(浙江專版)2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題3.1 導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義(講).doc
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第01節(jié) 導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義 【考綱解讀】 考 點 考綱內(nèi)容 5年統(tǒng)計 分析預(yù)測 導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義 了解導(dǎo)數(shù)的概念與實際背景,理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義. 2013浙江卷文21;理22; 2018浙江卷22. 1.求切線方程或確定切點坐標(biāo)問題為主; 2.單獨考查導(dǎo)數(shù)概念的題目極少. 3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義為全國卷高考熱點內(nèi)容,常見的命題探究角度有: (1)求切線斜率、傾斜角、切線方程. (2)確定切點坐標(biāo)問題. (3)已知切線問題求參數(shù). (4)切線的綜合應(yīng)用. 4.備考重點: (1) 熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的四則運算法則; (2) 熟練掌握直線的傾斜角、斜率及直線方程的點斜式. 【知識清單】 1.導(dǎo)數(shù)的概念 1.函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù) 定義:稱函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率 為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù),記作f′(x0)或y′|x=x0,即. 2.函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù) 稱函數(shù)為f(x)的導(dǎo)函數(shù). 2.函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)幾何意義 函數(shù)f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y=f(x)上點 (x0,f(x0))處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數(shù)s(t)對時間t的導(dǎo)數(shù)).相應(yīng)地,切線方程為y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 【重點難點突破】 考點1 利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 【1-1】一質(zhì)點運動的方程為. (1)求質(zhì)點在[1,1+Δt]這段時間內(nèi)的平均速度; (2)求質(zhì)點在t=1時的瞬時速度(用定義及求求導(dǎo)兩種方法) 【答案】(1);(2). 【領(lǐng)悟技法】 1.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在點處導(dǎo)數(shù)的方法: ①求函數(shù)的增量; ②求平均變化率; ③得導(dǎo)數(shù),簡記作:一差、二比、三極限. 2.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)值的區(qū)間與聯(lián)系:導(dǎo)數(shù)是原來函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),而導(dǎo)數(shù)值是導(dǎo)函數(shù)在某一點的函數(shù)值,導(dǎo)數(shù)值是常數(shù) 【觸類旁通】 【變式一】若,則( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】法一(注重導(dǎo)數(shù)概念的應(yīng)用的解法):因為,所以 ,選B; 法二(注重導(dǎo)數(shù)定義中各變量的聯(lián)系的解法):因為,所以 (其中:),故選B. 考點2 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 【2-1】【2018年全國卷II文】曲線在點處的切線方程為__________. 【答案】y=2x–2 點睛:求曲線在某點處的切線方程的步驟:①求出函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù)值即為切線斜率;②寫出切線的點斜式方程;③化簡整理. 【2-2】【2018年全國卷Ⅲ理】曲線在點處的切線的斜率為,則________. 【答案】 【解析】分析:求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可。 詳解: 則 所以 故答案為-3. 【2-3】【2018屆天津市河?xùn)|區(qū)二?!亢瘮?shù)在點處切線斜率為3,則值為_______. 【答案】2 【解析】分析:首先對函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,即為導(dǎo)函數(shù)在相應(yīng)的點的函數(shù)值等于3,從而得到其所滿足的等量關(guān)系式,從而求得結(jié)果. 詳解:根據(jù)題意可得,, 令,解得, 則,所以的值為2. 【2-4】已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是,則 . 【答案】 【解析】 由函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)在該點的切線的斜率可知,有點必在切線上,代入切線方程,可得,所以有. 【2-5】【2017屆北京西城八中高三上期中】某堆雪在融化過程中,其體積(單位:)與融化時間(單位:)近似滿足函數(shù)關(guān)系:(為常數(shù)),其圖像如圖所示.記此堆雪從融化開始到結(jié)束的平均融化速度為.那么,,,中,瞬時融化速度等于的時刻是圖中的__________. 【答案】 點睛:本題考查瞬時變化率與平均變化率的概念與區(qū)別,考查識別與應(yīng)用基本概念解決問題的能力. 【領(lǐng)悟技法】 1.求函數(shù)圖象上點處的切線方程的關(guān)鍵在于確定該點切線處的斜率,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知,故當(dāng)存在時,切線方程為. 2.可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程,由于函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)表示曲線在點處切線的斜率,因此,曲線在點處的切線方程,可按如下方式求得: 第一,求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù),即曲線在點處切線的斜率; 第二,在已知切點坐標(biāo)和切線斜率的條件下,求得切線方程;如果曲線在點處的切線平行于y軸(此時導(dǎo)數(shù)不存在)時,由切線的定義可知,切線的方程為. 【觸類旁通】 【變式一】【福建省廈門市2018屆二?!吭O(shè)函數(shù),直線是曲線的切線,則的最小值是( ) A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】分析:設(shè)切點是,求出切線方程,可得,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性求出的最小值即可的結(jié)果. 詳解:設(shè)切點是, 由是切線斜率, 切線方程為, 整理得, , 記, 當(dāng),遞減; 當(dāng),遞增; 故, 即的最小值是故選C. 點睛:本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線方程以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是:(1)求出在處的導(dǎo)數(shù),即在點 出的切線斜率(當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時,在 處導(dǎo)數(shù)不存在,切線方程為);(2)由點斜式求得切線方程. 【變式二】【2018屆云南省昆明第一中學(xué)第八次月考】已知定義在上的函數(shù),設(shè)兩曲線與在公共點處的切線相同,則值等于( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析:根據(jù)題意設(shè)出切點坐標(biāo)為,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及兩曲線與在公共點處的切線相同可得,解方程組即可求得的值 詳解:依題意設(shè)曲線與在公共點處的切線相同. ∵, ∴, ∴,即 ∵ ∴, 故選D. 點睛:本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,解答本題的關(guān)鍵是列出方程組,方程組主要是從“兩曲線與在公共點處的切線相同”轉(zhuǎn)化引申出來的,說明切線的斜率相等,且這個切點在兩個函數(shù)的圖象上,即切點的導(dǎo)數(shù)相等,且切點的坐標(biāo)滿足兩個函數(shù)的解析式. 【變式三】曲線在點處的切線平行于直線,則點的坐標(biāo)為( ) A. B. C.和 D. 【答案】C. 【解析】因,令,故或,所以或,經(jīng)檢驗,點,均不在直線上,故選C. 【變式四】曲線過點處的切線方程是_____________. 【答案】 【變式五】已知函數(shù),則函數(shù)點P(1,)的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為 . 【答案】 【解析】因為切線斜率所以切線方程為,與兩坐標(biāo)軸的交點為因此圍成的三角形的面積為 【易錯試題常警惕】 易錯典例1:已知曲線. (1)求曲線在處的切線方程; (2)求曲線過點的切線方程. 易錯分析:易于因為審題不嚴或理解有誤,將兩道小題混淆,特別是第(2)小題獨立出現(xiàn)時. 正確解析:(1)∵ , ∴曲線在處的斜率. ∵時,, ∴曲線在處的切線方程為, 即. (2) 設(shè)過點的切線與曲線相切于點, 則切線的斜率為, ∴, 整理得, ∴, 解得,或, ∴所求的切線為,或. 溫馨提醒:(1)對于曲線切線方程問題的求解,對函數(shù)的求導(dǎo)是一個關(guān)鍵點,因此求導(dǎo)公式,求導(dǎo)法則及導(dǎo)數(shù)的計算原則要熟練掌握.(2)對于已知的點,應(yīng)首先認真審題,對于確定切線的方程問題,要注意區(qū)分“該曲線過點P的切線方程”與“該曲線在點P處的切線方程”的兩種情況,避免出錯.從歷年高考題看,“該曲線在點P處的切線方程”問題的考查較為普遍. 【學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇】 ————近似與精確、有限與無限——無限逼近的極限思想 1.由可以知道,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的瞬時變化率,函數(shù)的瞬時變化率是平均變化率的極限,充分說明極限是人們從近似中認識精確的數(shù)學(xué)方法.極限的實質(zhì)就是無限近似的量,向著有限的目標(biāo)無限逼近而產(chǎn)生量變導(dǎo)致質(zhì)變的結(jié)果,這是極限的實質(zhì)與精髓,也是導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵. 2.曲線的切線定義,充分體現(xiàn)了運動變化及無限逼近的思想:“兩個不同的公共點→兩公共點無限接近→兩公共點重合(切點)”“割線→切線”. (1)在求曲線的切線方程時,注意兩個“說法”:求曲線在點P處的切線方程和求曲線過點P的切線方程,在點P處的切線,一定是以點P為切點,過點P的切線,不論點P在不在曲線上,點P不一定是切點. 【典例】己知曲線存在兩條斜率為3的切線,且切點的橫坐標(biāo)都大于零,則實數(shù)a的取值范圍為 . 【答案】 【解析】 由題意得,的導(dǎo)數(shù)為,由題意可得,即有兩個不等的正根,則,,,解得.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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