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1、 人教版高中數學必修精品教學資料 第二章 章末檢測（A） (時間：120分鐘　滿分：150分) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分) 1．在空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA上分別取E、F、G、H四點,如果EF,GH交于一點P,則(　　) A．P一定在直線BD上 B．P一定在直線AC上 C．P一定在直線AC或BD上 D．P既不在直線AC上,也不在直線BD上 2．下列推理錯誤的是(　　) A．A∈l,A∈α,B∈l,B∈α?l?α B．A∈α,A∈β,B∈α,B∈β?α∩β＝AB C．l?α,A∈l?A?α D．A∈l,l?α?A∈

2、α 3．給定下列四個命題： ①若一個平面內的兩條直線與另一個平面都平行,那么這兩個平面相互平行； ②若一個平面經過另一個平面的垂線,那么這兩個平面相互垂直； ③垂直于同一直線的兩條直線相互平行； ④若兩個平面垂直,那么一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直． 其中,為真命題的是(　　) A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ 4．在空間中,下列說法中不正確的是(　　) A．兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形 B．兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形 C．一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 D．對角線互

3、相平分的四邊形是平行四邊形 5．長方體ABCD－A1B1C1D1中,異面直線AB,A1D1所成的角等于(　　) A．30 B．45 C．60 D．90 6．正方體ABCD－A1B1C1D1中,二面角C1－AB－C的平面角等于(　　) A．30 B．45 C．60 D．90 7．已知m,n是不同的直線,α,β是不重合的平面,則下列命題中正確的是(　　) A．若m∥α,m∥n,則n∥α B．若m⊥α,n⊥α,則n⊥m C．若m⊥α,m∥β,則α⊥β D．若α⊥β,m?α,則m⊥β 8．如圖(1)所示,在正方形SG1G2G3中,E,F分別是G1G2及G2G3的中點,D

4、是EF的中點,現在沿SE,SF及EF把這個正方形折成一個四面體,使G1,G2,G3三點重合,重合后的點記為G,如圖(2)所示,那么,在四面體S－EFG中必有(　　) A．SG⊥△EFG所在平面 B．SD⊥△EFG所在平面 C．GF⊥△SEF所在平面 D．GD⊥△SEF所在平面 9．如圖所示,將無蓋正方體紙盒展開,直線AB、CD在原正方體中的位置關系是(　　) A．平行 B．相交且垂直 C．異面直線 D．相交成60角 10．矩形ABCD中,AB＝4,BC＝3,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B－AC－D,則四面體ABCD的外接球的體積為(　　) A．π B．π

5、 C．π D．π 11．如圖所示,在正方體ABCD—A1B1C1D1中,若E是A1C1的中點,則直線CE垂直于(　　) A．AC B．BD C．A1D D．A1D1 12．如圖所示,將等腰直角△ABC沿斜邊BC上的高AD折成一個二面角,此時∠B′AC＝60,那么這個二面角大小是(　　) A．90 B．60 C．45 D．30 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分) 13．設平面α∥平面β,A、C∈α,B、D∈β,直線AB與CD交于點S,且點S位于平面α,β之間,AS＝8,BS＝6,CS＝12,則SD＝_______

6、_． 14．如圖所示,已知矩形ABCD中,AB＝3,BC＝a,若PA⊥平面AC,在BC邊上取點E,使PE⊥DE,則滿足條件的E點有兩個時,a的取值范圍是________． 15．如圖所示,在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,當底面四邊形A1B1C1D1滿足條件________時,有A1C⊥B1D1(注：填上你認為正確的一種情況即可,不必考慮所有可能的情況)． 16．下列四個命題：①若a∥b,a∥α,則b∥α；②若a∥α,b?α,則a∥b；③若a∥α,則a平行于α內所有的直線；④若a∥α,a∥b,b?α,則b∥α． 其中正確命題的序號是________． 三、解答題(本大題

7、共6小題,共70分) 17．(10分) 如圖所示,長方體ABCD－A1B1C1D1中,M、N分別為AB、A1D1的中點,判斷MN與平面A1BC1的位置關系,為什么？ 18．(12分) 如圖,在四面體ABCD中,CB＝CD,AD⊥BD,且E、F分別是AB、BD的中點． 求證：(1)EF∥面ACD； (2)面EFC⊥面BCD． 19．(12分) 如圖,已知矩形ABCD,過A作SA⊥平面AC,再過A作AE⊥SB于點E,過E作EF⊥SC于點F． (1)求證：AF⊥SC； (2)若平面AEF交SD于點G,求證：AG⊥SD．

8、 20．(12分)如圖所示,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,底面邊長為a,E是PC的中點． (1)求證：PA∥面BDE；平面PAC⊥平面BDE； (2)若二面角E－BD－C為30,求四棱錐P－ABCD的體積． 21．(12分)如圖所示,在矩形ABCD中,AB＝3,BC＝3,沿對角線BD將△BCD折起,使點C移到C′點,且C′點在平面ABD上的射影O恰在AB上． (1)求證：BC′⊥平面AC′D； (2)求點A到平面BC′D的距離． 22．(12

9、分) 如圖,在五面體ABC－DEF中,四邊形ADEF是正方形,FA⊥平面ABCD,BC∥AD,CD＝1,AD＝2,∠BAD＝∠CDA＝45． (1)求異面直線CE與AF所成角的余弦值； (2)證明CD⊥平面ABF； (3)求二面角B－EF－A的正切值． 第二章　點、直線、平面之間的位置關系(A) 答案 1．B　[(如圖),∵P∈HG,HG?面ACD, ∴P∈面ACD,同理P∈面BAC, 面BAC∩面ACD＝AC； ∴P∈AC,選B．] 2．C　[若直線l∩α＝A,顯然有l(wèi)?α,A∈l,但A∈α．] 3．D　[當兩個平面相交時,一個平

10、面內的兩條直線可以平行于另一個平面,故①不對；由平面與平面垂直的判定可知②正確；空間中垂直于同一條直線的兩條直線可以相交也可以異面,故③不對；若兩個平面垂直,只有在一個平面內與它們的交線垂直的直線才與另一個平面垂直,故④正確．] 4．A 5．D　[由于AD∥A1D1,則∠BAD是異面直線AB,A1D1所成的角,很明顯∠BAD＝90．] 6．B 7．C　[A中還有可能n?α；B中n∥m；D中還有可能m∥β或m?β或相交不垂直；C中,由于m∥β,設過m的平面γ與β交于b,則m∥b,又m⊥α,則b⊥α,又b?β,則α⊥β,所以C正確．] 8．A　[∵四邊形SG1G2G3是正方形, ∴SG

11、1⊥G1E,EG1⊥G2F,FG3⊥SG3． 當正方形折成四面體之后,上述三個垂直關系仍保持不變, EG,GF成為四面體的面EGF的相鄰兩條邊, 因此,在四面體S－EFG中側棱SG⊥GE,SG⊥GF, ∴SG⊥平面EFG．] 9．D　[恢復成正方體(如圖), 易知△ABC為等邊三角形, 所以∠ABC＝60．選D．] 10．C　[球心O為AC中點,半徑為R＝AC＝, V＝πR3＝π．選C．] 11．B　[證BD⊥面CC1E,則BD⊥CE．] 12．A　[連接B′C,則△AB′C為等邊三角形,設AD＝a, 則B′C＝AC＝a,B′D＝DC＝a, 所以∠B′DC＝90．]

12、 13．9 解析　由面面平行的性質得AC∥BD,＝, 解得SD＝9． 14．a>6 解析　(如圖) 由題意知：PA⊥DE, 又PE⊥DE, 所以DE⊥面PAE,∴DE⊥AE． 易證△ABE∽△ECD． 設BE＝x,則＝,即＝． ∴x2－ax＋9＝0,由Δ>0,解得a>6． 15．B1D1⊥A1C1(答案不唯一) 解析　由直四棱柱可知CC1⊥面A1B1C1D1, 所以CC1⊥B1D1,要使B1D1⊥A1C, 只要B1D1⊥平面A1CC1,所以只要B1D1⊥A1C1, 還可以填寫四邊形A1B1C1D1是菱形,正方形等條件． 16．④ 解析?、僦衎可能在α內；②

13、a與b可能異面；③a可能與α內的直線異面． 17．解　直線MN∥平面A1BC1, 證明如下： ∵MD/∈平面A1BC1,ND/∈平面A1BC1． ∴MN?平面A1BC1． 如圖,取A1C1的中點O1,連接NO1、BO1． ∵NO1綊D1C1, MB綊D1C1,∴NO1綊MB． ∴四邊形NO1BM為平行四邊形．∴MN∥BO1． 又∵BO1?平面A1BC1, ∴MN∥平面A1BC1． 18．證明　(1)∵E,F分別是AB,BD的中點, ∴EF是△ABD的中位線,∴EF∥AD, ∵EF?面ACD,AD?面ACD,∴EF∥面ACD． (2)∵AD⊥BD,EF∥AD,∴E

14、F⊥BD． ∵CB＝CD,F是BD的中點,∴CF⊥BD． 又EF∩CF＝F,∴BD⊥面EFC．∵BD?面BCD, ∴面EFC⊥面BCD． 19．證明　(1)∵SA⊥平面AC,BC?平面AC, ∴SA⊥BC, ∵四邊形ABCD為矩形,∴AB⊥BC． ∴BC⊥平面SAB,∴BC⊥AE． 又SB⊥AE,∴AE⊥平面SBC． ∴AE⊥SC．又EF⊥SC,∴SC⊥平面AEF． ∴AF⊥SC． (2)∵SA⊥平面AC,∴SA⊥DC． 又AD⊥DC,∴DC⊥平面SAD． ∴DC⊥AG． 又由(1)有SC⊥平面AEF,AG?面AEF, ∴SC⊥AG,∴AG⊥平面SDC,∴AG⊥S

15、D． 20．(1)證明　 連接OE,如圖所示． ∵O、E分別為AC、PC中點, ∴OE∥PA． ∵OE?面BDE,PA?面BDE, ∴PA∥面BDE． ∵PO⊥面ABCD,∴PO⊥BD． 在正方形ABCD中,BD⊥AC, 又∵PO∩AC＝0,∴BD⊥面PAC． 又∵BD?面BDE,∴面PAC⊥面BDE． (2)解　取OC中點F,連接EF． ∵E為PC中點, ∴EF為△POC的中位線,∴EF∥PO． 又∵PO⊥面ABCD, ∴EF⊥面ABCD ∵OF⊥BD,∴OE⊥BD． ∴∠EOF為二面角E－BD－C的平面角, ∴∠EOF＝30． 在Rt△OEF中,

16、 OF＝OC＝AC＝a, ∴EF＝OFtan 30＝a,∴OP＝2EF＝a． ∴VP－ABCD＝a2a＝a3． 21．(1)證明　∵點C′在平面ABD上的射影O在AB上, ∴C′O⊥平面ABD,∴C′O⊥DA． 又∵DA⊥AB,AB∩C′O＝O, ∴DA⊥平面ABC′,∴DA⊥BC′． 又∵BC⊥CD,∴BC′⊥C′D． ∵DA∩C′D＝D,∴BC′⊥平面AC′D． (2)解　 如圖所示, 過A作AE⊥C′D,垂足為E,連接BE． ∵BC′⊥平面AC′D,∴BC′⊥AE． ∴AE⊥平面BC′D． 故AE的長就是A點到平面BC′D的距離． ∵AD⊥AB,DA⊥B

17、C′, ∴AD⊥平面ABC′,∴DA⊥AC′． 在Rt△AC′B中,AC′＝＝3． 在Rt△BC′D中,C′D＝CD＝3． 在Rt△C′AD中,由面積關系,得 AE＝＝＝． ∴點A到平面BC′D的距離是． 22．(1)解　因為四邊形ADEF是正方形,所以FA∥ED． 所以∠CED為異面直線CE與AF所成的角． 因為FA⊥平面ABCD,所以FA⊥CD．故ED⊥CD． 在Rt△CDE中,CD＝1,ED＝2, CE＝＝3, 所以cos ∠CED＝＝． 所以異面直線CE與AF所成角的余弦值為． (2)證明　如圖,過點B作BG∥CD,交AD于點G,則∠BGA＝∠CDA＝45． 由∠BAD＝45,可得BG⊥AB,從而CD⊥AB． 又CD⊥FA,FA∩AB＝A,所以CD⊥平面ABF． (3)解　由(2)及已知,可得AG＝,即G為AD的中點． 取EF的中點N,連接GN,則GN⊥EF． 因為BC∥AD,所以BC∥EF． 過點N作NM⊥EF,交BC于點M, 則∠GNM為二面角B－EF－A的平面角． 連接GM,可得AD⊥平面GNM,故AD⊥GM, 從而BC⊥GM． 由已知,可得GM＝． 由NG∥FA,FA⊥GM,得NG⊥GM． 在Rt△NGM中,tan ∠GNM＝＝． 所以二面角B－EF－A的正切值為．