《九年級(jí)數(shù)學(xué)[共49頁]》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《九年級(jí)數(shù)學(xué)[共49頁]（50頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)復(fù)習(xí)知識(shí)結(jié)構(gòu)和考點(diǎn)剖析 山東沂源徐家莊中學(xué) 左效平 256116 一、解直角三角形 1．1知識(shí)基本體系 1．2解直角三角形的考點(diǎn)剖析 考點(diǎn)1：求銳角三角函數(shù) 這是一個(gè)非常重要的考點(diǎn)。這類試題從不同角度，以靈活的形式，多變的條件，激發(fā)同學(xué)們的思考熱情。 正方形網(wǎng)格上求銳角三角函數(shù) 例1、在正方形網(wǎng)格中，∠α的位置如圖1所示，則sinα的值為（ ）． A、 B、 C、 D、 解析：根據(jù)題意要想求sinα的函數(shù)值，應(yīng)該將∠α放置到某一個(gè)直角三角形中。而在正方形網(wǎng)格上構(gòu)造一個(gè)包含∠α的直角三角形是比較容易的。如圖2，

2、我們可以構(gòu)造直角三角形AOB、直角三角形COD、直角三角形EOF、直角三角形GOQ等等，通過仔細(xì)觀察構(gòu)造的這些直角三角形，不難發(fā)現(xiàn)，它們有一個(gè)共同的特點(diǎn)，就是這些直角三角形的兩條直角邊都是相等的，即這些直角三角形都是等腰直角三角形。因此，sinα的值是，所以選B。 點(diǎn)評(píng)：這道題目雖然小，但是問題的背景新穎、獨(dú)特。它以銳角三角函數(shù)的定義為問題求解的出發(fā)點(diǎn)，以構(gòu)造直角三角形求解為問題解決的突破口，通過構(gòu)造直角三角形的個(gè)數(shù)的多樣性，來驗(yàn)證一個(gè)事實(shí)：一個(gè)銳角的函數(shù)值只與角度的大小有關(guān)，而與這個(gè)角所在直角三角形的直角邊的長短是沒有關(guān)系的。 例2、正方形網(wǎng)格中，如圖3放置，則的值為（　?。? Ａ．

3、 Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解析：根據(jù)題意要想求的函數(shù)值，應(yīng)該將∠AOB放置到某一個(gè)直角三角形中。而在正方形網(wǎng)格上構(gòu)造一個(gè)包含∠AOB的直角三角形是比較容易的。如圖4，我們可以構(gòu)造直角三角形COD,通過仔細(xì)觀察構(gòu)造的直角三角形，不難發(fā)現(xiàn)，CD=2,OD=1,所以,斜邊OC=√5,因此，的值等于1: √5,所以選A。 變化三角形的邊長求三角函數(shù)值 例3、把Rt△ABC各邊的長度都擴(kuò)大3倍得Rt△A’B’C’，那么銳角A、A’的余弦值的關(guān)系為（ ）． A、cosA＝cosA’ B、cosA＝3cosA’ C、3cosA＝cosA’ D、不能確定 解析：把R

4、t△ABC各邊的長度都擴(kuò)大3倍得Rt△A’B’C’， 所以，三角形ABC和三角形A′B′C′的對(duì)應(yīng)邊是成比例的， 所以，Rt△ABC ∽R(shí)t△A’B’C’， 所以，∠A=∠A′， 根據(jù)銳角三角函數(shù)值的大小只與角的大小有關(guān)系的這一原則， 就得到：cos∠A =cos∠A′，所以應(yīng)該選擇A。 在平面直角坐標(biāo)系中求三角函數(shù)值 例4、如圖5，P是∠的邊OA上一點(diǎn)，且點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4）， 則sin= ( ) A． B． C． D． 解析：在平面直角坐標(biāo)系中，根

5、據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4），我們可以求得以O(shè)P為斜邊的直角三角形的兩直角邊的長為3、4，并且，的對(duì)邊長是4，鄰邊長是3，所以，斜邊OP 的長為5，所以，sin的值為4：5。因此選B。 考點(diǎn)2、特殊角函數(shù)值的計(jì)算 例5、計(jì)算的值是 。 解析:這類問題的出發(fā)點(diǎn),最明顯,就是考同學(xué)們對(duì)特殊角的銳角三角函數(shù)值記憶程度。另外還滲透了互余兩個(gè)角之間三角函數(shù)關(guān)系。在這里顯然有sin60=cos30，所以， sin60：cos30=1，又tan45=1，因此，原式的值為0。 考點(diǎn)3、解直角三角形的應(yīng)用 以仰角、俯角、方位角為載體的應(yīng)用型問題。 求物高 例6、如圖，在某建筑物

6、AC上，掛著“多彩云南”的宣傳條幅BC，小明站在點(diǎn)F處，看條幅頂端B，測的仰角為，再往條幅方向前行20米到達(dá)點(diǎn)E處，看到條幅頂端B，測的仰角為，求宣傳條幅BC的長，（小明的身高不計(jì)，結(jié)果精確到0.1米） 解： ∵∠BFC =，∠BEC =，∠BCF = ∴∠EBF =∠EBC =∴BE = EF = 20 在Rt⊿BCE中， 答：宣傳條幅BC的長是17.3米。 是否有觸礁危險(xiǎn) 解析： 判斷貨船有無觸礁危險(xiǎn)的標(biāo)準(zhǔn)為： 1）計(jì)算出貨船向正東方向航行時(shí)，小島C距正東航向的垂直距離； 2）比較垂直距離與暗礁半徑的大?。? 當(dāng)垂直距離＞暗礁半徑時(shí)，貨船無觸礁危險(xiǎn)； 當(dāng)垂直距

7、離＜暗礁半徑時(shí)，貨船有觸礁危險(xiǎn)； 當(dāng)垂直距離＝暗礁半徑時(shí)，貨船有觸礁危險(xiǎn)。 例7、如圖1，某貨船以24海里／時(shí)的速度將一批重要物資從A處運(yùn)往正東方向的M處，在點(diǎn)A處測得某島C在北偏東的方向上．該貨船航行分鐘后到達(dá)B處，此時(shí)再測得該島在北偏東的方向上，已知在C島周圍海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁．若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無觸礁危險(xiǎn)？試說明理由． 解： 過點(diǎn)C作CD⊥AM，垂足D， 根據(jù)題意，得： AB=240.5=12， ∠CAB=30，∠CBD=60，∠CDB=90， 因?yàn)?，∠CBD是三角形ABC的一個(gè)外角， 所以，∠CBD=∠CAB+∠ACB， 因?yàn)?，∠CAB=30，∠CBD=

8、60， 所以，∠ACB=30，所以，∠ACB=∠CAB， 所以，AB=BC=12， 在直角三角形CBD中， CD=BCsin60=12=6， 又因?yàn)椋?1.5，3＞2.25 所以，＞＞1.5， 所以，6＞6＞1.56＞9， 因?yàn)椋贑島周圍海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁， 所以，繼續(xù)向正東方向航行，該貨船無觸礁危險(xiǎn)。 是否超速 例8、某段筆直的限速公路上，規(guī)定汽車的最高行駛速度不能超過60km/h（即m/s）。交通管理部門在離該公路100m處設(shè)置了一速度監(jiān)測點(diǎn)A，在如圖3，所示的坐標(biāo)系中，點(diǎn)A位于y軸上，測速路段BC在x軸上，點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏西60方向上，點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東45方向上

9、． （1）請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出表示北偏東45方向的射線AC，并標(biāo)出點(diǎn)C的位置； （2）點(diǎn)B坐標(biāo)為 ，點(diǎn)C坐標(biāo)為 ； （3）一輛汽車從點(diǎn)B行駛到點(diǎn)C所用的時(shí)間為15s，請(qǐng)通過計(jì)算，判斷該汽車在限速公路上是否超速行駛？（本小問中） 解析： 判斷汽車是否超速的標(biāo)準(zhǔn)為： 1）計(jì)算出筆直的限速公路BC的距離； 2）計(jì)算出汽車在筆直的限速公路BC的速度； 3）比較汽車在筆直的限速公路BC的速度與最高行駛速度的大?。? 當(dāng)汽車在筆直的限速公路BC的速度＞最高行駛速度時(shí)，超速； 當(dāng)汽車在筆直的限速公路BC的速度＝最高行駛速度時(shí)，超速； 當(dāng)汽車在

10、筆直的限速公路BC的速度＜最高行駛速度時(shí)，不超速； 解： （1）北偏東45方向的射線AC，如圖4所示， （2）在直角三角形AOB中，OA=100，∠OAB=60， 所以，OB=OAtan60=100， 點(diǎn)B坐標(biāo)為（-100，0）； 又因?yàn)?，∠CAO=45，∠COA=90，所以，∠ACO=45， 所以，OA=OC=100，所以，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（100，0）； 3）由1）、2）知道，從點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離為：（100+100）米； 并且汽車從點(diǎn)B行駛到點(diǎn)C所用的時(shí)間為15s， 所以，汽車的速度為：（100+100）15≈18m/s， 而最高速度為：50/3≈17m/s， 因?yàn)椋?

11、8m/s＞17m/s， 所以，該汽車在限速公路上超速行駛。 是否通過 解析： 汽車恰好能通過的標(biāo)準(zhǔn)是：軸心距所在的直線恰好在點(diǎn)P處相切。 例9、如圖5，是一個(gè)路障的縱截面和汽車越過路障時(shí)的底盤示意圖，O1，O2分別是車輪的軸心，M是線段O1O2的中點(diǎn)（軸心距的中點(diǎn)），兩車輪的半徑相等．經(jīng)驗(yàn)告訴人們，只要中點(diǎn)M不被P點(diǎn)托住（俗稱托底盤，對(duì)汽車很有危害！），線段O1O2上的其它點(diǎn)就不會(huì)被P點(diǎn)托住，汽車就可順利通過．否則，就要通過其他方式通過． （1）若某種汽車的車輪半徑為50cm, 軸心距O1O2為400cm. 通過計(jì)算說明,當(dāng)∠APB等于多少度時(shí)，汽車恰好能通過斜坡？（精確到0.1，

12、參考數(shù)據(jù)sin14.48≈0.25，cos14.48 ≈0.97） （2）當(dāng)∠APB=120時(shí)，通過計(jì)算說明要使汽車安全通過，車輪半徑與軸心距O1O2的比應(yīng)符合什么條件？。 解： 1）如圖6，汽車恰好能通過斜坡時(shí)，點(diǎn)、M、P、Q恰好在一條直線上，連接C，則C⊥PA， 所以，在直角三角形PC中，M=200，C=50， 所以，sinMC===0.25， 又因?yàn)?，sin14.48≈0.25，，所以，∠MC =14.48， 所以，∠APB=180-14.48-14.48=151.04 ≈151 ； （2）當(dāng)∠APB=120時(shí)，要使汽車安全通過，則有∠MC =30， 所以，= sin

13、30=，所以，M=2C，所以，O1O2=4C， 即=，所以，當(dāng)∠APB=120時(shí)，要使汽車安全通過， 車輪半徑與軸心距O1O2的比應(yīng)至少為1：4。 是否穿過 解析： 判斷是否穿過文物保護(hù)區(qū)的標(biāo)準(zhǔn)為： 1）計(jì)算出C距直線MN的垂直距離； 2）比較垂直距離與文物保護(hù)區(qū)范圍的大小： 當(dāng)垂直距離＞文物保護(hù)區(qū)范圍時(shí)，不會(huì)穿過文物保護(hù)區(qū)； 當(dāng)垂直距離＜文物保護(hù)區(qū)范圍時(shí)，穿過文物保護(hù)區(qū)； 當(dāng)垂直距離＝文物保護(hù)區(qū)范圍時(shí)，恰好穿過文物保護(hù)區(qū)； 例10、2007年5月17日我市榮獲“國家衛(wèi)生城市稱號(hào)”．如圖7,在“創(chuàng)衛(wèi)”過程中，要在東西方向兩地之間修建一條道路．已知：如圖點(diǎn)周圍180m范圍內(nèi)

14、為文物保護(hù)區(qū)，在上點(diǎn)處測得在的北偏東方向上，從向東走500m到達(dá)處，測得在的北偏西方向上．是否穿過文物保護(hù)區(qū)？為什么？（參考數(shù)據(jù)：） :解： 如圖8,所示, 過C作CH⊥AB于點(diǎn)H，設(shè)CH=xm， 則，． ， ．，所以，不會(huì)穿過保護(hù)區(qū)。 是否最近 解析： 判斷輪船繼續(xù)向東航行多少海里，距離小島C最近的標(biāo)準(zhǔn)為： 1）作出C到直線AB的垂直距離，找到距離小島最近的點(diǎn)的位置，垂足處； 2）求出點(diǎn)B與垂足之間的距離，就是所要求的答案。 例10、一艘輪船自西向東航行，在A處測得東偏北21.3方向有一座小島C，繼續(xù)向東航行60海里到達(dá)B處，測得小島C此時(shí)在輪船的東偏北63.5方向上

15、之后，輪船繼續(xù)向東航行多少海里，距離小島C最近？ （參考數(shù)據(jù)：sin21.3≈，tan21.3≈， sin63.5≈，tan63.5≈2） 解： 過C作AB的垂線，交直線AB于點(diǎn)D， 得到Rt△ACD與Rt△BCD． 設(shè)BD＝x海里， 在Rt△BCD中，tan∠CBD＝， 所以,CD＝x tan63.5； 在Rt△ACD中， AD＝AB＋BD＝(60＋x)海里，tan∠A＝， 所以，CD＝( 60＋x ) tan21.3； 所以，xtan63.5＝(60＋x)tan21.3， 即， 解得，x＝15。 答：輪船繼續(xù)向東航行15海里，距離小島C最近。 是否最快 解析

16、：判斷最快的標(biāo)準(zhǔn)為： 1）計(jì)算出三人各自行駛的路程； 2）計(jì)算出三人各自行駛的路程所用的時(shí)間； 3）所時(shí)間最少的人，就是最快的。 例11、如圖11，某邊防巡邏隊(duì)在一個(gè)海濱浴場岸邊的A點(diǎn)處發(fā)現(xiàn)海中的B點(diǎn)有人求救，便立即派三名救生員前去營救．1號(hào)救生員從A點(diǎn)直接跳入海中；2號(hào)救生員沿岸邊(岸邊看成是直線)向前跑到C點(diǎn)，再跳入海中；3號(hào)救生員沿岸邊向前跑30O米到離B點(diǎn)最近的D點(diǎn)，再跳人海中．救生員在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米／秒．若∠BAD=45，∠BCD=60，三名救生員同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，請(qǐng)說明誰先到達(dá)營救地點(diǎn)B。(參考數(shù)據(jù)√2≈1.4，√3≈1.7) 解： 在

17、三角形ABD中， 因?yàn)椋珹D=300，∠BAD=45，∠BDA=90， 所以，BD=300， 所以，AB=300√2≈3001.4=420， 所以，1號(hào)救生員所用的時(shí)間為：4202=210（秒）； 在三角形BCD中， 因?yàn)?，BD=300，∠BCD=60，∠BDA=90， 所以，BC=300sin60=200√3≈2001.7=340， CD=1/2BC=170，所以，AC=300-170=130， 所以，2號(hào)救生員所用的時(shí)間為：1306+3402≈191.7（秒）； 3號(hào)救生員所用的時(shí)間為：3006+3002=200（秒）； 因?yàn)椋?10＞200＞191.7， 所以，2

18、號(hào)救生員最快。 是否影響采光 解析： 判斷樓的影子是否影響樓的一樓住戶采光的標(biāo)準(zhǔn)為： 1）計(jì)算樓的影子在B樓上的高度； 2）比較樓的影子在B樓上的高度與B樓一樓住戶的窗臺(tái)離小區(qū)地面的距離DN=2米的大?。? 當(dāng)樓的影子在B樓上的高度＞B樓一樓住戶的窗臺(tái)離小區(qū)地面的距離DN=2米時(shí)，影響采光； 當(dāng)樓的影子在B樓上的高度=B樓一樓住戶的窗臺(tái)離小區(qū)地面的距離DN=2米時(shí)，不影響采光； 當(dāng)樓的影子在B樓上的高度＜B樓一樓住戶的窗臺(tái)離小區(qū)地面的距離DN=2米時(shí)，不影響采光； 例12、如圖12，某居民小區(qū)內(nèi)A、B兩樓之間的距離MN=30米，兩樓的高都是20米，A樓在B樓正南，B樓窗戶朝南。

19、B樓內(nèi)一樓住戶的窗臺(tái)離小區(qū)地面的距離DN=2米，窗戶高CD=1.8米。當(dāng)正午時(shí)刻太陽光線與地面成角時(shí)，A樓的影子是否影響B(tài)樓的一樓住戶采光？若影響，擋住該住戶窗戶多高？若不影響，請(qǐng)說明理由。（參考數(shù)據(jù)：，，） 解： 如圖13，設(shè)光線影響到樓的處， 作于，由題知，，， 所以，， 所以，， 因?yàn)?，? 所以，2.68＞2，所以，影響B(tài)樓的采光， 因?yàn)椋? 所以，樓影子影響到樓一樓采光，擋住該戶窗戶米． 測量問題： 如圖14，初三年級(jí)某班同學(xué)要測量校園內(nèi)國旗旗桿的高度，在地面的C點(diǎn)用測角器測得旗桿頂A點(diǎn)的仰角∠AFE=60，再沿直線CB后退8米

20、到D點(diǎn)，在D點(diǎn)又用測角器測得旗桿頂A點(diǎn)的仰角∠AGE=45；已知測角器的高度是1．6米，求旗桿AB的高度．(的近似值取1．7，結(jié)果保留小數(shù)) 圖14 解：設(shè)AE為x米，在Rt△EF中，∠AFE=60， ∴EF=x/3 在Rt△AGE中，∠AGE=45 AE=GE 8+x/3=x ∴x=12+4 即x≈18．8(的近似值取1．7，結(jié)果保留小數(shù)) ∴AB=AE+EB≈20．4 答：旗桿高度約為20．4米 二、二次函數(shù) 2．1知識(shí)和結(jié)構(gòu) 2.2考點(diǎn)剖析: 考點(diǎn)1: 考圖象 二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是中

21、考的重點(diǎn)考查內(nèi)容?，F(xiàn)以部分中考題為例介紹幾種與二次函數(shù)圖象有關(guān)的常見題型。希望對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。要想順利解答二次函數(shù)圖象的相關(guān)的問題，同學(xué)們要學(xué)會(huì)如何從圖象上獲取有價(jià)值的信息。二次函數(shù)圖象能向你傳達(dá)的信息有兩類，一類是從圖象上可以直接獲得，并能直接應(yīng)用的信息；另一類是需要你自己綜合分析、加工處理后，才能應(yīng)用的信息。 常見的直接信息有如下幾條：　 二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像上可以直接獲得的信息是： 1、a的符號(hào)：看拋物線的開口方向：開口向上，a＞0；開口向下a＜0; 2、c的符號(hào)：看拋物線與y軸交點(diǎn)的位置： 交點(diǎn)在原點(diǎn)，c=0；交點(diǎn)在原點(diǎn)以上，c＞o；交點(diǎn)在原點(diǎn)

22、以下，c＜0。 3、b2－4ac的符號(hào)：看拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)； 拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn) b2－4ac＞0； 拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn) b2－4ac=0， 拋物線與x軸沒有交點(diǎn) b2－4ac＜0， 4、圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)的符號(hào)： 過交點(diǎn)作y軸的垂線，看垂足的位置； 如果垂足在y 軸的正半軸，那么交點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于0； 如果垂足在原點(diǎn)，那么交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是0； 如果垂足在y 軸的負(fù)半軸，那么交點(diǎn)的縱坐標(biāo)小于0； 5、圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的符號(hào)： 如果圖象與x軸的交點(diǎn)都在x軸的正半軸上，那么交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是正數(shù)； 如果圖象與x軸的交點(diǎn)都在x軸的負(fù)半軸上，那么交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是

23、負(fù)數(shù)； 如果圖象與x軸的交點(diǎn)一個(gè)在x軸的負(fù)半軸上，一個(gè)在x軸的正半軸上，那么交點(diǎn)的橫坐標(biāo)一個(gè)為正，一個(gè)為負(fù)； 如果圖象與x軸的交點(diǎn)一個(gè)在x軸的負(fù)半軸上，一個(gè)在原點(diǎn)，那么交點(diǎn)的橫坐標(biāo)一個(gè)為0，一個(gè)為負(fù)； 如果圖象與x軸的交點(diǎn)一個(gè)在x軸的正半軸上，一個(gè)在原點(diǎn)，那么交點(diǎn)的橫坐標(biāo)一個(gè)為0，一個(gè)為正； 1、根據(jù)二次函數(shù)圖象提供的信息，判斷與a、b、c相關(guān)的代數(shù)式是否成立 例1、已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖1所示，有下列5個(gè)結(jié)論： ① ；② ；③ ；④ ； ⑤ ，（的實(shí)數(shù)）其中正確的結(jié)論有（ ） A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè) 　 解析

24、：仔細(xì)觀察函數(shù)的圖象，不難得到如下信息：a＜0，c＞0，=1， 其余的信息都需要你結(jié)合圖象去分析，加工，因?yàn)椋?1，所以，b=-2a，又因?yàn)閍＜0，所以，b＞0，這樣abc＜0，對(duì)照結(jié)論。說明①是錯(cuò)誤的； 過x=-1點(diǎn)作x軸的垂線，交拋物線與點(diǎn)A，過A作y 軸的垂線，垂足為B，不難發(fā)現(xiàn)，垂足B在y 軸的負(fù)半軸上，因此，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是小于0，因?yàn)閤=-1，所以，A的縱坐標(biāo)： y=a（-1）2+b（-1）+c=a-b+c， 又因?yàn)辄c(diǎn)A的縱坐標(biāo)是小于0，a-b+c＜0，因此，a+c＜b；所以結(jié)論②是錯(cuò)誤的； 不妨設(shè)拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x1，x2，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，可以得到：，所

25、以，x1+x2=2，所以，x1=2-x2，又因?yàn)?，x1＜-1，所以，2-x2＜-1，即x2＞3，所以當(dāng)x=2時(shí)，在正半軸的交點(diǎn)一內(nèi)，可以利用解決結(jié)論②的方法，得到： 4a+2b+c＞0，因此，結(jié)論③是正確的； 根據(jù)：a-b+c＜0，b=-2a，消去字母a，得：b+c＜0，所以，2c＜3b；因此結(jié)論④是正確的； 因?yàn)閽佄锞€的開口方向向下，所以拋物線有最大值，并且是當(dāng)x=1，函數(shù)值最大，此時(shí)為y=a+b+c， 當(dāng)x=m 時(shí) ，函數(shù)值為：am2+bm+c，所以，a+b+c＞ am2+bm+c，即，所以結(jié)論⑤是正確的；綜合上述的分析，只有三個(gè)結(jié)論是正確的，因此選B。 2、根據(jù)二次函數(shù)圖象提供

26、的信息，比較與a、b、c相關(guān)的代數(shù)式的大小 例2、二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖2所示， 且P=| a－b＋c |＋| 2a＋b |，Q=| a＋b＋c |＋| 2a－b |，則P、Q的大小關(guān)系為 。 解析：仔細(xì)觀察函數(shù)的圖象，不難得到如下信息：a＜0，c=0， ＞1＞0，因此，b＞0，b＞-2a，所以2a+b＞-2a+2a＞0， 原式子可以化簡為：P=|a-b|+|2a+b|，Q=|a+b|+|2a-b|， 仔細(xì)觀察圖象，很容易得出， 當(dāng)x=-1時(shí)，y=a-b＜0， 當(dāng)x=1時(shí)，y=a+b＞0， 又因?yàn)?，a＜0，所以，2a＜0，所以， 2a-b＜0-b＜-

27、b，又因?yàn)?，b＞0，所以，-b＜0， 所以，2a-b＜0， 將式子再化簡為：P=|a-b|+|2a+b|=b-a+2a+b=a+2b， Q=|a+b|+|2a-b|=a+b+b-2a=2b-a， 所以，P-Q= a+2b-（2b-a）= a+2b-2b+a=2a，又因?yàn)椋?a＜0， 所以，P-Q＜0，因此，P＜Q。 3、根據(jù)二次函數(shù)圖象提供的信息，確定對(duì)應(yīng)一元二次方程的解 例3、已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則關(guān)于的一元二次方程的解為 。 解析：仔細(xì)觀察函數(shù)的圖象，不難得到如下信息：a＜0，c＞0， ＞1＞0，因此，b＞0， 不妨設(shè)拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x1，x2

28、，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，可以得到：，所以，x1+x2=2，所以，x1=2-x2，因?yàn)椋? x2=3，所以，x1=2-3=-1，所以，關(guān)于的一元二次方程的解為：x1=-1，x2=3。 4、根據(jù)二次函數(shù)圖象提供的信息，確定有a、b、c構(gòu)成橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的點(diǎn)的位置 例4、已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則點(diǎn)在第 象限。 解析：仔細(xì)觀察函數(shù)的圖象，不難得到如下信息：a＜0，c＞0， ＜0，因此，b＜0，所以，bc＜0，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是負(fù)的，縱坐標(biāo)也是負(fù)的，所以點(diǎn)P在第三象限。 5、根據(jù)二次函數(shù)圖象提供的信息，確定兩個(gè)函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的大致圖象 例5、在同一平面直角坐標(biāo)系中，直

29、線y=ax+b和y=ax2+bx+c的圖象只可能是 ——。 解析：解答此類問題時(shí)常常遵循如下原則： 同一字母在不同解析式中的意義必須相同，有幾個(gè)字母就驗(yàn)證幾個(gè)。 （A）中看拋物線a＜0，看一次函數(shù)a＞0，二者矛盾，故（A）不正確； （B）中看拋物線，a＞0，看一次函數(shù)，a＞0；接著再看b的符號(hào)，看一次函數(shù)，b＞0， 看拋物線，b＜0，矛盾，故（B）不正確； （C）中看拋物線，a＜0，看一次函數(shù)a＜0，看一次函數(shù)，b＜0，

30、看拋物線，b＜0，兩個(gè)字母的意義都相同，故正確答案應(yīng)選（C）。 6、根據(jù)二次函數(shù)圖象提供的信息，確定某一個(gè)待定系數(shù)的范圍 例6、如圖6所示的拋物線是二次函數(shù)的圖象，那么的值是 。 解析：仔細(xì)觀察函數(shù)的圖象，不難得到如下信息：a＜0，c=0， 所以，a2-1=0，所以，a=1或a=-1，又因?yàn)椋篴＜0， 所以，a=-1。 當(dāng)然這些只是一部分問題，只要你是個(gè)細(xì)心人，一定會(huì)在此基礎(chǔ)上有更大收獲。 考點(diǎn)2:考拋物線的解析式 求二次函數(shù)的解析式，是重點(diǎn)內(nèi)容。 一、已知拋物線上任意的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求解析式 當(dāng)知道拋物線上一般的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：A（x1，y1）、B（x2，y2

31、）、C（x3，y3）時(shí)， 要求二次函數(shù)的解析式，通常的解題思路如下： ①設(shè)二次函數(shù)的一般形式：y=ax2+bx+c（a≠0） ②把點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別代入所設(shè)的解析式中，轉(zhuǎn)化成關(guān)于a、b、c的三元一次方程組； ③解方程組，求得a、b、c的值； ④把a(bǔ)、b、c的值分別代入所設(shè)的解析式中，得二次函數(shù)的解析式。 例1、已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（1，2）、B（2，2）、C（3，4），求拋物線的解析式。 解：設(shè)二次函數(shù)的一般形式：y=ax2+bx+c（a≠0）， 把點(diǎn)A（1，2）、B（2，2）、C（3，4）分別代入：y=ax2+bx+c中， 得： a+b+c=2，4a+2b+c=2，9a

32、+3b+c=4， 解得：a=1，b=-3，c=4， 所以，二次函數(shù)的解析式為：y=x2-3x+4。 二、已知拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，和某一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求解析式 當(dāng)拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：A（x1，0）、B（x2，0）、C（x3，y3）時(shí)， 要求二次函數(shù)的解析式，通常的解題思路如下： ①設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0） ②把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入所設(shè)的解析式中，轉(zhuǎn)化成關(guān)于a的一元一次方程； ③解方程，求得a值； ④把a(bǔ)的值代入所設(shè)的解析式中，得二次函數(shù)的解析式。 例2、已知拋物線與x軸的交點(diǎn)是A（-2，0）、B（1，0），且經(jīng)過點(diǎn)C（2，8）。 求該拋

33、物線的解析式。 解： 因?yàn)?，拋物線與x軸的交點(diǎn)是A（-2，0）、B（1，0）， 所以，設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x+2）， 由已知拋物線過C（2，8）點(diǎn)，得：8=a（2-1）（2+2）， 解方程得：a=2， 所以，所求拋物線的解析式為：y=2（x-1）（x+2）=2x2+2x-4。 三、已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，和某一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求解析式 當(dāng)知道拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)：M（h，k）和拋物線上的一個(gè)點(diǎn)A（x1，y1）時(shí)， 要求二次函數(shù)的解析式，通常的解題思路如下： ①設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a（x-h）2+k（a≠0） ②把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入所設(shè)的解析式中，轉(zhuǎn)化成關(guān)于a的一

34、元一次方程； ③解方程，求得a值； ④把a(bǔ)的值代入所設(shè)的解析式中，得二次函數(shù)的解析式。 例3、在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為A（1，-4），且過點(diǎn)B（3，0）． 求該二次函數(shù)的解析式。 解：設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=a（x-1）2-4， 因?yàn)?，二次函?shù)圖象過點(diǎn)B（3，0）， 所以，4a-4=0， 解得：a=1， 所以，二次函數(shù)解析式為：y=（x-1）2-4，，即y=x2-2x-3。 四、 已知拋物線的對(duì)稱軸，和某兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求解析式 當(dāng)已知拋物線的對(duì)稱軸是y軸，拋物線上的兩個(gè)個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：A（x1，y1）、B（x2，y2）時(shí)， 要求二次函數(shù)的解析式，通常的解題思路

35、如下： ①設(shè)二次函數(shù)的解析式：y=ax2+c（a≠0） ②把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入所設(shè)的解析式中，轉(zhuǎn)化成關(guān)于a、c的二元一次方程組； ③解方程組，求得a、c的值； ④把a(bǔ)、c的值分別代入所設(shè)的解析式中，得二次函數(shù)的解析式。 例4、有一座拋物線形拱橋，正常水位時(shí)，AB寬為20米，水位上升3米就達(dá)到警戒水位線CD，這時(shí)水面的寬度為10米。請(qǐng)你在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，求出二次函數(shù)的解析式。 解：根據(jù)圖象，知道拋物線的對(duì)稱軸是y軸，所以，不妨設(shè)二次函數(shù)的解析式：y=ax2+c（a≠0）， 因?yàn)?，AB=20，所以，F(xiàn)A=FB=10， 因?yàn)?，CD=10，所以，EC=ED=5 所以，

36、點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-10，），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-5，）， 所以，= a（-5）2+c=25a+c，= a（-10）2+c=100a+c， 因?yàn)?，EF=3，所以，-=3， 所以，（25a+c） -（100a+c）=3， 解得：a=-，仔細(xì)觀察圖象，圖象還經(jīng)過點(diǎn)（0，0）， 所以，c=0，所以，所求函數(shù)的解析式：y=- x2。 五、已知一個(gè)拋物線的解析式，求平移的函數(shù)解析式 例5、將拋物線y=x2的圖象向右平移3個(gè)單位，接著再向上平移6個(gè)單位，則平移后的拋物線的解析式為___________。 解題指導(dǎo)：求平移后的二次函數(shù)的關(guān)鍵是，同學(xué)們要真正理解二次函數(shù)的平移規(guī)律。二次函數(shù)的平

37、移規(guī)律： 上下平移： 向上平移m個(gè)單位，就是在二次函數(shù)的完全平方式的后面加上m； 向下平移m個(gè)單位，就是在二次函數(shù)的完全平方式的后面減去m；（m是正整數(shù)）。 例如： 將y=ax2，向上平移3個(gè)單位，得到的二次函數(shù)為：y=ax2+3； 將y=ax2，向下平移3個(gè)單位，得到的二次函數(shù)為：y=ax2-3； 左右平移： 向左平移n個(gè)單位，就是在二次函數(shù)的完全平方式的底數(shù)中加上n； 向右平移n個(gè)單位，就是在二次函數(shù)的完全平方式的底數(shù)中減去n；（n是正整數(shù)）。 例如： 將y=ax2，向左平移3個(gè)單位，得到的二次函數(shù)為：y=a（x+3）2； 將y=ax2，向右平移3個(gè)單位，得到的二次

38、函數(shù)為：y=a（x-3）2； 解析：在解答時(shí)，可以先進(jìn)行左右平移，后上下平移；也可以先上下平移，后左右平移。 所以，拋物線y=x2的圖象向右平移3個(gè)單位，得到二次函數(shù)：y=（x-3）2， 二次函數(shù)：y=（x-3）2向上平移6個(gè)單位，得到二次函數(shù)為：y=（x-3）2+6， 所以，平移后得到的新二次函數(shù)為：y=（x-3）2+6。 例6、將拋物線y=2（x+1）2-3向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，則所得拋物線的表達(dá)式為　　　　　　　 解析： 拋物線y=2（x+1）2-3向右平移1個(gè)單位，，得到二次函數(shù)：拋物線y=2（x+1-1）2-3 即y=2x2-3； 所以， 二次函數(shù)y

39、=2x2-3再向上平移3個(gè)單位，則所得拋物線的表達(dá)式為：y=2x2-3+3， 即y=2x2；所以，平移后所得的二次函數(shù)為：y=2x2。 例7、在同一坐標(biāo)平面內(nèi)，圖象不可能由函數(shù)y=2x2+1的圖象通過平移變換、軸對(duì)稱變換得到的函數(shù)是（　?。? Ａ．y=2（x+1）2-1 Ｂ． y=2x2+3 Ｃ．y=-2x2-1 Ｄ． 解題指導(dǎo)：圖像的平移變換，主要落實(shí)在兩個(gè)位置上，一個(gè)是完全平方式的底數(shù)上，一個(gè)是完全平方式的后面的常數(shù)項(xiàng)的位置上。此外，還有一種翻轉(zhuǎn)變換，當(dāng)二次函數(shù)中，右邊的表達(dá)式只相差一個(gè)符號(hào)時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)之間的變換，就是翻轉(zhuǎn)變換。否則，就不行。 解析： 函數(shù)y=2x2+1的圖

40、象先向下平移2個(gè)單位，再向左平移一個(gè)單位， 就得到二次函數(shù)y=2（x+1）2-1，所以，A能由函數(shù)y=2x2+1的圖象通過平移變換得到； 函數(shù)y=2x2+1的圖象先向上平移2個(gè)單位，就得到二次函數(shù)y=2（x）2+3，所以，B能由函數(shù)y=2x2+1的圖象通過平移變換得到； 函數(shù)y=2x2+1的圖象翻轉(zhuǎn)180，就得到二次函數(shù)y=-2x2-1，所以，C能由函數(shù)y=2x2+1的圖象通過軸對(duì)稱變換得到；所以，只有D是不行的，因此，選D。 六、拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線的解析式 對(duì)于拋物線y=a+bx+c關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線的解析式，求解思路是： 1）求出起始拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和拋物線與y 軸的

41、交點(diǎn)坐標(biāo)； 2）求出這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)； 3）應(yīng)用頂點(diǎn)式，求函數(shù)的解析式 。 解：設(shè)拋物線為：y=a+bx+c， 配方，得：y=a（x+）2+， 所以，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（-，）， 拋物線與y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為N（0，c）， 所以，點(diǎn)M、N關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)分別是M1（-，-）， N1（0，-c）， 設(shè)對(duì)稱的拋物線的解析式為：y=A（x+）2-， 把x=0，y=-c代入所設(shè)的解析式 ，得： -c= A（0+）2-， 解得：A=-a， 所以，所求得解析式為：y=-a（x+）2-= -a-bx-c =-（a+bx+c）。 結(jié)論1：拋物線y= a+bx+c關(guān)

42、于x 軸的對(duì)稱拋物線為：y=-（a+bx+c）。 也就是說，把原來拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)都變成原數(shù)的相反數(shù)后，就得到符合條件的拋物線。 例8、拋物線 y=2（x-1）2+3關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線的解析式為 。 解：因?yàn)?，y=2（x-1）2+3，所以，y=2-4x+5， 根據(jù)結(jié)論1，得關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線的解析式為y=-2+4x-5。 七、拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線的解析式 對(duì)于拋物線y=a+bx+c關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線的解析式，求解思路是： 1）求出起始拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和拋物線與y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)； 2）求出這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)； 3）應(yīng)用

43、頂點(diǎn)式，求函數(shù)的解析式 。 解：設(shè)拋物線為：y=a+bx+c， 配方，得：y=a（x+）2+， 所以，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（-，）， 拋物線與y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為N（0，c）， 所以，點(diǎn)M、N關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)分別是M2（，）， N2（0，c）， 設(shè)對(duì)稱的拋物線的解析式為：y=A（x-）2+， 把x=0，y=c代入所設(shè)的解析式 ，得： c= A（0-）2+， 解得：A=a， 所以，所求得解析式為：y=a（x-）2+= a-bx+c。 結(jié)論2：拋物線y= a+bx+c關(guān)于y 軸的對(duì)稱拋物線為：y=a-bx+c。 也就是說，把原來拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)都保持不變，一次

44、項(xiàng)系數(shù)變成原數(shù)的相反數(shù)后，就得到符合條件的拋物線。 例9、拋物線 y=2（x-1）2+3關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線的解析式為 。 解：因?yàn)?，y=2（x-1）2+3，所以，y=2-4x+5， 根據(jù)結(jié)論2，得關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線的解析式為y=2+4x+5。 八、拋物線關(guān)于原點(diǎn)軸對(duì)稱的拋物線的解析式 對(duì)于拋物線y=a+bx+c關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線的解析式，求解思路是： 1）求出起始拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和拋物線與y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)； 2）求出這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)； 3）應(yīng)用頂點(diǎn)式，求函數(shù)的解析式 。 解：設(shè)拋物線為：y=a+bx+c， 配方，得：y=a（x+）2+，

45、 所以，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（-，）， 拋物線與y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為N（0，c）， 所以，點(diǎn)M、N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)分別是M3（，-）， N3（0，-c）， 設(shè)對(duì)稱的拋物線的解析式為：y=A（x-）2-， 把x=0，y=-c代入所設(shè)的解析式 ，得： -c= A（0-）2-， 解得：A=-a， 所以，所求得解析式為：y=-a（x-）2-= -a+bx-c。 結(jié)論3：拋物線y= a+bx+c關(guān)于x 軸的對(duì)稱拋物線為：y=-a+bx-c。。 也就是說，把原來拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)都變成原數(shù)的相反數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)保持不變，就得到符合條件的拋物線。 例10、拋物線 y=2（x-

46、1）2+3關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線的解析式為 。 解：因?yàn)?，y=2（x-1）2+3，所以，y=2-4x+5， 根據(jù)結(jié)論3，得關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線的解析式為y=-2-4x-5。 考點(diǎn)3：圖形面積最優(yōu)化問題 圍成圖形面積的最值 1、 只圍二邊的矩形的面積最值問題 例1、 如圖1，用長為18米的籬笆（虛線部分）和兩面墻圍成矩形苗圃。 （1） 設(shè)矩形的一邊長為x（米），面積為y（平方米），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； （2） 當(dāng)x為何值時(shí)，所圍成的苗圃面積最大？最大面積是多少？ 分析：關(guān)鍵是用含x的代數(shù)式表示出矩形的長與寬。 解：（1）設(shè)矩形的長為x（米），則寬為（18- x

47、）（米）， 根據(jù)題意，得：； 又∵ （2）∵中，a= -1＜0，∴y有最大值， 即當(dāng)時(shí)， 故當(dāng)x=9米時(shí)，苗圃的面積最大，最大面積為81平方米。 點(diǎn)評(píng)：在回扣問題實(shí)際時(shí)，一定注意不要遺漏了單位。 2、 只圍三邊的矩形的面積最值 例2、 如圖2，用長為50米的籬笆圍成一個(gè)養(yǎng)雞場，養(yǎng)雞場的一面靠墻。問如何圍，才能使養(yǎng)雞場的面積最大？ 分析：關(guān)鍵是明確問題中的變量是哪兩個(gè)，并能準(zhǔn)確布列出函數(shù)關(guān)系式 解：設(shè)養(yǎng)雞場的長為x（米），面積為y（平方米），則寬為（）（米）， 根據(jù)題意，得：； 又∵ ∵中，a=＜0，∴y有最大值， 即當(dāng)時(shí)， 故當(dāng)x=25米時(shí)，養(yǎng)雞場的面積最大，

48、養(yǎng)雞場最大面積為平方米。 點(diǎn)評(píng)：如果設(shè)養(yǎng)雞場的寬為x，上述函數(shù)關(guān)系式如何變化？請(qǐng)讀者自己完成。 3、 圍成正方形的面積最值 例3、將一條長為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個(gè)正方形． (1)要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于17cm2，那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少? (2)兩個(gè)正方形的面積之和可能等于12cm2嗎? 若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請(qǐng)說明理由． （1）解：設(shè)剪成兩段后其中一段為xcm，則另一段為（20-x）cm 由題意得： 解得： 當(dāng)時(shí)，20-x=4；當(dāng)時(shí)，20-x=16 答：這段鐵絲剪成兩段后的

49、長度分別是16厘米、4厘米。 （2）不能 理由是：設(shè)第一個(gè)正方形的邊長為xcm，則第二個(gè)正方形的邊長為cm，圍成兩個(gè)正方形的面積為ycm2， 根據(jù)題意，得：， ∵中，a= 2＞0，∴y有最小值， 即當(dāng)時(shí)，=12.5＞12,故兩個(gè)正方形面積的和不可能是12cm2. 截出圖形面積的最值問題 例4 如圖4,△ABC是一塊銳角三角形的余料,邊BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成長方形零件PQMN ,使長方形PQMN的邊QM在BC上,其余兩點(diǎn)P、N在AB、AC上。 （1） 問如何截才能使長方形PQMN的面積S最大？ （2） 在這個(gè)長方形零件PQMN面

50、積最大時(shí)，能否將余下的材料△APN、△BPQ △NMC 剪下再拼成（不計(jì)接縫用料和損耗）一個(gè)與長方形零件PQMN大小一樣的長方形？若能，給出一種拼法；若不能，試說明理由。 分析：解題的關(guān)鍵是利用幾何知識(shí)求得函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的性質(zhì)加以解決問題。 解：（1）設(shè)長方形零件PQMN的邊PN=a mm，PQ=x mm，則AE=AD-ED=AD-PQ=（80- x）mm， ∵PN∥BC ∴△APN∽△ABC，∴（相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比等于相似比） ∴，∵，∴0＜x＜80 ∴S=（0＜x＜80） ∵S=（0＜x＜80）中，a=＜0，∴S有最大值， 即當(dāng)時(shí)， 故當(dāng)截得的長方形零件PQM

51、N的長為60 mm，寬為40 mm 時(shí)，長方形零件PQMN的面積最大，最大面積為2400mm2。 點(diǎn)評(píng)：長方形零件PQMN的面積最大時(shí)，PN恰好是三角形的中位線。 （2）能。 理由是： 拼法： 1、 作△ABC的中位線PN， 2、 分別過P、N兩點(diǎn)作BC的垂線，垂足分別為Q、M， 3、 過A作BC的平行線，分別交QP、MN的延長線于G、H兩點(diǎn) 因此，四邊形PNGH即為和長方形PQMN大小一樣的長方形。 例5 如圖6，在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90，截取AE=BF=DG =x，已知AB=6，CD=3，AD=4。 求：（1）四邊形CGEF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式

52、； （2）四邊形CGEF的面積S是否存在著最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由。 解：（1）梯形ABCD的面積為==18， S△AEF=AEAF=x（6-x）=3x-x2； S△DGE=DEDG=x（4-x）=2x-x2； S△BCF=BFDA=x4=2x； 所以，S=18-（3x-x2）-（2x-x2）-2x =x2-7x+18； 因?yàn)椋篏C＞0、DE＞0、AF＞0，所以6-x＞0、3-x＞0、4-x＞0、x＞0 所以0＜x＜3因此自變量x的取值范圍是：0＜x＜3。 （2）因?yàn)镾 =x2-7x+18=（x-）2+，故當(dāng)x=時(shí)，面積有最

53、小值，而自變量x的取值范圍是：0＜x＜3，所以x=根本不在這個(gè)范圍內(nèi)，因此面積不存在最小值。 采光面積的最值 例6 用19米長的鋁合金條制成如圖所示的矩形的窗框。 （1） 求窗框的透光面積S（平方米）與窗框的寬x（米）之間的函數(shù)關(guān)系式； （2） 求自變量x的取值范圍； （3） 問如何設(shè)計(jì)才能使窗框透過的面積最大？最大的透光面積是多少？ 分析：關(guān)鍵是用含x的代數(shù)式表示出BC的長。 解：(1) 由圖示的信息，可得：3BC+20.5+3 x=19, 所以, BC=6 –x,所以AC=AB+BC=(6 –x+0.5)米, 所以, S=(6 –x+0.5) x= -x2+x; (2)

54、由題意,得:x＞0,6-x＞0,所以0＜x＜6,因此自變量x的取值范圍是：0＜x＜6, （3）∵S=(6 –x+0.5) x= -x2+x中，a= -1＜0，∴S有最大值， 即當(dāng)時(shí)， 故當(dāng)x=米時(shí)，窗框的面積最大，最大面積為平方米。 三、圓 3．1知識(shí)結(jié)構(gòu) 3.2考點(diǎn)例析 圓心角和圓周角之間的關(guān)系 1、求互余圓周角的大小 特點(diǎn)：所求的圓周角與已知的圓周角構(gòu)成互為余角。因此，所求的圓周角的大小就等于 90減去已知圓周角的度數(shù)。 例1、如圖1，CD是⊙O的直徑，A、B是⊙O上的兩點(diǎn)，若∠ABD＝20，則∠ADC的度數(shù)為（ ）． A、40 B、50

55、 C、60 D、70 分析：因?yàn)镃D是⊙O的直徑，所以∠CAD=90，又因?yàn)閳A周角∠ABD、∠ACD都對(duì)著弧AD，所以，∠ABD=∠ACD，所以，∠ACD＝20， 因?yàn)椤螦DC+∠ACD==90，因此，∠ADC=70。 解：選D。 2、已知圓周角求圓心角的大小 例2、如圖2，已知∠ACB是⊙O的圓周角，∠ACB=50，則圓心角∠AOB是（　　?。? A．40 B. 50C. 80D. 100 分析：因?yàn)閳A周角∠ACB和圓心角∠AOB都對(duì)著弧AB，所以根據(jù)圓周角定理可得：圓心角是弧上圓周角度數(shù)的2倍，所以，∠AOB=2∠ACB， 因?yàn)椤螦CB=50，所以∠AOB=100。

56、 解：選D。 3、已知圓心角求圓周角的大小 例3、如圖3，已知圓心角∠BOC=124、則圓周角∠BAC的大小是（　　）。 　A．50　　B．62　　　C．124　　D．236 分析：因?yàn)閳A周角∠BAC和圓心角∠BOC都對(duì)著弧BC，所以根據(jù)圓周角定理可得：圓心角是弧上圓周角度數(shù)的2倍，所以，∠BOC =2∠BAC， 所以∠BAC =∠BOC=124=62。 解：選B。 4、求兩個(gè)圓周角的和 特點(diǎn)：通過構(gòu)造同弧上圓周角與圓心角，利用圓心角與圓周角的關(guān)系定理去解決。 例4、如圖，是⊙O的直徑，點(diǎn)都在⊙O上，若， 則 ． 解：連接OC、OD、OE，根據(jù)圓周角定理，

57、 則有：∠ADC =∠AOC，∠BEC =∠BOC， 所以， ∠ADC+∠BEC=∠BOC+∠AOC =（∠BOC+∠AOC）=180=90， 又因?yàn)椤螦DC=∠BEC，所以，∠ADC=∠BEC=45， 所以，∠C=∠ADC=∠BEC=45， 所以，∠DOE=90，所以， ∠A+∠B=∠BOD+∠AOE=（∠BOD +∠AOE）=（∠DOE+∠BOE +∠DOE+∠AOD） =（∠DOE+∠AOB）=（180+90）=135。所以填135。 圓中線段計(jì)算 1、求圓的半徑 例1、如圖1，在⊙O中，弦的長為cm，圓心O到AB距離為4cm，則⊙O的半徑長 為（ ） A．3c

58、m B．4cm C．5cm D．6cm 解析：當(dāng)知道圓的一條弦長和圓心到該弦的距離時(shí)， 常是作出這條距離，然后根據(jù)垂徑定理、勾股定理，就可以求出圓的半徑了。 如圖2，連接OA，過點(diǎn)O作OC⊥AB垂足為C，根據(jù)垂徑定理，得： AC=BC= cm，因?yàn)?，圓心O到AB距離為4cm， 所以，OC=4 cm，在Rt直角三角形AOC 中，根據(jù)勾股定理，得：，所以，OA=5，即圓的半徑為5cm，因此，選C。 例2、如圖3，AB是⊙O的直徑，BC是弦，OD⊥BC于E，交BC 于D． 若BC=8，ED＝2，求⊙O的半徑． 解析：根據(jù)垂徑定理可以知道線段EB的長，設(shè)出圓的半徑，然后用半徑表示出

59、OE，這樣就可以在Rt直角三角形OEB 中，根據(jù)勾股定理，就可以求出圓的半徑了。 因?yàn)椋琌D⊥BC， 所以，BE＝CE=BC=4． 設(shè)⊙O的半徑為R，則OE=OD-DE=R-2． 在Rt△OEB中，由勾股定理得 OE2＋BE2=OB2，即(R-2)2＋42=R2． 解得R＝5，∴⊙O的半徑為5。 例3、如圖4，內(nèi)接于⊙O，，，則⊙O的半徑為（　　） A． B． C． D． 解析：當(dāng)知道圓的一條弦長和該弦所對(duì)的圓周角時(shí)，常是經(jīng)過這條弦的一個(gè)端點(diǎn)，作出圓的一條直徑，然后利用圓周角定理，把所有的已知條件都遷移到剛才所作的直

60、徑所對(duì)圓周角的直角三角形中，就可以求出圓的半徑了。 如圖5，過點(diǎn)B作圓的直徑BD，交圓于點(diǎn)D，連接AD，，根據(jù)圓周角定理，得： ∠C=∠D=30，∠DAB=90 所以，在Rt直角三角形ADB 中，因?yàn)椋螪=30，AB=2，所以，DB=4，所以，圓的半徑為2cm，因此，選B。 2、求圓的直徑 例4、如圖，已知：△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AD⊥BC于D點(diǎn)，且AC=5，DC=3，AB=，則⊙O的直徑等于 。 解析：這是一道值得探討的好題。好在結(jié)論的獲得有著不同的途徑，也就是說，它是一道一題多解的命題。下面我們就介紹一種解法如下： 解：過點(diǎn)A作圓的直徑AE，

61、交圓O于點(diǎn)E，連接BE， 如圖4，所示，在Rt直角三角形ADC 中，根據(jù)勾股定理，得：，所以，AD=4， 又因?yàn)椋珹E是圓的直徑，所以∠ABE=90， 所以，∠ABE=∠ADC，又因?yàn)椋螩=∠E， 所以，△ABE∽△ADC，所以，AB：AD=AE：AC，所以，AE==5， 所以圓O的直徑為5。 例5、小明要用圓心角為120，半徑是27cm的扇形紙片(如圖)圍成一個(gè)圓錐形紙帽，做成后這個(gè)紙帽的底面直徑為____________cm．(不計(jì)接縫部分，材料不剩余) 解析：這是一道圓錐側(cè)面展開問題。解決問題的關(guān)鍵：圓錐底面圓的周長等于側(cè)面展開后扇形的弧長。這樣，就建立起等式。 設(shè)

62、圓錐底面圓的直徑為xcm，扇形的弧長為L ， 所以，圓錐底面圓的周長為：πxcm， 扇形的弧長為：L=cm ，根據(jù)題意得： πx=18π，解得：x=18，所以，紙帽的底面直徑為18cm。 3、 求圓中弦長 例6、如圖6，以為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦是小圓的切線．若大圓半徑為，小圓半徑為，則弦的長為 ． 解析：因?yàn)榇髨A的弦是小圓的切線，不妨設(shè)切點(diǎn)為D，如圖7，連接 OD，根據(jù)切線的性質(zhì)， 得：OD⊥AB，根據(jù)垂徑定理，得：AD=DB=， 連接OA ，則OA=10，OD =6， 在Rt直角三角形AOD 中，根據(jù)勾股定理，得：，所以，AD=8， 所以，弦AB=

63、2AD=16（cm）。 例7、如圖8，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC=120，AB=AC，BD為 ⊙O的直徑，AD=6，則BC＝ 。 解析：因?yàn)锽D為 ⊙O的直徑，根據(jù)圓周角定理，得： ∠C=∠D，∠DAB=90。 又因?yàn)?，∠BAC=120，AB=AC， 所以，∠C=∠CBA=∠D=30，∠DBA=60，所以，∠DBC=30 在Rt直角三角形ABD 中，得：cos30=， 又AD=6， 所以，BD=4， 如圖8，連接DC，則∠BCD=90，在Rt直角三角形BCD 中，∠DBC=30，BD=4， 得：cos30=，BC=4=6。 4、求切線的長 例8、如

64、圖9，是⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為，連結(jié)，在⊙O外作，交的延長線于點(diǎn)．如果⊙O的半徑為3，，試求切線的長； 解：切⊙O于點(diǎn)，， 在中，， ，。 由勾股定理，得。 5、求圓心的坐標(biāo) 例9、如圖10，⊙M與軸相交于點(diǎn)，，與軸相切于點(diǎn)，則圓心的坐標(biāo)是 ． 解析： 如圖11，連接MC，因?yàn)?，點(diǎn)是切點(diǎn)， 所以，MC⊥y軸，也就是說MC的長度就是圓心M的橫坐標(biāo)， 過圓心M作MD⊥AB，垂足為D，也就是說MD的長度就是圓心M的縱坐標(biāo)， 因?yàn)?，⊙M與軸相交于點(diǎn)，，與軸相切于點(diǎn)， 所以，OA=2，OB=8，AB=6， 根據(jù)切割線定理，得：， 所以，OC=4

65、， 又AB=6，MD⊥AB，根據(jù)垂徑定理，得：AD=DB=3， 所以，OD=OA+AD=3+2=5， 所以，MC= OD=5，MD=OC=4， 所以，圓心M的坐標(biāo)為（5，4）。 直線與圓的位置關(guān)系 例1、如圖1，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BE∥CD，交AC的 延長線于點(diǎn)E，連結(jié)BC。求證：BE為⊙O的切線。（07山東濟(jì)寧改編) 分析：被判斷的直線是BE，由于AB為⊙O的直徑，所以，直線BE已經(jīng)具備了第一個(gè)條件：經(jīng)過圓上的某一個(gè)點(diǎn)。 這樣，問題的關(guān)鍵就是證明第二個(gè)條件：AB⊥BE。 證明： 因?yàn)锳B為⊙O的直徑，所以，點(diǎn)B是圓上的一個(gè)點(diǎn)， 所以，直線BE經(jīng)過了圓上的點(diǎn)B； 因?yàn)?，弦CD⊥AB于點(diǎn)M， 所以，∠CMB=90， 因?yàn)?，BE∥CD， 所以，∠CMB+∠EBA =180， 所以，∠EBA =90， 因?yàn)锳B為⊙O的直徑， 所以，BE為⊙O的切線。 例2、如圖2，已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在OC延長線上，sinB=， ∠D =30。 求證：AD是⊙O的切線。（07福建福州改編） 分析：被判斷的直線是AD，由于△ABC內(nèi)接于⊙O，所以，直線AD已經(jīng)具備