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1、
高中數(shù)學(xué)競賽模擬試題一
一 試
(考試時間:80分鐘 滿分100分)
一、填空題(共8小題,分)
1、已知,點在直線 上移動,當(dāng)取最小值時,點與原點的距離是 。
2、設(shè)為正整數(shù)n(十進制)的各數(shù)位上的數(shù)字的平方之和,比如
。記,,,則 。
3、如圖,正方體中,二面角的度數(shù)是 。
4、在中隨機選取三個數(shù),能構(gòu)成遞增等差數(shù)列的概率是 。
5、若正數(shù)滿足,則的最大值是 。
6、在平面直角坐標(biāo)系中,給定兩點和,點在軸上移動,當(dāng)取最大值時,點的橫坐標(biāo)是
2、 。
7、已知數(shù)列滿足關(guān)系式且,則的值是 。
8、函數(shù)在時的最小值為 。
二、解答題(共3題,)
9、設(shè)數(shù)列滿足條件:,且)
求證:對于任何正整數(shù)n,都有:
10、已知曲線,,為正常數(shù).直線與曲線的實軸不垂直,且依次交直線、曲線、直線于、、、4個點,為坐標(biāo)原點。
(1)若,求證:的面積為定值;
(2)若的面積等于面積的,求證:
11、已知、是方程的兩個不等實根,函數(shù)
的定義域為.
(
3、Ⅰ)求
(Ⅱ)證明:對于,若,則.
二 試
(考試時間:150分鐘 總分:200分)
E
F
A
B
C
G
H
P
O1。
。O2
一、(本題50分)如圖,和與的三邊所在的三條直線都相切,為切點,并且、的延長線交于點。
求證:直線與垂直。
二、(本題50分)正實數(shù),滿足。證明:
三、(本題50分)對每個正整數(shù),定義函數(shù)
(其中表示不超過的最大整
4、數(shù),。試求:的值。
四、(本題50分)在世界杯足球賽前,國的教練員為了考察這七名隊員,準(zhǔn)備讓他們在三場訓(xùn)練比賽(每場比賽90分鐘)中都上場,假設(shè)在比賽的任何時刻,這些隊員都有且只有一人在場上,并且每人上場的總時間(以分鐘為單位)均被7整除,每人上場的總時間(以分鐘為單位)均被13整除.如果每場換人的次數(shù)不限,那么,按每名隊員上場的總時間計,共有多少種不同的情況?
答案與解析
一、填空題
1、。.時取最小值, 此時=。
2、4。 解: 將記做,于是有
5、
從89開始,是周期為8的周期數(shù)列。故
。
3、。 解:連結(jié),作,垂足為,延長交于,則,連結(jié),由對稱性知是二面角的平面角。
連結(jié),設(shè),則
中,,
在
的補角,。
4、。 解:三個數(shù)成遞增等差數(shù)列,設(shè)為 ,按題意必須滿足 。 對于給定的可以取.
故三數(shù)成遞增等差數(shù)列的個數(shù)為
三數(shù)成遞增等差數(shù)列的概率為 。
5、。 解:由條件,有,
令;
則,
從而原條件可化為:
令則,解得,
故
6、解:經(jīng)過兩點的圓的圓心在線段的垂直平分線上,設(shè)圓心為,則圓的方程為:
對于定長的弦在優(yōu)弧上所對的圓周角會隨著圓的半徑減小而角度增大,所以,當(dāng)取最大值
6、時,經(jīng)過三點的圓S必與軸相切于點,即圓的方程中的值必須滿足解得 或.
即對應(yīng)的切點分別為和,而過點的圓的半徑大于過點的圓的半徑,所以,故點為所求,所以點的橫坐標(biāo)為
7、.
解:設(shè)
即
故數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列,
。
。
8、解:
(由調(diào)和平均值不等式)
要使上式等號成立,當(dāng)且僅當(dāng)
(1) -(2)得到,
即得。因為,
所以當(dāng)時,。所以。
二、解答題
9、證明:令 ,則有 ,且
于是
由算術(shù)-幾何平均值不等式,可得
注意到 ,可知
B
A
C
Q
P
y
7、
O
C
x
D
B
A
,即
10、解:(1)設(shè)直線:代入得:,得:,
設(shè),,則有,,
設(shè),,
易得:,,
由得,
故,
代入得,
整理得:,
又,,,
為定值.
(2)設(shè)中點為,中點為
則,,
所以,、重合,從而,
從而,又的面積等于
面積的,所以,
從而.
11、解:(Ⅰ)設(shè)
則
又
故在區(qū)間上是增函數(shù)。
(Ⅱ)證:
,
而均值不等式與柯西不等式中,等號不能同時成立,
二 試
一、證明:延長交于,則和分別是
與的截線,由梅涅勞斯定理得:
8、 ①
②
P
都是的旁切圓,
③H
G
O2
O1
A
于是由①、②、③得:
F
E
D
C
B
=
又
∴ ==
而三點共線,且
∴
二、證明:原不等式可變形為
即
由柯西不等式以及可得
即
同理
上面三式相加并利用得
三、解:對任意,若,則,設(shè)
則
讓a跑遍區(qū)間)中的所有整數(shù),
則
于是……①
下面計算畫一張的表,第行
9、中,凡是行中的位數(shù)處填寫“*”號,則這行的“*”號共個,全表的“*”號共個;另一方面,按列收集“*”號數(shù),第列中,若有個正因數(shù),則該列使有個“*”號,故全表的“*”號個數(shù)共
個,因此
示例如下:
1
2
3
4
5
6
1
*
*
*
*
*
*
2
*
*
*
3
*
*
4
*
5
6
*
則
……②
由此, ……③
記易得的取值情況如下:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
5
6
6
7
8
6
9
8
8
8
10
7
10
10
因此,……④
據(jù)定義,
又當(dāng),
,
,則……⑤
從則
四、解:設(shè)各人上場時間分別為 (為正整數(shù)).
得方程
令得方程.
即求此方程滿足的整數(shù)解.
即
相應(yīng)的
的解只有1種,的解有種,
的解有種;
的解有種,
的解有種,
的解有種.
∴ 共有種。
18