課時(shí)分層作業(yè) 三十九 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.由平面六邊形沿某一方向平移形成的空間幾何體是 (　　) A.六棱錐 B.六棱臺(tái) C.六棱柱 D.非棱柱、棱錐、棱臺(tái)的一個(gè)幾何體 【解析】選C.平面六邊形沿某一方向平移形成的空間幾何體符合棱柱的定義. 2.水平放置的△ABC的直觀圖如圖,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=,那么原 △ABC是一個(gè) (　　) A.等邊三角形 B.直角三角形 C.三邊中只有兩邊相等的等腰三角形 D.三邊互不相等的三角形 【解析】選A.AO=2A′O′=2=, 在Rt△AOB中,AB==2,同理AC=2, 所以BC是等邊三角形. 3.一個(gè)簡單幾何體的正視圖、側(cè)視圖分別為如圖所示的矩形、正方形,則其俯視圖不可能為 (　　) A.矩形 B.直角三角形 C.橢圓 D.等腰三角形 【解析】選D.依題意,題中的幾何體的俯視圖的長為3、寬為2,因此結(jié)合題中選項(xiàng)知,其俯視圖不可能是等腰三角形. 【變式備選】下列結(jié)論正確的是 (　　) A.各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐 B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐 C.棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長都相等,則該棱錐可能是六棱錐 D.圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線 【解析】選D.A錯(cuò)誤,如圖①是由兩個(gè)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體,它的各個(gè)面都是三角形,但它不是三棱錐;B錯(cuò)誤,如圖②,若△ABC不是直角三角形,或△ABC是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊,所得的幾何體都不是圓錐;C錯(cuò)誤,若該棱錐是六棱錐,由題設(shè)知,它是正六棱錐,易證正六棱錐的側(cè)棱長必大于底面邊長,這與題設(shè)矛盾. 4.(2018武漢模擬)若某幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體的直觀圖 是 (　　) 【解析】選A.B的側(cè)視圖不對(duì),C的俯視圖不對(duì),D的正視圖不對(duì),排除B,C,D. 【變式備選】已知底面為正方形的四棱錐,其一條側(cè)棱垂直于底面,那么該四棱錐的三視圖可能是下列各圖中的 (　　) 【解析】選C.根據(jù)三視圖的定義可知A,B,D均不可能. 5.(2018泰安模擬)某三棱錐的三視圖如圖所示,則其表面中直角三角形的個(gè)數(shù)為 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】選D.由三視圖可得該三棱錐的底面是直角邊為2的等腰直角三角形;一個(gè)底邊長為2、底邊上的高為1的側(cè)面垂直于底面,該側(cè)面是直角邊長為的直角三角形;利用面面垂直的性質(zhì)定理可得右邊一個(gè)側(cè)面是邊長分別為2,,的直角三角形;則左邊一個(gè)側(cè)面是邊長分別為,,2的三角形,也是直角三角形.所以該三棱錐表面的4個(gè)面都是直角三角形. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.(2018貴陽模擬)如圖,點(diǎn)O為正方體ABCD-A′B′C′D′的中心,點(diǎn)E為面B′BCC′的中心,點(diǎn)F為B′C′的中點(diǎn),則空間四邊形D′OEF在該正方體的各個(gè)面上的正投影可能是____________(填出所有可能的序號(hào)). 【解析】空間四邊形D′OEF在正方體的面DCC′D′及其對(duì)面ABB′A′上的正投影是①;在面BCC′B′及其對(duì)面ADD′A′上的正投影是②;在面ABCD及其對(duì)面A′B′C′D′上的正投影是③. 答案:①②③ 7.(2018昆明模擬)如圖,三棱錐V-ABC的底面為正三角形,側(cè)面VAC與底面垂直且VA=VC,已知其正視圖的面積為,則其側(cè)視圖的面積為 __________. 【解析】設(shè)AC的長為a,側(cè)面VAC的邊AC上的高為h,則ah=,其側(cè)視圖是由底面三角形ABC邊AC上的高與側(cè)面三角形VAC邊AC上的高組成的直角三角形,其面積為ah==. 答案: 8.某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐最長的棱長為__________. 【解析】如圖所示,該幾何體為三棱錐P-ABC.過點(diǎn)P作PO⊥平面ABC,垂足為O點(diǎn),連接OB,OC,則四邊形ABOC為平行四邊形,OA⊥OB.則最長棱為PC==3. 答案:3 三、解答題(每小題10分,共20分) 9.已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形,正視圖是一個(gè)底邊長為8、高為4的等腰三角形,側(cè)視圖是一個(gè)底邊長為6、高為4的等腰三角形. (1)求該幾何體的體積V. (2)求該幾何體的側(cè)面積S. 【解析】由已知可得,該幾何體是一個(gè)底面為矩形,高為4,頂點(diǎn)在底面的投影是矩形中心的四棱錐E-ABCD. (1)V=864=64. (2)四棱錐E-ABCD的兩個(gè)側(cè)面EAD,EBC是全等的等腰三角形,高為5;另兩個(gè)側(cè)面EAB,ECD也是全等的等腰三角形,高為4, 因此S=2 =40+24. 10.圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20π,求r的值. 【解析】如圖所示, 該幾何體是一個(gè)半球與一個(gè)半圓柱的組合體,球的半徑為r,圓柱的底面半徑為r,高為2r,則表面積S=4πr2+πr2+4r2+πr2r=(5π+4)r2. 又S=16+20π,所以(5π+4)r2=16+20π, 所以r2=4,r=2. 1.(5分)由6個(gè)棱長為1的正方體在桌面上堆成一個(gè)幾何體,該幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示,則其側(cè)視圖不可能為 (　　) 【解析】選D.由6個(gè)棱長為1的正方體在桌面上堆成一個(gè)幾何體,結(jié)合該幾何體的正視圖與俯視圖: ①當(dāng)正方體的擺放如圖所示時(shí)(格中數(shù)字表示每摞正方體的個(gè)數(shù)), 幾何體的側(cè)視圖如圖所示,故排除A; ②當(dāng)正方體的擺放如圖所示時(shí)(格中數(shù)字表示每摞正方體的個(gè)數(shù)), 幾何體的側(cè)視圖如圖所示,故排除B; ③當(dāng)正方體的擺放如圖所示時(shí)(格中數(shù)字表示每摞正方體的個(gè)數(shù)), 幾何體的側(cè)視圖如圖所示,故排除C. 2.(5分)“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體.它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成,相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上,好似兩個(gè)扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋),其直觀圖如圖,圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線.當(dāng)其正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí),它的俯視圖可能是 (　　) 【解析】選B.外輪廓為正方形,邊界交線在俯視圖中為正方形的對(duì)角線. 【變式備選】(2018長沙模擬)如圖所示,已知點(diǎn)E,F,G分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1,DD1的中點(diǎn),點(diǎn)M,N,Q,P分別在線段DF,AG,BE,C1B1上.以M,N,Q,P為頂點(diǎn)的三棱錐P-MNQ的俯視圖不可能是 (　　) 【解析】選C.當(dāng)M與F重合、N與G重合、Q與E重合、P與B1重合時(shí),三棱錐P-MNQ的俯視圖為A;當(dāng)M,N,Q,P是所在線段的中點(diǎn)時(shí),三棱錐P-MNQ的俯視圖為B;當(dāng)M、N,Q,P位于所在線段的非端點(diǎn)位置時(shí),存在三棱錐P-MNQ,使其俯視圖為D. 3.(5分)已知棱長為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形,則該正方體的正視圖的面積不可能等于 (　　) A.1 B. C. D. 【解析】選C.由題可知正方體的底面與水平面平行,先把正方體正放,然后將正方體按某一側(cè)棱逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).易知當(dāng)正方體正放時(shí),其正視圖的面積最小,為11=1;當(dāng)正方體逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45時(shí),其正視圖的面積最大,為1=.而<1,所以正方體的正視圖的面積不可能等于. 【變式備選】(2018石家莊模擬)某幾何體的三視圖如圖所示,記A為此幾何體所有棱的長度構(gòu)成的集合,則 (　　) A.3∈A B.5∈A C.2∈A D.4∈A 【解析】選D.由三視圖可得該幾何體是一個(gè)三棱柱截去一個(gè)三棱錐,該幾何體的直觀圖如圖所示, 其中底面是邊長為4的正方形,AF⊥平面ABCD,AF∥DE,AF=2,DE=4,可求得BE的長為4,BF的長為2,EF的長為2,EC的長為4. 4.(12分)如圖是一個(gè)幾何體的正視圖和俯視圖. (1)試判斷該幾何體是什么幾何體. (2)畫出其側(cè)視圖,并求該平面圖形(側(cè)視圖)的面積. 【解析】(1)由該幾何體的正視圖和俯視圖可知該幾何體是一個(gè)正六棱錐. (2)該幾何體的側(cè)視圖如圖: 其中AB=AC,AD⊥BC,且BC的長是俯視圖正六邊形對(duì)邊間的距離,即BC=a,AD是正六棱錐的高,則AD=a,所以該平面圖形(側(cè)視圖)的面積為S=aa=a2. 5.(13分)某幾何體的一條棱長為,在該幾何體的正視圖中,這條棱的投影是長為的線段,在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中,這條棱的投影分別是長為a和b的線段,求a+b的最大值. 【解析】如圖,把幾何體放到長方體中,使得長方體的體對(duì)角線剛好為幾何體的已知棱,則長方體的體對(duì)角線A1C=,則它的正視圖投影長為A1B=,側(cè)視圖投影長為A1D=a,俯視圖投影長為A1C1=b,則a2+b2+()2=2()2,即a2+b2=8,又≤,當(dāng)且僅當(dāng)“a=b=2”時(shí)等號(hào)成立.所以a+b≤4,即a+b的最大值為4. 【變式備選】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體從上到下由四個(gè)簡單幾何體組成,其體積分別記為V1,V2,V3,V4,上面兩個(gè)簡單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體,下面兩個(gè)簡單幾何體均為多面體,則有 (　　) A.V1<V2<V4<V3 B.V1<V3<V2<V4 C.V2<V1<V3<V4 D.V2<V3<V1<V4 【解析】選C.本題考查三視圖以及幾何體的體積計(jì)算問題,意在考查考生空間想象能力和運(yùn)算求解能力.由題意可知,由于上面兩個(gè)簡單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體,下面兩個(gè)簡單幾何體均為多面體.根據(jù)三視圖可知,最上面一個(gè)簡單幾何體是上底面圓的半徑為2、下底面圓的半徑為1、高為1的圓臺(tái),其體積V1=π(12+22+12)1=π;從上到下的第二個(gè)簡單幾何體是一個(gè)底面圓半徑為1、高為2的圓柱,其體積V2=π122=2π;從上到下的第三個(gè)簡單幾何體是邊長為2的正方體,其體積V3=23=8;從上到下的第四個(gè)簡單幾何體是一個(gè)棱臺(tái),其上底面是邊長為2的正方形,下底面是邊長為4的正方形,棱臺(tái)的高為1,故體積V4=(22+24+42)1=,比較大小可知答案選C.