(渝皖瓊)2018-2019學年高中數(shù)學 第1章 立體幾何初步滾動訓練2 北師大版必修2.doc
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第1章 立體幾何初步 滾動訓練二(6.1~6.2) 一、選擇題 1.在下列四個正方體中,能得出AB⊥CD的是( ) 考點 直線與平面垂直的性質 題點 根據(jù)線面垂直的性質判定線線垂直 答案 A 2.關于直線m,n與平面α,β,有下列四個命題: ①若m∥α,n∥β,且α∥β,則m∥n; ②若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,則m⊥n; ③若m⊥α,n∥β,且α∥β,則m⊥n; ④若m∥α,n⊥β,且α⊥β,則m∥n. 其中真命題的序號是( ) A.①② B.③④ C.①④ D.②③ 考點 線、面平行、垂直的綜合應用 題點 平行與垂直的判定 答案 D 解析?、賛,n可能異面、相交或平行,④m,n可能平行、異面或相交,所以①④錯誤. 3.設m,n是兩條不同的直線,α,β,γ是三個不同的平面,給出如下命題: ①若α⊥β,α∩β=m,nα,n⊥m,則n⊥β; ②若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β; ③若α⊥β,m⊥β,m?α,則m∥α; ④若α⊥β,m∥α,則m⊥β; 其中正確命題的個數(shù)為( ) A.1 B.2 C.3 D.4 考點 線、面平行、垂直的綜合應用 題點 平行與垂直的判定 答案 B 解析 根據(jù)平面與平面垂直的性質知①正確;②中,α,β可能平行,也可能相交,不正確;③中,α⊥β,m⊥β,m?α時,只可能有m∥α,正確;④中,m與β的位置關系可能是m∥β或mβ或m與β相交,不正確.綜上,可知正確命題的個數(shù)為2,故選B. 4.如圖所示,AB是⊙O的直徑,C是圓周上不同于A,B的任意一點,PA⊥平面ABC,則四面體P-ABC的四個面中,直角三角形的個數(shù)為( ) A.4 B.3 C.2 D.1 考點 直線與平面垂直的性質 題點 根據(jù)線面垂直的性質判定線線垂直 答案 A 解析 ∵AB是圓O的直徑, ∴∠ACB=90,即BC⊥AC, ∴△ABC是直角三角形. 又∵PA⊥平面ABC, ∴△PAC,△PAB是直角三角形. 又BC平面ABC, ∴PA⊥BC,又PA∩AC=A,PA,AC平面PAC, ∴BC⊥平面PAC, 又PC平面PAC,∴BC⊥PC, ∴△PBC是直角三角形.從而△PAB,△PAC,△ABC,△PBC都是直角三角形,故選A. 5.如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=AC,AC1⊥A1B,M,N分別是A1B1,AB的中點,給出下列結論:①C1M⊥平面A1ABB1;②A1B⊥NB1;③平面AMC1∥平面CNB1.其中正確結論的個數(shù)為( ) A.0 B.1 C.2 D.3 考點 線、面平行、垂直的綜合應用 題點 平行與垂直的判定 答案 D 解析 由側棱AA1⊥平面A1B1C1,可得AA1⊥C1M.由A1C1=B1C1及M為A1B1的中點可得C1M⊥A1B1, ∵AA1∩A1B1=A1,AA1,A1B1平面A1ABB1, ∴C1M⊥平面A1ABB1,∴①正確; 由C1M⊥平面A1ABB1, 可得C1M⊥A1B, 又已知AC1⊥A1B,C1M∩AC1=C1, ∴A1B⊥平面AMC1,從而可得A1B⊥AM, 又易證得AM∥NB1, ∴A1B⊥NB1,∴②正確; 易證得AM∥NB1,MC1∥CN,從而根據(jù)面面平行的判定定理可證得平面AMC1∥平面CNB1,∴③正確,故選D. 6.如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45,∠BAD=90,將△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,構成幾何體A-BCD,則在幾何體A-BCD中,下列結論正確的是( ) A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ADC⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC⊥平面ABC 考點 平面與平面垂直的判定 題點 判定兩平面垂直 答案 D 解析 由已知得BA⊥AD,CD⊥BD, 又平面ABD⊥平面BCD, ∴CD⊥平面ABD, 從而CD⊥AB,故AB⊥平面ADC. 又AB平面ABC, ∴平面ABC⊥平面ADC. 7.如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,AB=BC,則下列結論中正確的是( ) A.BD1∥B1C B.A1D1∥平面AB1C C.BD1⊥AC D.BD1⊥平面AB1C 考點 線、面平行、垂直的綜合應用 題點 平行與垂直的判定 答案 C 解析 連接BD.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC, ∴AC⊥BD.又AC⊥DD1,BD∩DD1=D, ∴AC⊥平面BDD1. ∵BD1?平面BDD1, ∴AC⊥BD1.故選C. 8.如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是BB1,A1B1的中點,點P在正方體的表面上運動,則總能使MP⊥BN的點P所形成圖形的周長是( ) A.4 B.2+ C.3+ D.2+ 考點 線、面平行、垂直的綜合應用 題點 平行與垂直的計算與探索性問題 答案 D 解析 如圖,取CC1的中點G,連接DG,MG,則MG∥BC.設BN交AM于點E. ∵BC⊥平面ABB1A1,NB平面ABB1A1, ∴NB⊥MG. ∵正方體的棱長為1,M,N分別是BB1,A1B1的中點, ∴△ABM≌△BB1N, ∴∠MAB=∠NBB1,∴∠MBE+∠BME=90, ∴∠MEB=90,即BN⊥AM, 又MG∩AM=M,MG,AM平面ADGM, ∴NB⊥平面ADGM, ∴使NB與MP垂直的點P所構成的軌跡為矩形ADGM(不包括M點).∵正方體的棱長為1, ∴矩形ADGM的周長等于2+.故選D. 二、填空題 9.下列四個命題中,真命題的個數(shù)為________. ①如果兩個平面有三個公共點,那么這兩個平面重合; ②兩條直線可以確定一個平面; ③若點M∈α,M∈β,α∩β=l,則M∈l; ④空間中,相交于同一點的三條直線在同一平面內. 考點 平面的基本性質 題點 確定平面問題 答案 1 解析 只有③正確. 10.如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,側棱AA1⊥平面ABC.若AB=AC=AA1=1, BC=,則異面直線A1C與B1C1所成的角為________. 考點 異面直線所成的角 題點 求異面直線所成的角 答案 60 解析 因為幾何體是棱柱,BC∥B1C1,則直線A1C與BC所成的角就是異面直線A1C與B1C1所成的角,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,側棱AA1⊥平面ABC,AB=AC=AA1=1,BC=,BA1==,則CA1==,所以△BCA1是正三角形,故異面直線所成角為60. 11.如圖,已知點E,F(xiàn)分別在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,則平面AEF與平面ABC所成的二面角的正切值為________. 考點 二面角 題點 知題作角 答案 解析 在平面BC1內延長FE,CB,相交于點G,連接AG,過點B作BH垂直AG于點H,連接EH. ∵BE⊥平面ABCD,AG平面ABCD, ∴BE⊥AG. ∵BH⊥AG,BH∩EB=B, BH,EB平面BEH, ∴AG⊥平面BEH, ∴AG⊥EH.故∠BHE是平面AEF與平面ABC所成二面角的平面角. 設正方體的棱長為a, 則BE=,CF=a, ∴GB∶GC=BE∶CF=1∶2, ∴BG=a,∴BH=a, 故tan∠BHE===. 三、解答題 12.已知△ABC是邊長為1的等邊三角形,D,E分別是AB,AC邊上的點,AD=AE,F(xiàn)是BC的中點,AF與DE交于點G,將△ABF沿AF折起,得到三棱錐A-BCF,其中BC=. (1)證明:DE∥平面BCF; (2)證明:CF⊥平面ABF. 考點 線、面平行、垂直的綜合應用 題點 平行、垂直綜合問題的證明 證明 (1)在等邊三角形ABC中,AD=AE, ∴=, 在折疊后的三棱錐A-BCF中也成立,∴DE∥BC. ∵DE?平面BCF,BC平面BCF, ∴DE∥平面BCF. (2)在等邊三角形ABC中,F(xiàn)是BC的中點, ∴AF⊥BC,折疊后,AF⊥CF. ∵在△BFC中,BC=,BF=CF=, ∴BC2=BF2+CF2,因此CF⊥BF. 又AF∩BF=F,AF,BF平面ABF, ∴CF⊥平面ABF. 13.如圖,在三棱錐ABCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,點E,F(xiàn)(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EF⊥AD. 求證:(1)EF∥平面ABC; (2)AD⊥AC. 考點 線、面平行、垂直的綜合應用 題點 平行與垂直的判定 證明 (1)在平面ABD內, 因為AB⊥AD,EF⊥AD, 則AB∥EF. 又因為EF?平面ABC,AB平面ABC, 所以EF∥平面ABC. (2)因為平面ABD⊥平面BCD, 平面ABD∩平面BCD=BD,BC平面BCD,BC⊥BD, 所以BC⊥平面ABD. 因為AD平面ABD,所以BC⊥AD. 又AB⊥AD,BC∩AB=B,AB平面ABC, BC平面ABC, 所以AD⊥平面ABC. 又因為AC平面ABC, 所以AD⊥AC. 四、探究與拓展 14.已知二面角α-l-β為60,動點P,Q分別在平面α,β內,P到β的距離為,Q到α的距離為2,則P,Q兩點之間距離的最小值為( ) A. B.2 C.2 D.4 考點 線、面平行、垂直的綜合應用 題點 垂直的計算與探索性問題 答案 C 解析 如圖,分別作QA⊥α于點A,AC⊥l于點C,PB⊥β于點B,PD⊥l于點D,連接CQ,BD,則∠ACQ=∠PDB=60,AQ=2,BP=,∴AC=PD=2.又∵PQ==≥2,當且僅當AP=0,即點A與點P重合時取最小值.故選C. 15.如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側棱與底面垂直,∠BAC=90,AB=AC=AA1=2,點M為A1B的中點. (1)證明:A1M⊥平面MAC; (2)在棱B1C1上是否存在點N,使MN∥平面A1ACC1?若存在,試確定點N的位置,并證明你的結論;若不存在,請說明理由. 考點 線、面平行、垂直的綜合應用 題點 垂直的計算與探索性問題 (1)證明 在Rt△BAC中,BC===2.在Rt△A1AC中, A1C===2. ∴BC=A1C,即△A1CB為等腰三角形. 又點M為A1B的中點,∴A1M⊥MC. 又∵四邊形AA1B1B為正方形,M為A1B的中點, ∴A1M⊥MA. 又MC∩MA=M,MC平面MAC,MA平面MAC, ∴A1M⊥平面MAC. (2)解 當N為B1C1的中點時,滿足MN∥平面A1ACC1, 證明如下: 取A1B1的中點P,連接MP,NP. ∵M,P分別為A1B與A1B1的中點, ∴MP∥BB1∥AA1. 又MP?平面A1ACC1,AA1平面A1ACC1, ∴MP∥平面A1ACC1,同理可證NP∥平面A1ACC1. 又MP∩NP=P,∴平面MNP∥平面A1ACC1. ∵MN平面MNP,∴MN∥平面A1ACC1.- 配套講稿:
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