解答題標(biāo)準(zhǔn)練(二) 1．(2018濟(jì)南模擬)在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝2，＝. (1)求BM的長(zhǎng)； (2)設(shè)D是平面ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠BDM＝，求BD＋MD的取值范圍． 解　(1)在△ABC中， AB2＝AC2＋BC2 －2ACBCcos C. 代入數(shù)據(jù)得cos C＝－. ∵＝， ∴CM＝MA＝AC＝1. 在△CBM中，由余弦定理知， BM2＝CM2＋CB2 －2CMCBcos C， 代入數(shù)據(jù)得BM＝. (2)設(shè)∠DBM＝θ，則∠DMB＝－θ，θ∈. 在△BDM中，由正弦定理知， ＝＝＝， ∴BD＝sin，MD＝sin θ， ∴BD＋MD＝sin＋sin θ ＝＝cos θ. 又θ∈，∴cos θ∈， ∴BD＋MD的取值范圍為. 2．(2018合肥模擬)某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品被檢測(cè)出其中一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)存在問(wèn)題．該企業(yè)為了檢查生產(chǎn)該產(chǎn)品的甲、乙兩條流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)地從這兩條流水線上生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取50件產(chǎn)品作為樣本，測(cè)出它們的這一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值．若該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在[195,210)內(nèi)，則為合格品，否則為不合格品．表 1是甲流水線樣本的頻數(shù)分布表，如圖所示是乙流水線樣本的頻率分布直方圖． 表1：甲流水線樣本的頻數(shù)分布表： 質(zhì)量指標(biāo)值 頻數(shù) [190,195) 2 [195,200) 13 [200,205) 23 [205,210) 8 [210,215] 4 (1)若將頻率視為概率，某個(gè)月內(nèi)甲、乙兩條流水線均生產(chǎn)了6萬(wàn)件產(chǎn)品，則甲、乙兩條流水線分別生產(chǎn)出不合格品約多少件？ (2)在甲流水線抽取的樣本的不合格品中隨機(jī)抽取兩件，求兩件不合格品的質(zhì)量指標(biāo)值均偏大的概率； (3)根據(jù)已知條件完成下面22列聯(lián)表，并判斷在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1的前提下能否認(rèn)為“該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩條流水線的選擇有關(guān)”？ 甲流水線 乙流水線 總計(jì) 合格品 不合格品 總計(jì) 附：K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d). P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解　(1)由甲、乙兩條流水線各抽取50件產(chǎn)品可知， 甲流水線生產(chǎn)的不合格品有6件， 則甲流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品為不合格品的概率 P甲＝＝. 乙流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品為不合格品的概率 P乙＝(0.016＋0.032)5＝. 于是，若某個(gè)月內(nèi)甲、乙兩條流水線均生產(chǎn)了6萬(wàn)件產(chǎn)品， 則甲、乙兩條流水線生產(chǎn)的不合格品分別為 60 000＝7 200(件)，60 000＝14 400(件)． (2)在甲流水線抽取的樣本中，不合格品共有6件， 其中質(zhì)量指標(biāo)值偏小的有2件，記為A，B； 質(zhì)量指標(biāo)值偏大的有4件，記為C，D，E，F(xiàn)， 則從中任選2件有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15種結(jié)果， 其中質(zhì)量指標(biāo)值都偏大有6種結(jié)果， 故所求概率P＝＝. (3)22列聯(lián)表如下： 甲流水線 乙流水線 總計(jì) 合格品 44 38 82 不合格品 6 12 18 總計(jì) 50 50 100 則K2＝≈2.439<2.706， 所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1的前提下不能認(rèn)為“該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩條流水線的選擇有關(guān)”． 3．(2018濰坊模擬)如圖所示五面體ABCDEF，四邊形ACFD是等腰梯形，AD∥FC，∠DAC＝，BC⊥平面ACFD，CA＝CB＝CF＝1，AD＝2CF，點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)． (1)在AD上是否存在一點(diǎn)H，使GH∥平面BCD？若存在，指出點(diǎn)H的位置并給出證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； (2)求三棱錐G－ECD的體積． 解　(1)存在點(diǎn)H，H為AD的中點(diǎn)． 證明如下： 連接GH，在△ACD中， 由三角形中位線定理可知GH∥CD， 又GH?平面BCD，CD?平面BCD， ∴GH∥平面BCD. (2)由題意知AD∥CF，AD?平面ADEB，CF?平面ADEB， ∴CF∥平面ADEB， 又CF?平面CFEB，平面CFEB∩平面ADEB＝BE， ∴CF∥BE， ∴VG－ECD＝VE－GCD＝VB－GCD， ∵四邊形ACFD是等腰梯形，∠DAC＝， ∴∠ACD＝. 又∵CA＝CB＝CF＝1，AD＝2CF， ∴CD＝，CG＝. 又BC⊥平面ACFD， ∴VB－GCD＝CGCDBC ＝1＝， ∴三棱錐G－ECD的體積為. 4．(2018廈門質(zhì)檢)過(guò)橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與E交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與E交于C，D兩點(diǎn)．當(dāng)直線l1的斜率為0時(shí)，|AB|＝4，|CD|＝2. (1)求橢圓E的方程； (2)求四邊形ABCD面積的取值范圍． 解　(1)由已知得a＝＝2， 將x＝c代入＋＝1，得y＝， 所以|CD|＝＝＝2，所以b2＝4， 所以橢圓E的方程為＋＝1. (2)①當(dāng)直線l1，l2其中一條的斜率為0， 另一條的斜率不存在時(shí)， S四邊形ACBD＝|AB||CD|＝42＝8. ②當(dāng)兩條直線的斜率均存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為x＝my＋2， 則直線CD的方程為x＝－y＋2. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得(m2＋2)y2＋4my－4＝0， Δ＝16m2＋16(m2＋2)＝32(m2＋1)， |y1－y2|＝＝， |AB|＝|y1－y2|＝， (或y1＋y2＝，y1y2＝，|AB|＝＝) 用－取代m，得|CD|＝＝， ∴S四邊形ACBD＝|AB||CD|＝ ＝16＝8 ＝8－， 又2m2＋≥4，當(dāng)且僅當(dāng)m＝1時(shí)取等號(hào)， 所以2m2＋∈， 所以S四邊形ACBD＝8－∈. 綜上，四邊形ACBD面積的取值范圍是. 5．(2018葫蘆島模擬)已知函數(shù)f(x)＝(a，b∈R，且a≠0，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))． (1)若曲線f(x)在點(diǎn)(e，f(e))處的切線斜率為0，且f(x)有極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)當(dāng)a＝b＝1時(shí)，證明：xf(x)＋2<0. (1)解　因?yàn)閒(x)＝(x>0)， 所以f′(x)＝， 因?yàn)閒′(e)＝0，所以b＝0，則f′(x)＝， 當(dāng)a>0時(shí)， f′(x)在(0，e)內(nèi)大于0，在(e，＋∞)內(nèi)小于0， f(x)在(0，e)內(nèi)為增函數(shù)，在(e，＋∞)內(nèi)為減函數(shù)， 即f(x)有極大值而無(wú)極小值； 當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在(0，e)內(nèi)為減函數(shù)， 在(e，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)，即f(x)有極小值而無(wú)極大值． 所以a的取值范圍為(－∞，0)． (2)證明　當(dāng)a＝b＝1時(shí)， 設(shè)g(x)＝xf(x)＋2＝ln x－ex＋2(x>0)， g′(x)＝－ex在區(qū)間(0，＋∞)上為減函數(shù)， 因?yàn)間′(1)＝1－e<0，g′＝2－>0， 所以存在實(shí)數(shù)x0∈， 使得g′(x0)＝－＝0， 此時(shí)g(x)在區(qū)間(0，x0)上為增函數(shù)， 在區(qū)間(x0，＋∞)上為減函數(shù)， 因?yàn)間′(x0)＝－＝0， 所以＝，x0＝－ln x0. 由單調(diào)性知， g(x)max＝g(x0)＝ln x0－＋2＝－＋2， 因?yàn)閤0∈，所以－<－2. 所以g(x)max<0，即xf(x)＋2<0. 6．在數(shù)列{an}中，Sn＋1＝4an＋2，a1＝1. (1) 設(shè)cn＝，求證：數(shù)列{cn}是等差數(shù)列； (2) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式． (1)證明　 ∵Sn＋1＝4an＋2，① ∴當(dāng)n≥2，n∈N*時(shí)，Sn＝4an－1＋2.② ①－②得an＋1＝4an－4an－1. 方法一　對(duì)an＋1＝4an－4an－1兩邊同除以2n＋1，得 ＝2－， 即＋＝2， 即cn＋1＋cn－1＝2cn， ∴數(shù)列{cn}是等差數(shù)列． 由Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝4a1＋2， 則a2＝3a1＋2＝5， ∴c1＝＝，c2＝＝，故公差d＝－＝， ∴{cn}是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列． 方法二　∵an＋1－2an＝2an－4an－1 ＝2(an－2an－1)， 令bn＝an＋1－2an， 則{bn}是以a2－2a1＝4a1＋2－a1－2a1＝3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列， ∴bn＝32n－1， ∵ cn＝，∴ cn＋1－cn＝－＝ ＝＝＝， c1＝＝， ∴ {cn}是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列． (2)解　由(1)可知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列， ∴＝＋(n－1)＝n－，an＝(3n－1)2n－2是數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 設(shè)Sn＝(3－1)2－1＋(32－1)20＋…＋(3n－1)2n－2， 則2Sn＝(3－1)20＋(32－1)21＋…＋(3n－1)2n－1， ∴Sn＝2Sn－Sn ＝－(3－1)2－1－3(20＋21＋…＋2n－2)＋(3n－1)2n－1 ＝－1－3＋(3n－1)2n－1 ＝－1＋3＋(3n－4)2n－1 ＝2＋(3n－4)2n－1. ∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(3n－1)2n－2，前n項(xiàng)和公式為Sn＝2＋(3n－4)2n－1，n∈N*.