填序號) 答案 ①③ 解析?、僦衅叫杏谕黄矫娴膬善矫嫫叫惺钦_的;②中m,β可能平行,相交或直線在平面內(nèi);③中由面面垂直的判定定理可知結(jié)論正確;④中m,α可能平行或線在面內(nèi). 15.如圖(1),在邊長為4的菱形ABCD中,∠DAB=60,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊CD,CB的中點(diǎn),AC∩EF=O,沿EF將△CEF翻折到△PEF,連接PA,PB,PD,得到如圖(2)所示的五棱錐P-ABFED,且PB=. (1)求證:BD⊥PA; (2)求四棱錐P-BFED的體積. (1)證明 ∵點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊CD,CB的中點(diǎn), ∴BD∥EF. ∵菱形ABCD的對角線互相垂直, ∴BD⊥AC, ∴EF⊥AC, ∴EF⊥AO,EF⊥PO. ∵AO?平面POA,PO?平面POA,AO∩PO=O, ∴EF⊥平面POA, ∴BD⊥平面POA, 又PA?平面POA, ∴BD⊥PA. (2)解 設(shè)AO∩BD=H. 連接BO, ∵∠DAB=60, ∴△ABD為等邊三角形, ∴BD=4,BH=2, HA=2,HO=PO=, 在Rt△BHO中,BO==, 在△PBO中,BO2+PO2=10=PB2, ∴PO⊥BO. ∵PO⊥EF,EF∩BO=O,EF?平面BFED, BO?平面BFED, ∴OP⊥平面BFED, 梯形BFED的面積S=(EF+BD)HO=3, ∴四棱錐P-BFED的體積 V=SPO=3=3. 16.如圖,四棱錐S-ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=AD=a,點(diǎn)E是SD上的點(diǎn),且DE=λa(0<λ≤1). (1)求證:對任意的λ∈(0,1],都有AC⊥BE; (2)若二面角C-AE-D的大小為60,求λ的值. (1)證明 如圖,以D為原點(diǎn),DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,DS所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),D(0,0,0),E(0,0,λa). ∴=(-a,a,0),=(-a,-a,λa), =a2-a2+0λa=0, ∴=0對任意λ∈(0,1]都成立,即對任意的λ∈(0,1],都有AC⊥BE. (2)解 顯然n=(0,1,0)是平面ADE的一個(gè)法向量, 設(shè)平面ACE的法向量為m=(x,y,z), ∵=(-a,a,0),=(-a,0,λa),∴ 即∴ 取z=1,則x=y(tǒng)=λ,∴m=(λ,λ,1), ∵二面角C-AE-D的大小為60, ∴|cos〈n,m〉|===, ∵λ∈(0,1],∴λ=.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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