《高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第一節(jié) 坐標(biāo)系教師用書 理 選修44》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第一節(jié) 坐標(biāo)系教師用書 理 選修44（10頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第一節(jié)　坐標(biāo)系 ☆☆☆2017考綱考題考情☆☆☆ 考綱要求 真題舉例 命題角度 　　1.了解坐標(biāo)系的作用，了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況； 2.了解極坐標(biāo)的基本概念，會(huì)在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化； 3.能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形表示的極坐標(biāo)方程。 2016，全國(guó)卷Ⅰ，23,10分(直角坐標(biāo)方程化極坐標(biāo)方程，極坐標(biāo)方程的應(yīng)用) 2016，全國(guó)卷Ⅱ，23,10分(直角坐標(biāo)方程化極坐標(biāo)方程，極坐標(biāo)方程的應(yīng)用) 2015，全國(guó)卷Ⅰ，23,10分(圓的極坐標(biāo)，求三角形面積) 2015，全國(guó)卷Ⅱ，23,10分(直角坐標(biāo)方程

2、化極坐標(biāo)方程，極坐標(biāo)方程的應(yīng)用) 　　直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化，求極坐標(biāo)方程，利用極坐標(biāo)方程解決問題是本部分的熱點(diǎn)內(nèi)容，主要以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等。 微知識(shí)　小題練 自|主|排|查 1．平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換 設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換φ：的作用下，點(diǎn)P(x，y)對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱伸縮變換。 2．極坐標(biāo)的概念 (1)極坐標(biāo)系： 如圖所示，在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做_極點(diǎn)，從O點(diǎn)引一條射線Ox，叫做極軸，選定一個(gè)單位長(zhǎng)度和角及其正方向(通常取逆時(shí)針方向)，這樣就確定了一個(gè)平面極坐標(biāo)系，

3、簡(jiǎn)稱為極坐標(biāo)系。 (2)極坐標(biāo)： 對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)M，用ρ表示線段OM的長(zhǎng)，θ表示以O(shè)x為始邊、OM為終邊的角度，ρ叫做點(diǎn)M的極徑，θ叫做點(diǎn)M的極角，有序?qū)崝?shù)對(duì)(ρ，θ)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記作M(ρ，θ)。 當(dāng)點(diǎn)M在極點(diǎn)時(shí)，它的極徑ρ＝0，極角θ可以取任意值。 (3)點(diǎn)與極坐標(biāo)的關(guān)系： 平面內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)可以有無數(shù)對(duì)，當(dāng)k∈Z時(shí)，(ρ，θ)，(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，θ＋(2k＋1)π)表示同一個(gè)點(diǎn)，而用平面直角坐標(biāo)表示點(diǎn)時(shí)，每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是唯一的。 如果規(guī)定ρ＞0,0≤θ＜2π，或者－π＜θ≤π，那么，除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)和極坐標(biāo)就一一對(duì)應(yīng)了。 3．極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化

4、 (1)互化背景：把平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，建立極坐標(biāo)系，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長(zhǎng)度，如圖所示。 (2)互化公式：設(shè)M是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(ρ，θ)(ρ＞0，θ∈[0,2π))，于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表： 點(diǎn)M 直角坐標(biāo)(x，y) 極坐標(biāo)(ρ，θ) 互化公式 ρ2＝x2＋y2 tanθ＝(x≠0) 在一般情況下，由tanθ確定角時(shí)，可根據(jù)點(diǎn)M所在的象限取最小正角。 4．常見曲線的極坐標(biāo)方程 曲線 圖形 極坐標(biāo)方程 圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓 ρ＝r(0≤θ＜2π) 圓心為(

5、r,0)，半徑為r的圓 ρ＝2rcosθ 圓心為，半徑為r的圓 ρ＝2rsinθ(0≤θ＜π) 過極點(diǎn)，傾斜角為α的直線 (1)θ＝α(ρ∈R)或 θ＝π＋α(ρ∈R) (2)θ＝α(ρ≥0)和 θ＝π＋α(ρ≥0) 過點(diǎn)(a,0)，與極軸垂直的直線 ρcosθ＝a 過點(diǎn)，與極軸平行的直線 ρsinθ＝a(0＜θ＜π) 過點(diǎn)(a,0)，傾斜角為α的直線 ρsin(α－θ)＝asinα 微點(diǎn)提醒 1．應(yīng)用伸縮變換時(shí)，要分清變換前的點(diǎn)的坐標(biāo)P(x，y)與變換后的點(diǎn)的坐標(biāo)Q(X，Y)。 2．直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化問題，要注意互化時(shí)要將

6、極坐標(biāo)方程作適當(dāng)轉(zhuǎn)化； (1)若是和角，常用兩角和與差的三角公式展開，化為可用公式形式。 (2)為了出現(xiàn)公式形式，兩邊可以同乘以ρ。 小|題|快|練 1．在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線x－2y＝2經(jīng)過伸縮變換后，變成直線__________。 【解析】　由伸縮變換得 將其代入x－2y＝2得2x′－y′＝4。 【答案】　2x－y＝4 2．在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)P，Q，則線段PQ的長(zhǎng)度為__________。 【解析】　P，Q在過極點(diǎn)且與極軸成的直線上，它們位于極點(diǎn)的兩側(cè)，因此|PQ|＝5＋1＝6。 【答案】　6 3．直角坐標(biāo)方程x2＋y2－8y＝0的極坐標(biāo)方程為_______

7、___。 【解析】　因?yàn)閤2＋y2＝ρ2，y＝ρsinθ，所以原方程可化為ρ2－8ρsinθ＝0。所以ρ＝0或ρ＝8sinθ。 經(jīng)檢驗(yàn)，得所求的極坐標(biāo)方程為ρ＝8sinθ。 【答案】　ρ＝8sinθ 4．極坐標(biāo)方程ρ＝6cos的直角坐標(biāo)方程為________。 【解析】　原方程可化為ρ＝6cosθcos＋6sinθsin， 方程兩邊同乘ρ，得ρ2＝3ρcosθ＋3ρsinθ， 由ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y(tǒng)， 得所求的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－3x－3y＝0。 【答案】　x2＋y2－3x－3y＝0 5．在極坐標(biāo)系中，圓心在(，π)且過極點(diǎn)的圓的方程為__

8、______。 【解析】　如圖，O為極點(diǎn)，OB為直徑，A(ρ，θ)，則∠ABO＝θ－，OB＝2＝， 化簡(jiǎn)得ρ＝－2cosθ。 【答案】　ρ＝－2cosθ 微考點(diǎn)　大課堂 考點(diǎn)一 圖形的伸縮變換 【典例1】　求曲線y＝sin經(jīng)伸縮變換后的曲線方程。 【解析】　由得① 將①代入y＝sin，得 2y′＝sin， 即y′＝sin。 故變換后的曲線方程為y＝sin。 【答案】　y＝sin 反思?xì)w納　求經(jīng)伸縮變換后曲線方程的方法 平面上的曲線y＝f(x)在變換φ：的作用下的變換方程的求法是將代入y＝f(x)，得＝f，整理之后得到y(tǒng)′＝h(x′)，即為所求變換之后的方程。

9、 【變式訓(xùn)練】　求雙曲線C：x2－＝1經(jīng)過φ：變換后所得曲線C′的焦點(diǎn)坐標(biāo)。 【解析】　設(shè)曲線C′上任意一點(diǎn)P′(x′，y′)，由上述可知，將代入x2－＝1得－＝1，化簡(jiǎn)得－＝1。 即－＝1為曲線C′的方程，可見仍是雙曲線， 則焦點(diǎn)F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)為所求。 【答案】　F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0) 考點(diǎn)二 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 【典例2】　(1)已知直線l的極坐標(biāo)方程為2ρsin＝，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為A，求點(diǎn)A到直線l的距離。 (2)已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2ρsin－4＝0，求圓C的半徑。 【解析】　(1)由2ρsin＝， 得2ρ＝，∴y－x＝1。

10、 由點(diǎn)A的極坐標(biāo)為得點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(2，－2)，∴d＝＝。 (2)以極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系xOy。 圓C的極坐標(biāo)方程為 ρ2＋2ρ－4＝0， 化簡(jiǎn)，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0。 則圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＋2y－4＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6， 所以圓C的半徑為。 【答案】　(1)　(2) 反思?xì)w納　極坐標(biāo)方程與普通方程互化技巧 1．巧用極坐標(biāo)方程兩邊同乘以ρ或同時(shí)平方技巧，將極坐標(biāo)方程構(gòu)造成含有ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，然后利用公式代入化簡(jiǎn)得到普通方程。 2．巧借兩

11、角和差公式，轉(zhuǎn)化ρsin(θ±α)或ρcos(θ±α)的結(jié)構(gòu)形式，進(jìn)而利用互化公式得到普通方程。 3．將直角坐標(biāo)方程中的x轉(zhuǎn)化為ρcosθ，將y換成ρsinθ，即可得到其極坐標(biāo)方程。 【變式訓(xùn)練】　⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ。 (1)把⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； (2)求經(jīng)過⊙O1，⊙O2交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程。 【解析】　以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位。 (1)ρ＝4cosθ，兩邊同乘以ρ，得ρ2＝4ρcosθ； ρ＝－4sinθ，兩邊同乘以ρ，得ρ2＝－

12、4ρsinθ。 由ρcosθ＝x，ρsinθ＝y(tǒng)，ρ2＝x2＋y2， 得⊙O1，⊙O2的直角坐標(biāo)方程分別為x2＋y2－4x＝0和x2＋y2＋4y＝0。 (2) ①－②得－4x－4y＝0， 即x＋y＝0為所求直線方程。 【答案】　(1)⊙O1，⊙O2的直角坐標(biāo)方程分別為x2＋y2－4x＝0和x2＋y2＋4y＝0 (2)x＋y＝0 考點(diǎn)三 求曲線的極坐標(biāo)方程 【典例3】　(2017·鐵嶺模擬)在極坐標(biāo)系Ox中，直線C1的極坐標(biāo)方程為ρsinθ＝2，M是C1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在射線OM上，且滿足|OP|·|OM|＝4，記點(diǎn)P的軌跡為C2。 (1)求曲線C2的

13、極坐標(biāo)方程； (2)求曲線C2上的點(diǎn)到直線ρcos＝距離的最大值。 【解析】　(1)設(shè)P(ρ1，θ)，M(ρ2，θ)， 由|OP|·|OM|＝4，得ρ1ρ2＝4，即ρ2＝。 因?yàn)镸是C1上任意一點(diǎn)，所以ρ2sinθ＝2，即sinθ＝2， ρ1＝2sinθ。所以曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sinθ。 (2)由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，即x2＋y2－2y＝0， 化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝1， 則曲線C2的圓心坐標(biāo)為(0,1)，半徑為1， 由直線ρcos＝， 得：ρcosθcos－ρsinθsin＝，即x－y＝2， 圓心(0,1)到直線x－y＝2的

14、距離為 d＝＝， 所以曲線C2上的點(diǎn)到直線ρcos＝距離的最大值為1＋。 【答案】　(1)ρ＝2sinθ　(2)1＋ 反思?xì)w納　求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，設(shè)P(ρ，θ)是曲線上任意一點(diǎn)；(2)由曲線上的點(diǎn)所適合的條件，列出曲線上任意一點(diǎn)的極徑ρ和極角θ之間的關(guān)系式；(3)將列出的關(guān)系式進(jìn)行整理、化簡(jiǎn)，得出曲線的極坐標(biāo)方程。 【變式訓(xùn)練】　在極坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過點(diǎn)P，圓心為直線ρsin＝－與極軸的交點(diǎn)，求圓C的極坐標(biāo)方程。 【解析】　在ρsin＝－中，令θ＝0，得ρ＝1， 所以圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0)。 如圖所示，因?yàn)閳AC經(jīng)過點(diǎn)P， 所以圓C的半

15、徑 PC＝ ＝1， 于是圓C過極點(diǎn)，所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ。 【答案】　ρ＝2cosθ 考點(diǎn)四 極坐標(biāo)方程的應(yīng)用 【典例4】　(2016·全國(guó)卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a>0)。在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝4cosθ。 (1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程； (2)直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝α0，其中α0滿足tanα0＝2，若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a的值。 【解析】　(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2。C1是以(0,1

16、)為圓心，a為半徑的圓。 將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，得到 C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0。 (2)曲線C1，C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組 若ρ≠0，由方程組得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，從而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1。 a＝1時(shí)，極點(diǎn)也為C1，C2的公共點(diǎn)，在C3上。 所以a＝1。 【答案】　(1)C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓　C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0 (2)a＝1 反思?xì)w納　運(yùn)用極坐標(biāo)

17、方程的幾何意義可求解交點(diǎn)、長(zhǎng)度、距離、最值等幾何問題。近幾年高考在這方面加強(qiáng)了使用極坐標(biāo)解決幾何問題的力度。 【變式訓(xùn)練】　在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))。以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。 (1)求圓C的極坐標(biāo)方程； (2)直線l的極坐標(biāo)方程是2ρsin＝3，射線OM：θ＝與圓C的交點(diǎn)為O、P，與直線l的交點(diǎn)為Q，求線段PQ的長(zhǎng)。 【解析】　(1)由題意可得圓C的普通方程為(x－1)2＋y2＝1， 又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ ， 所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ。 (2)設(shè)點(diǎn)P(ρ1，θ1)，由 解得 設(shè)點(diǎn)Q(ρ2，θ2)，由 解

18、得 所以|PQ|＝2。 【答案】　(1)ρ＝2cosθ　(2)|PQ|＝2 微考場(chǎng)　新提升 1．在極坐標(biāo)系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，求曲線ρ(cosθ＋sinθ)＝1與ρ(sinθ－cosθ)＝1的交點(diǎn)的極坐標(biāo)。 解析　曲線ρ(cosθ＋sinθ)＝1化為直角坐標(biāo)方程為x＋y＝1，ρ(sinθ－cosθ)＝1化為直角坐標(biāo)方程為y－x＝1。聯(lián)立方程組得則交點(diǎn)為(0,1)，對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)為。 答案　 2．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos＝1，M，N分別為C與x軸、y軸的交點(diǎn)。 (1)寫出C的直角坐標(biāo)方程，并求M、N

19、的極坐標(biāo)； (2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程。 解析　(1)由ρcos＝1 得ρ＝1。 從而C的直角坐標(biāo)方程為x＋y＝1， 即x＋y＝2。 當(dāng)θ＝0時(shí)，ρ＝2，所以M(2,0)。 當(dāng)θ＝時(shí)，ρ＝，所以N。 (2)M點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2,0)。 N點(diǎn)的直角坐標(biāo)為。 所以P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為。 則P點(diǎn)的極坐標(biāo)為， 所以直線OP的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)。 答案　(1)C的直角坐標(biāo)方程為x＋y＝2，M(2,0)， N　(2)θ＝(ρ∈R) 3．(2016·湖北七市聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸

20、的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin＝，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2acos(a>0)。 (1)求直線l與曲線C1的交點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)； (2)若直線l與C2相切，求a的值。 解析　(1)曲線C1的普通方程為y＝x2，x∈[－，]，直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y＝2，聯(lián)立，解得或(舍去)。 故直線l與曲線C1的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1,1)，其極坐標(biāo)為。 (2)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＋2ax－2ay＝0， 即(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a>0)。 由直線l與C2相切，得＝a，故a＝1。 答案　(1)　(2)1 我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式，改變粗放式增長(zhǎng)模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化，推動(dòng)城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)。