《高中數(shù)學 第二章 基本初等函數(shù)Ⅰ2.3 冪函數(shù)教學設計 新人教A版必修1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數(shù)學 第二章 基本初等函數(shù)Ⅰ2.3 冪函數(shù)教學設計 新人教A版必修1（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2.3　冪函數(shù) 教學分析 冪函數(shù)作為一類重要的函數(shù)模型，是學生在系統(tǒng)地學習了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)之后研究的又一類基本的初等函數(shù)．學生已經(jīng)有了學習指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質的學習經(jīng)歷，冪函數(shù)概念的引入以及圖象和性質的研究便水到渠成．因此，學習過程中，引入冪函數(shù)的概念之后，嘗試放手讓學生自己進行合作探究學習．本節(jié)通過實例，讓學生認識到冪函數(shù)同樣也是一種重要的函數(shù)模型，通過研究y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝等函數(shù)的性質和圖象，讓學生認識到冪指數(shù)大于零和小于零兩種情形下，冪函數(shù)的共性：當冪指數(shù)α＞0時，冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(0,0)和(1,1)，且在第一象限內函數(shù)單調遞增；

2、當冪指數(shù)α＜0時，冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(1,1)，且在第一象限內函數(shù)單調遞減且以兩坐標軸為漸近線．在方法上，我們應注意從特殊到一般地去進行類比研究冪函數(shù)的性質，并注意與指數(shù)函數(shù)進行對比學習． 將冪函數(shù)限定為五個具體函數(shù)，通過研究它們來了解冪函數(shù)的性質．其中，學生在初中已經(jīng)學習了y＝x，y＝x2，y＝x－1等三個簡單的冪函數(shù)，對它們的圖象和性質已經(jīng)有了一定的感性認識．現(xiàn)在明確提出冪函數(shù)的概念，有助于學生形成完整的知識結構．學生已經(jīng)了解了函數(shù)的基本概念、性質和圖象，研究了兩個特殊函數(shù)：指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，對研究函數(shù)已經(jīng)有了基本思路和方法．因此，教材安排學習冪函數(shù)，除內容本身外，掌握研究函數(shù)的一般

3、思想方法是另一目的，另外，應讓學生了解利用信息技術來探索函數(shù)圖象及性質是一個重要途徑． 學習中學生容易將冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)混淆，因此在引出冪函數(shù)的概念之后，可以組織學生對兩類不同函數(shù)的表達式進行辨析． 三維目標 1．通過生活實例引出冪函數(shù)的概念，會畫冪函數(shù)的圖象，通過觀察圖象，了解冪函數(shù)圖象的變化情況和性質，加深學生對研究函數(shù)性質的基本方法和流程的經(jīng)驗，培養(yǎng)學生的概括抽象和識圖能力，使學生體會到生活中處處有數(shù)學，激發(fā)學生的學習興趣． 2．了解幾個常見的冪函數(shù)的性質，通過這幾個冪函數(shù)的性質，總結冪函數(shù)的性質，通過畫圖比較，使學生進一步體會數(shù)形結合的思想，利用計算機等工具，了解冪函數(shù)和指數(shù)函

4、數(shù)的本質差別，使學生充分認識到現(xiàn)代技術在人們認識世界的過程中的作用，從而激發(fā)學生的學習欲望． 3．應用冪函數(shù)的圖象和性質解決有關簡單問題，培養(yǎng)學生觀察分析歸納能力，了解類比法在研究問題中的作用，滲透辯證唯物主義觀點和方法論，培養(yǎng)學生運用具體問題具體分析的方法去分析和解決問題的能力． 重點難點 教學重點：從五個具體的冪函數(shù)中認識冪函數(shù)的概念和性質． 教學難點：根據(jù)冪函數(shù)的單調性比較兩個同指數(shù)的指數(shù)式的大?。? 課時安排 1課時 導入新課 思路1 1．如果張紅購買了每千克1元的水果w千克，那么她需要付的錢數(shù)p(元)和購買的水果量w(千克)之間有何關系？根據(jù)函數(shù)的定義可知，這里p

5、是w的函數(shù)． 2．如果正方形的邊長為a，那么正方形的面積S＝a2，這里S是a的函數(shù)． 3．如果正方體的邊長為a，那么正方體的體積V＝a3，這里V是a的函數(shù)． 4．如果正方形場地面積為S，那么正方形的邊長a＝，這里a是S的函數(shù)． 5．如果某人t s內騎車行進了1 km，那么他騎車的速度v＝t－1 km/s，這里v是t的函數(shù)． 以上是我們生活中經(jīng)常遇到的幾個數(shù)學模型，你能發(fā)現(xiàn)以上幾個函數(shù)解析式有什么共同點嗎？(右邊指數(shù)式，且底數(shù)都是變量)． (適當引導：從自變量所處的位置這個角度)(引入新課，書寫課題：冪函數(shù))． 思路2．我們前面學習了三類具體的初等函數(shù)：二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)

6、，這一節(jié)課我們再學習一種新的函數(shù)——冪函數(shù)，教師板書課題：冪函數(shù)． 推進新課 提出問題 (1)給出下列函數(shù)：y＝x，y＝，y＝x2，y＝x－1，y＝x3，考察這些解析式的特點，總結出來，是否為指數(shù)函數(shù)？ (2)根據(jù)(1)，如果讓我們起一個名字的話，你將會給他們起個什么名字呢？請給出一個一般性的結論． (3)我們前面學習指對數(shù)函數(shù)的性質時，用了什么樣的思路？研究冪函數(shù)的性質呢？ (4)畫出y＝x，y＝，y＝x2，y＝x－1，y＝x3五個函數(shù)圖象，完成下列表格. (5)通過對以上五個函數(shù)圖象的觀察，哪個象限一定有冪函數(shù)的圖象？哪個象限一定沒有冪函數(shù)的圖象？哪個象限可能有冪函數(shù)

7、的圖象，這時可以通過什么途徑來判斷？ (6)通過對以上五個函數(shù)圖象的觀察和填表，你能類比出一般的冪函數(shù)的性質嗎？ 活動：考慮到學生已經(jīng)學習了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)，對函數(shù)的學習、研究有了一定的經(jīng)驗和基本方法，所以教學流程又分兩條線，一條以內容為明線，另一條以研究函數(shù)的基本內容和方法為暗線，教學過程中同時展開，學生相互討論，必要時，教師將解析式寫成指數(shù)冪形式，以啟發(fā)學生歸納，學生作圖，教師巡視，學生小組討論，得到結論，必要時，教師利用幾何畫板演示． 討論結果： (1)通過觀察發(fā)現(xiàn)這些函數(shù)的變量在底數(shù)位置，解析式右邊都是冪，因為它們的變量都在底數(shù)位置上，不符合指數(shù)函數(shù)的定義，所以都不是指數(shù)函數(shù)

8、． (2)由于函數(shù)的指數(shù)是一個常數(shù)，底數(shù)是變量，類似于我們學過的冪的形式，因此我們稱這種類型的函數(shù)為冪函數(shù)，如果我們用字母α來表示函數(shù)的指數(shù)，就能得到一般的式子，即冪函數(shù)的定義：一般地，形如y＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)． 如y＝x2，y＝，y＝x3等都是冪函數(shù)，冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)一樣，都是基本初等函數(shù)． (3)我們研究指數(shù)、對數(shù)函數(shù)時，根據(jù)圖象研究函數(shù)的性質，由具體到一般；一般要考慮函數(shù)的定義域、值域、單調性、奇偶性；有時也通過畫函數(shù)圖象，從圖象的變化情況來看函數(shù)的定義域、值域、單調性、奇偶性等性質，研究冪函數(shù)的性質也應如此． (4)學生用描點法，也可應用

9、函數(shù)的性質，如奇偶性、定義域等，畫出函數(shù)圖象．利用描點法，在同一坐標系中畫出函數(shù)y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝x－1的圖象． 列表： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y＝x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y＝ … 0 1 1.41 1.73 … y＝x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … y＝x3 … －27 －8 －1 0 1 8 27 … y＝x－1 … － － －1 1 … 描點、連線．畫出以上五個函數(shù)的圖象如圖1.

10、 圖1 讓學生通過觀察圖象，分組討論，探究冪函數(shù)的性質和圖象的變化規(guī)律，教師注意引導學生用類比研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的方法研究冪函數(shù)的性質． 通過觀察圖象，完成表格. (5)第一象限一定有冪函數(shù)的圖象；第四象限一定沒有冪函數(shù)的圖象；而第二、三象限可能有，也可能沒有圖象，這時可以通過冪函數(shù)的定義域和奇偶性來判斷． (6)冪函數(shù)y＝xα的性質． ①所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(1,1)(原因：1x＝1)； ②當α＞0時，冪函數(shù)的圖象都通過原點，并且在[0，＋∞)上是增函數(shù)(從左往右看，函數(shù)圖象逐漸上升)． 特別地，當α＞1時，x∈(0,1)，y＝xα的

11、圖象都在y＝x圖象的下方，形狀向下凸，α越大，下凸的程度越大． 當0＜α＜1時，x∈(0,1)，y＝xα的圖象都在y＝x的圖象上方，形狀向上凸，α越小，上凸的程度越大． ③當α＜0時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)． 思路1 例1 判斷下列函數(shù)哪些是冪函數(shù)． ①y＝0.2x；②y＝x－3；③y＝x－2；④y＝. 活動：學生獨立思考，討論回答，教師巡視引導，及時評價學生的回答．根據(jù)冪函數(shù)的定義判別，形如y＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，變量x的系數(shù)為1，指數(shù)α是一個常數(shù)，嚴格按這個標準來判斷． 解：①y＝0.2x的底數(shù)是0.2，因此不是冪函數(shù)； ②y＝x－3的底數(shù)是變量，指

12、數(shù)是常數(shù)，因此是冪函數(shù)； ③y＝x－2的底數(shù)是變量，指數(shù)是常數(shù)，因此是冪函數(shù)； ④y＝的底數(shù)是變量，指數(shù)是常數(shù)，因此是冪函數(shù)． 點評：判斷函數(shù)是否是冪函數(shù)要嚴格按定義來判斷. 變式訓練 判別下列函數(shù)中有幾個冪函數(shù)？ ①；②y＝2x2；③；④y＝x2＋x；⑤y＝－x3. 解：①③的底數(shù)是變量，指數(shù)是常數(shù)，因此①③是冪函數(shù)； ②的變量x2的系數(shù)為2，因此不是冪函數(shù)； ④的變量是和的形式，因此也不是冪函數(shù)； ⑤的變量x3的系數(shù)為－1，因此不是冪函數(shù). 例2 求下列冪函數(shù)的定義域，并指出其奇偶性、單調性． (1)；(2)；(3)y＝x－2. 活動：學生思考，小組討論，教師引導

13、，學生展示思維過程，教師評價．根據(jù)你的學習經(jīng)歷，回顧求一個函數(shù)的定義域的方法，判斷函數(shù)奇偶性、單調性的方法．判斷函數(shù)奇偶性、單調性的方法，一般用定義法．解決有關函數(shù)求定義域的問題時，可以從以下幾個方面來考慮：列出相應不等式或不等式組，解不等式或不等式組即可得到所求函數(shù)的定義域． 解：(1)要使函數(shù)有意義，只需y＝有意義，即x∈R.所以函數(shù)的定義域是x∈R.又f(－x)＝f(x)，所以函數(shù)是偶函數(shù)，它在(－∞，0]上是減函數(shù)，在[0，＋∞)上是增函數(shù)． (2)要使函數(shù)有意義，只需y＝有意義，即x∈R＋，所以函數(shù)的定義域是R＋，由于函數(shù)的定義域不關于原點對稱，所以函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，它在(0，

14、＋∞)上是減函數(shù)． (3)要使函數(shù)y＝x－2有意義，只需y＝有意義，即x≠0，所以函數(shù)y＝x－2的定義域是x≠0，又f(－x)＝f(x)，所以函數(shù)y＝x－2是偶函數(shù)，它在(－∞，0)上是增函數(shù)，在(0，＋∞)上是減函數(shù)． 點評：在函數(shù)解析式中含有分數(shù)指數(shù)時，可以把它們的解析式化成根式，根據(jù)“偶次根號下非負”這一條件來求出對應函數(shù)的定義域；當函數(shù)解析式的冪指數(shù)為負數(shù)時，根據(jù)負指數(shù)冪的意義將其轉化為分式形式，根據(jù)分式的分母不能為0這一限制條件來求出對應函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域的本質是解不等式或不等式組． 例3 證明冪函數(shù)f(x)＝在[0，＋∞)上是增函數(shù)． 活動：學生先思考或討論，再回

15、答，教師根據(jù)實際，可以提示引導．證明函數(shù)的單調性一般用定義法，有時利用復合函數(shù)的單調性． 證明：任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝－＝＝，因為x1－x2＜0，＋＞0，所以＜0.所以f(x1)＜f(x2)，即f(x)＝在[0，＋∞)上是增函數(shù)． 點評：證明函數(shù)的單調性要嚴格按步驟和格式書寫，利用作商的方法比較大小，f(x1)與f(x2)的符號要一致． 思路2 例1 函數(shù)y＝的定義域是(　　) A．{x|x≠0，或x≠2} B．(－∞，0)∪(2，＋∞) C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．(0,2) 解析：函數(shù)y＝化為y＝，

16、要使函數(shù)有意義需x2－2x＞0，即x＞2或x＜0，所以函數(shù)的定義域為{x|x＞2，或x＜0}． 答案：B 變式訓練 函數(shù)y＝的值域是(　　) A．[0，＋∞) B．(0,1] C．(0,1) D．[0,1] 活動：學生獨立解題，先思考，然后上黑板板演，教師巡視指導．函數(shù)的值域要根據(jù)函數(shù)的定義域來求．函數(shù)可化為根式形式，偶次方根號的被開方數(shù)大于零，轉化為等式或不等式來解，可得定義域，這是復合函數(shù)求值域問題，利用換元法． 分析：令t＝1－x2，則y＝， 因為函數(shù)的定義域是{x|－1≤x≤1}，所以0≤t≤1.所以0≤y≤1. 答案：D 點評：注意換元法在解

17、題中的應用. 例2 比較下列各組數(shù)的大?。? (1)1.10.1,1.20.1；(2)0.24－0.2,0.25－0.2；(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2. 活動：學生先思考或回憶，然后討論交流，教師適時提示點撥．比較數(shù)的大小，常借助于函數(shù)的單調性．對(1)(2)可直接利用冪函數(shù)的單調性．對(3)只利用冪函數(shù)的單調性是不夠的，還要利用指數(shù)函數(shù)的單調性，事實上，這里0.30.3可作為中間量． 解：(1)由于要比較的數(shù)的指數(shù)相同，所以利用冪函數(shù)的單調性，考察函數(shù)y＝x0.1的單調性，在第一象限內函數(shù)單調遞增，又因為1.1＜1.2，所以1.10.1＜1.20.1. (2)由于要

18、比較的數(shù)的指數(shù)相同，所以利用冪函數(shù)的單調性，考察函數(shù)y＝x－0.2的單調性，在第一象限內函數(shù)單調遞減，又因為0.24＜0.25，所以0.24－0.2＞0.25－0.2. (3)首先比較指數(shù)相同的兩個數(shù)的大小，考察函數(shù)y＝x0.3的單調性，在第一象限內函數(shù)單調遞增，又因為0.2＜0.3，所以0.20.3＜0.30.3. 再比較同底數(shù)的兩個數(shù)的大小，考察函數(shù)y＝0.3x的單調性，在定義域內函數(shù)單調遞減，又因為0.2＜0.3，所以0.30.3＜0.30.2.所以0.20.3＜0.30.3＜0.30.2. 另外，本題還有圖象法，計算結果等方法，留作同學們自己完成． 點評：指數(shù)相同的冪的大小比較

19、可以利用冪函數(shù)的單調性；底數(shù)相同的冪的大小比較可以利用指數(shù)函數(shù)的單調性． 1．下列函數(shù)中，是冪函數(shù)的是(　　) A．y＝2x B．y＝2x3 C．y＝ D．y＝2x 2．下列結論正確的是(　　) A．冪函數(shù)的圖象一定過原點 B．當α＜0時，冪函數(shù)y＝xα是減函數(shù) C．當α＞0時，冪函數(shù)y＝xα是增函數(shù) D．函數(shù)y＝x2既是二次函數(shù)，也是冪函數(shù) 3．下列函數(shù)中，在(－∞，0)是增函數(shù)的是(　　) A．y＝x3 B．y＝x2 C．y＝ D． 4．已知某冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(2，)，則這個函數(shù)的解析式為__________． 答

20、案：1．C　2．D　3．A　4． 分別在同一坐標系中作出下列函數(shù)的圖象，通過圖象說明它們之間的關系． ①y＝x－1，y＝x－2，y＝x－3；②，； ③y＝x，y＝x2，y＝x3；④，. 活動：學生思考或交流，探討作圖的方法，教師及時提示，必要時，利用幾何畫板演示． 解：利用描點法，在同一坐標系中畫出上述四組函數(shù)的圖象如圖2、圖3，圖4、圖5. 　　 圖2 圖3 　 　 圖4 圖5 ①觀察圖2得到： 函數(shù)y＝x－1、y＝x－2、y＝x－3的圖象都過點(1,1)，且

21、在第一象限隨x的增大而下降，函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上是單調減函數(shù)，且向右無限接近x軸，向上無限接近y軸，指數(shù)越小，向右無限接近x軸的圖象在下方，向上離y軸越遠． ②觀察圖3得到： 函數(shù)、的圖象都過點(1,1)，且在第一象限隨x的增大而下降，函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上是單調減函數(shù)，且向右無限接近x軸，向上無限接近y軸，指數(shù)越小，向右無限接近x軸的圖象在下方，向上離y軸越遠． ③觀察圖4得到： 函數(shù)y＝x、y＝x2、y＝x3的圖象過點(1,1)、(0,0)，且在第一象限隨x的增大而上升，函數(shù)在區(qū)間[0，＋∞)上是單調增函數(shù)，指數(shù)越大圖象下凸越大，從第一象限來看，圖象向上離y軸近，向下離x軸近

22、． ④觀察圖5得到： 函數(shù)、的圖象過點(1,1)、(0,0)，且在第一象限隨x的增大而上升，函數(shù)在區(qū)間[0，＋∞)上是單調增函數(shù)，指數(shù)越小圖象上凸越大，從第一象限來看，圖象在點(1,1)的左邊離y軸近，在點(1,1)的右邊離x軸近． 根據(jù)上述規(guī)律可以判斷函數(shù)圖象的分布情況． 1．冪函數(shù)的概念． 2．冪函數(shù)的性質． 3．冪函數(shù)的性質的應用． 課本習題2.3　1,2,3. 冪函數(shù)作為一類重要的函數(shù)模型，是學生在系統(tǒng)地學習了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)之后研究的又一類基本的初等函數(shù)，課本內容較少，但高考內容不少，應適當引申，所以設計了一些課本上沒有的題目類型，以擴展同學們的視野，同

23、時由于作圖的內容較多，建議抓住關鍵點作圖，要會熟練地運用計算機或計算器作圖，強化對知識的理解． 歷史上數(shù)學計算方面的三大發(fā)明 你知道數(shù)學計算方面的三大發(fā)明嗎？這就是阿拉伯數(shù)字、十進制和對數(shù)． 研究自然數(shù)遇到的第一個問題是計數(shù)法和進位制的問題，我們采用的十進制是中國人的一大發(fā)明．在商代中期的甲骨文中已有十進制，其中最大的數(shù)是3萬，印度最早到六世紀末才有十進制．但是，目前使用的計數(shù)法和阿拉伯數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9,0是印度人最早開始使用，后來傳到阿拉伯，由阿拉伯人傳到歐洲，并被歐洲人所接受． 十進制位置計數(shù)法的誕生，是自然數(shù)發(fā)展史上的一次飛躍，同一個數(shù)字由于它所在的位置

24、不同而有不同的值．無窮多個自然數(shù)可以用有限個符號來駕馭，所有的自然數(shù)都可以方便清楚地表示出來． 16世紀前半葉，由于實際的需要，對計算技術的改進提出了前所未有的要求．這一時期計算技術最大的改進是對數(shù)的發(fā)明和應用，它的產(chǎn)生主要是由于天文和航海計算的迫切需要．為了簡化天文航海方面所遇到的繁雜數(shù)值計算，自然希望將乘除法歸結為簡單的加減法．蘇格蘭數(shù)學家納皮爾(J.Napier,1550—1617)在球面天文學的三角學研究中，首先發(fā)明了對數(shù)方法.1614年他在題為《奇妙的對數(shù)定理說明書》一書中，闡述了他的對數(shù)方法，對數(shù)的使用價值為納皮爾的朋友——英國數(shù)學家布里格斯(H.Birggs,1561—1630

25、)所認識，他與納皮爾合作，并于1624年出版了《對數(shù)算術》一書，公布了以10為底的14位對數(shù)表，并稱以10為底的對數(shù)為常用對數(shù)．常用對數(shù)曾經(jīng)在簡化計算上為人們做過重大貢獻，而自然對數(shù)以及以e為底的指數(shù)函數(shù)成了研究科學、了解自然的必不可少的工具．恩格斯曾把對數(shù)的發(fā)明與解析幾何的創(chuàng)始，微積分學的建立并稱為17世紀數(shù)學的三大成就．法國著名的數(shù)學家、天文學家拉普拉斯曾說：“對數(shù)的發(fā)明以其節(jié)省勞力而延長了天文學家的壽命．” 一直到18世紀，瑞士數(shù)學家歐拉(L.Euler,1707—1783)才發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對數(shù)的關系，他指出“對數(shù)源出于指數(shù)”，這個見解很快被人們所接受． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375