第六章 推理與證明 章末質(zhì)量評(píng)估 (時(shí)間：120分鐘　滿分：150分) 一、選擇題(每小題5分，共50分) 1．學(xué)習(xí)合情推理后，甲、乙兩位同學(xué)各舉了一個(gè)例子， 甲：由“若三角形周長(zhǎng)為l，面積為S，則其內(nèi)切圓半徑r＝”類比可得“若三棱錐表面積為S，體積為V，則其內(nèi)切球半徑r＝”； 乙：由“若直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b，則其外接圓半徑r＝”類比可得“若三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直，側(cè)棱長(zhǎng)分別為a、b、c，則其外接球半徑r＝”．這兩位同學(xué)類比得出的結(jié)論 (　　) A．兩人都對(duì) B．甲錯(cuò)、乙對(duì) C．甲對(duì)、乙錯(cuò) D．兩人都錯(cuò) 解析　利用等面積與等體積法可推得甲同學(xué)類比的結(jié)論是正確的；把三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，則此三棱錐的外接球半徑等于長(zhǎng)方體的外接球半徑，可求得其半徑r＝，因此，乙同學(xué)類比的結(jié)論是錯(cuò)誤的． 答案　C 2．設(shè)S(n)＝＋＋＋＋…＋，則 (　　)． A．S(n)共有n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，S(2)＝＋ B．S(n)共有n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，S(2)＝＋＋ C．S(n)共有n2－n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，S(2)＝＋＋ D．S(n)共有n2－n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，S(2)＝＋＋ 解析　從n到n2共有n2－n＋1個(gè)自然數(shù)，即S(n)共有n2－n＋1項(xiàng)． 答案　D 3．在△ABC中，sin Asin C>cos Acos C，則△ABC一定是 (　　)． A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定 解析　由sin Asin C>cos Acos C，可得cos (A＋C)<0， ∴cos B>0.但A、C不能判斷． 答案　D 4．下列三句話按三段論的模式排列順序正確的是 (　　)． ①2 006能被2整除；②一切偶數(shù)都能被2整除；③2 006是偶數(shù)． A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②① 答案　C 5．已知a＋b＋c＝0，則ab＋bc＋ca的值 (　　)． A．大于0 B．小于0 C．不小于0 D．不大于0 解析　∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)＝0. 又∵a2＋b2＋c2≥0， ∴2(ab＋bc＋ac)≤0. 答案　D 6．已知a，b∈R，若a≠b，且a＋b＝2，則 (　　)． A．1<ab< B．a(chǎn)b<1< C．a(chǎn)b<<1 D.<ab<1 解析　∵b＝2－a， ∴ab＝a(2－a)＝－(a2－2a)＝－(a－1)2＋1<1， ＝＝＝a2－2a＋2＝(a－1)2＋1>1，故選B. 答案　B 7．下列推理是歸納推理的是 (　　)． A．A，B為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的軌跡為橢圓 B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式 C．由圓x2＋y2＝r2的面積πr2，猜出橢圓＋＝1的面積S＝πab D．科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇 解析　從S1，S2，S3猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，是從特殊到一般的推理，所以B是歸納推理． 答案　B 8．某個(gè)命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)n＝k(k∈N＋)時(shí)，該命題成立，那么可 推得當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立．現(xiàn)在已知當(dāng)n＝5時(shí)，該命題不成立，那么可推得 (　　)． A．當(dāng)n＝6時(shí)該命題不成立 B．當(dāng)n＝6時(shí)該命題成立 C．當(dāng)n＝4時(shí)該命題不成立 D．當(dāng)n＝4時(shí)該命題成立 解析　依題意，若n＝4時(shí)該命題成立，則n＝5時(shí)該命題成立；而n＝5時(shí)該命題不成立，卻無法判斷n＝6時(shí)該命題成立還是不成立，故選C. 答案　C 9．已知函數(shù)f(x)＝|ln x|，若>a>b>1，則f(a)，f(b)，f(c)比較大小關(guān)系正確的是 (　　)． A．f(c)>f(b)>f(a) B．f(b)>f(c)>f(a) C．f(c)>f(a)>f(b) D．f(b)>f(a)>f(c) 解析　當(dāng)x>1時(shí)，f(x)＝|lnx|＝lnx為增函數(shù)，因?yàn)?amp;gt;a>b>1，所以f>f(a)>f(b)，而f＝＝|ln c|＝f(c)，所以f(c)>f(a)>f(b)． 答案　C 10．若a>b>c，n∈N＋，且＋≥恒成立，則n的最大值為 (　　)． A．2 B．3 C．4 D．5 解析?。? ＝≥＝. 所以nmax＝4. 或者(a－c)· ＝[(a－b)＋(b－c)]· ≥2·2 ＝4. 答案　C 二、填空題(每小題5分，共25分) 11．在數(shù)列{an}中，a1＝1，且Sn，Sn＋1,2S1成等差數(shù)列(Sn表示數(shù)列{an}的前 n項(xiàng)和)，則S2，S3，S4分別為__________________，猜想Sn＝________. 解析　由Sn，Sn＋1,2S1成等差數(shù)列， 得2Sn＋1＝Sn＋2S1， 因?yàn)镾1＝a1＝1，所以2Sn＋1＝Sn＋2. 令n＝1，則2S2＝S1＋2＝1＋2＝3?S2＝， 同理，分別令n＝2，n＝3，可求得S3＝，S4＝. 由S1＝1＝，S2＝＝， S3＝＝，S4＝＝，猜想Sn＝. 答案：，，　 12．設(shè)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且滿足f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)，如 果f(1)＝lg，f(2)＝lg 15，則f(2 008)＝________. 解析　由f(1)＝lg＝lg 15－1，f(2)＝lg 15， f(3)＝f(2)－f(1)＝1， f(4)＝f(3)－f(2)＝1－lg 15， f(5)＝f(4)－f(3)＝－lg 15， f(6)＝f(5)－f(4)＝－1， f(7)＝f(6)－f(5)＝lg 15－1， f(8)＝f(7)－f(6)＝lg 15，…， 可以猜想到，從f(7)開始，又重復(fù)了上述數(shù)值， 即f(x＋6)＝f(x)， ∴f(2 008)＝f(334×6＋4)＝f(4)＝1－lg 15. 答案：1－lg 15 13．觀察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43 ＝(1＋2＋3＋4)2，…，根據(jù)上述規(guī)律，第四個(gè)等式為________． 答案　13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2 14．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋2＋3＋…＋n2＝，則n＝k＋1時(shí)左端在n ＝k時(shí)的左端加上________． 解析　n＝k左端為1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1時(shí)左端為1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2. 答案　(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 15．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成 等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn，則T4，________，________，成等比數(shù)列． 解析　對(duì)于等比數(shù)列，通過類比，有等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn，則T4＝a1a2a3a4，T8＝a1a2…a8，T12＝a1a2…a12，T16＝a1a2…a16，因此＝a5a6a7a8，＝a9a10a11a12，＝a13a14a15a16，而T4，，，的公比為q16，因此T4，，，成等比數(shù)列． 答案　　 三、解答題(本大題共6小題，共75分) 16．(本小題滿分13分)下列是真命題還是假命題，用分析法證明你的結(jié)論． 命題：若a>b>c且a＋b＋c＝0，則<. 證明　此命題是真命題 ∵a＋b＋c＝0，a>b>c，∴a>0，c<0. 要證<成立，只要證<a. 即證b2－ac<3a2，也就是證：(a＋c)2－ac<3a2. 即證(a－c)(2a＋c)>0. ∵a－c>0,2a＋c＝(a＋c)＋a＝a－b>0， ∴(a－c)(2a＋c)>0成立．故原不等式成立． 17．(本小題滿分13分)設(shè)a>0，b>0,2c>a＋b，求證： (1)c2>ab； (2)c－<a<c＋. 證明　(1)∵a>0，b>0，∴2c>a＋b≥2 ∴c>>0，∴c2>ab. (2)要證c－<a<c＋ 只要證－<a－c< 即證|a－c|<，也就是(a－c)2<c2－ab 而(a－c)2－(c2－ab)＝a(a＋b－2c)<0 ∴原不等式成立． 18. (本小題滿分13分)如圖，SA⊥平面ABC，AB⊥ BC，過A作SB的垂線，垂足為E；過E作SC的垂線，垂足為F. 求證：AF⊥SC. 證明　要證AF⊥SC，只需證SC⊥平面AEF， 只需證AE⊥SC(因?yàn)镋F⊥SC)， 只需證AE⊥平面SBC， 只需證AE⊥BC(因?yàn)锳E⊥SB)， 只需證BC⊥平面SAB， 只需證BC⊥SA(因?yàn)锳B⊥BC)． 由SA⊥平面ABC可知上式成立，所以AF⊥SC. 19．(本小題滿分12分)觀察下表： 1， 2,3 4,5,6,7 8,9,10,11,12,13,14,15， … 問：(1)此表第n行的最后一個(gè)數(shù)是多少？ (2)此表第n行的各個(gè)數(shù)之和是多少？ (3)2 008是第幾行的第幾個(gè)數(shù)？ 解　(1)∵第n＋1行的第1個(gè)數(shù)是2n， ∴第n行的最后一個(gè)數(shù)是2n－1. (2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1) ＝＝3·2n－3－2n－2為所求． (3)∵210＝1 024,211＝2 048,1 024<2 008<2 048， ∴2 008在第11行，該行第1個(gè)數(shù)是210＝1 024，由2 008－1 024＋1＝985，知2 008是第11行的985個(gè)數(shù)． 20．(本小題滿分12分)用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意n∈N＋，··… >成立． 證明　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝，右邊＝，因?yàn)?amp;gt;，所以不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)不等式成立，即··……>成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 左邊＝··……·>· ＝ ＝ ＝ >. 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立，由(1)，(2)可得不等式恒成立． 21．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝x2－4，設(shè)曲線y＝f(x)在點(diǎn)(xn，f(xn)) 處的切線與x軸的交點(diǎn)為(xn＋1,0)(n∈N＋)，其中x1為正實(shí)數(shù)． (1)用xn表示xn＋1； (2)求證：對(duì)一切正整數(shù)n，xn＋1≤xn的充要條件是x1≥2； (3)若x1＝4，記an＝lg，證明數(shù)列{an}成等比數(shù)列，并求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式． (1)解　由題意可得f′(x)＝2x， 所以過曲線上點(diǎn)(xn，f(xn))的切線方程為 y－f(xn)＝f′(xn)(x－xn)， 即y－(x－4)＝2xn(x－xn)． 令y＝0，得－(x－4)＝2xn(xn＋1－xn)． 即x＋4＝2xnxn＋1.顯然xn≠0，∴xn＋1＝＋. (2)證明　(必要性) 若對(duì)一切正整數(shù)n，有xn＋1≤xn，則x2≤x1， 即＋≤x1，∴x≥4.而x1>0，即有x1≥2. (充分性)若x1≥2>0，由xn＋1＝＋， 用數(shù)學(xué)歸納法易得xn>0，從而 xn＋1＝＋≥2＝2(n≥1)， 即xn≥2(n≥2)．又x1≥2，∴xn≥2(n≥1)． 于是xn＋1－xn＝＋－xn＝ ＝≤0. 即xn＋1≤xn對(duì)一切正整數(shù)n成立． (3)解　xn＋1＝＋，知xn＋1＋2＝， 同理，xn＋1－2＝.故＝()2. 從而lg＝2lg，即an＋1＝2an. 所以，數(shù)列{an}成等比數(shù)列， 故an＝2n－1a1＝2n－1·lg＝2n－1lg 3， 即lg＝2n－1lg 3. 從而＝32n－1，所以xn＝. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375