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1、
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
“立體幾何”類(lèi)題目的審題技巧與解題規(guī)范
[對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P118]
[技法概述]
在高考數(shù)學(xué)試題中,問(wèn)題的條件以圖形的形式或?qū)l件隱含在圖形之中給出的題目較多,因此在審題時(shí),要善于觀察圖形,洞悉圖形所隱含的特殊的關(guān)系、數(shù)值的特點(diǎn)、變化的趨勢(shì),抓住圖形的特征,利用圖形所提供信息來(lái)解決問(wèn)題。
[適用題型]
以下幾種類(lèi)型常用到此審題方法:
(1)立體幾何:空間多面體中的幾何特征及線面位置關(guān)系;
(2)解析幾何:直線與圓、圓錐曲線中的幾何特征;
(3)函數(shù):函數(shù)圖象的判斷,由三角
2、函數(shù)圖像求解析式中圖像特征;
(4)概率與統(tǒng)計(jì):統(tǒng)計(jì)中頻率分布直方圖、莖葉圖中的信息特征.
[典例] (20xx安徽高考)(本題滿分12分)如圖,四棱錐P ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,∠BAD=60,已知PB=PD=2,PA=.
(1)證明:PC⊥BD;
(2)若E為PA的中點(diǎn),求三棱錐P BCE的體積.
1.(20xx南通模擬)已知正方體ABCDA1B1C1D1,AA1=2,E為棱CC1的中點(diǎn).
(1)求證:AC1∥平面B1DE;
(2)求三棱錐ABDE的體積.
解:(1)證明:取BB1的中點(diǎn)F,連接AF
3、,CF,EF.
∵E,F(xiàn)分別是CC1,BB1的中點(diǎn),
∴CE綊B1F.
∴四邊形B1FCE是平行四邊形.
∴CF∥B1E.
∵E,F(xiàn)是CC1,BB1的中點(diǎn),
∴EF綊BC,又BC綊AD,
∴EF綊AD.
∴四邊形ADEF是平行四邊形.∴AF∥ED.
∵AF∩CF=F,B1E∩ED=E,
∴平面ACF∥平面B1DE.
又AC平面ACF,
∴AC∥平面B1DE.
(2)由條件得S△ABD=ABAD=2.
∴VABDE=VEABD=S△ABDEC
=21=,
即三棱錐ABDE的體積為.
2.如圖,在三棱錐PABC中,PA⊥底面ABC,△ABC為正三角形,D,E分別
4、是BC,CA的中點(diǎn).
(1)證明:平面PBE⊥平面PAC;
(2)在BC上找一點(diǎn)F,使AD∥平面PEF,并說(shuō)明理由.
解:(1)證明:∵PA⊥平面ABC,BE?平面ABC,
∴PA⊥BE.
∵△ABC為正三角形,E是CA的中點(diǎn),∴BE⊥AC.
又∵PA,AC?平面PAC,
PA∩CA=A,
∴BE⊥平面PAC.
∵BE?平面PBE,∴平面PBE⊥平面PAC.
(2)取F為CD的中點(diǎn),連接EF.
∵E,F(xiàn)分別為AC,CD的中點(diǎn),
∴EF是△ACD的中位線,
∴EF∥AD.又∵EF?平面PEF,
AD?平面PEF,
∴AD∥平面PEF.
3.如圖是某直三棱柱(側(cè)棱與
5、底面垂直)被削去上底后的直觀圖與三視圖的左視圖、俯視圖.在直觀圖中,M是BD的中點(diǎn).左視圖是直角梯形,俯視圖是等腰直角三角形,有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示.
(1)求出該幾何體的體積;
(2)求證:EM∥平面ABC;
(3)試問(wèn)在棱DC上是否存在點(diǎn)N,使NM⊥平面BDE?若存在,確定點(diǎn)N的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解:由題意,EA⊥平面ABC,DC⊥平面ABC,
AE∥DC,AE=2,
DC=4,AB⊥AC,且AB=AC=2.
(1)∵EA⊥平面ABC,∴EA⊥AB,又AB⊥AC,EA∩AC=A,
∴AB⊥平面ACDE.
∴四棱錐BACDE的高h(yuǎn)=AB=2,梯形ACDE的面積S=
6、6,
∴VBACDE=Sh=4,即所求幾何體的體積為4.
(2)證明:∵M(jìn)為DB的中點(diǎn),取BC中點(diǎn)G,連接EM,MG,AG,
∴MG∥DC,且MG=DC,
∴MG平行且等于AE,
∴四邊形AGME為平行四邊形,
∴EM∥AG,又AG?平面ABC,EM?平面ABC,
∴EM∥平面ABC.
(3)由(2)知,EM∥AG,
又∵平面BCD⊥底面ABC,AG⊥BC,
∴AG⊥平面BCD.
∴EM⊥平面BCD,又∵EM?平面BDE,
∴平面BDE⊥平面BCD.
在平面BCD中,過(guò)M作MN⊥DB交DC于點(diǎn)N,
∴MN⊥平面BDE,點(diǎn)N即為所求的點(diǎn),
△DMN∽△DCB,
∴=,即=,
∴DN=3,∴DN=DC,
∴邊DC上存在點(diǎn)N,滿足DN=DC時(shí),有NM⊥平面BDE.