高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 I．題源探究·黃金母題 【例1】如圖，已知四邊形是等腰梯形，分別是的中點(diǎn)，是線段上的兩個(gè)點(diǎn)，且，下底是上底的2倍，若，，求． 【解析】， ∴． 又， ∴， 所以 II．考場(chǎng)精彩·真題回放 【例2】【20xx全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷】設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則（　　　） A．　 　B． C．　 　 D． 【答案】A 【解析】由題知＝＝，故選A． 【例3】【（20xx北京高考卷】在中，點(diǎn)，滿足，．若，則______；_______． 【答案】 【例4】【20xx全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷】設(shè)分別為的三邊的中點(diǎn)，則（　　?。? A．　　B.．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】根據(jù)平面向量基本定理和向量的加減運(yùn)算可得：在中，，同理，則＝＝＝． 【例5】【20xx高考廣東卷】設(shè)是已知的平面向量且,關(guān)于向量的分解,有如下四個(gè)命題： ①給定向量,總存在向量,使； ②給定向量和,總存在實(shí)數(shù)和,使； ③給定單位向量和正數(shù),總存在單位向量和實(shí)數(shù),使； ④給定正數(shù)和,總存在單位向量和單位向量,使． 上述命題中的向量,和在同一平面內(nèi)且兩兩不共線,則真命題的個(gè)數(shù)是（　　?。? A．1　　　B．2　　　C．3　　D．4 【答案】B 【解析】利用向量加法的三角形法則，易知①是對(duì)的；利用平面向量的基本定理，易知②是對(duì)的；以的終點(diǎn)作長(zhǎng)度為的圓，這個(gè)圓必須和向量有交點(diǎn)，這個(gè)不一定能滿足，③是錯(cuò)的；利用向量加法的三角形法則，結(jié)合三角形兩邊的和大于第三邊，即必須，所以④是假命題.綜上，選B． 【例6】【20xx江蘇高考卷】設(shè)分別是的邊上的 點(diǎn),,,若 (為實(shí)數(shù)),則 的值為__________． 【答案】 精彩解讀 【試題來源】人教版A版必修四第120頁(yè)復(fù)習(xí)參考題A組第13題． 【母題評(píng)析】本題中實(shí)際上為基底，然后將其它的向量利用此基底表示出來，主要考查向量加減法的幾何意義、平面向量基本定理，所以此類題型在高考中出現(xiàn)的頻率還是比較高的，要么單獨(dú)考查，要么滲透于其它向量問題中． 【思路方法】（1）將一個(gè)向量表示為另兩個(gè)不共線的向量的線性關(guān)系，主要是利用平行四邊形法則或三角形法則，結(jié)合數(shù)乘向量、平面向量的基本定理來解決．（2）注意題目中中點(diǎn)與平行的應(yīng)用． 【命題意圖】本類題主要考查平面向量的加法運(yùn)算及三角形法則、數(shù)乘向量，以及圖形的識(shí)別能力、運(yùn)算求解能力． 【考試方向】這類試題在考查題型上，通常基本以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度中偏下． 【難點(diǎn)中心】（1）如何利用三角形法則，面臨的就是如何選擇三角形，這是一個(gè)難點(diǎn)；（2）如何利用條件中的關(guān)鍵條件，如線段的中點(diǎn)、三點(diǎn)共線、平行關(guān)系，即如何利用這些條件實(shí)施向量線性運(yùn)算間的轉(zhuǎn)換，從而達(dá)到將一個(gè)向量利用基底向量表示的目的． III．理論基礎(chǔ)·解題原理 考點(diǎn)一　平面向量的加減法及幾何意義 1．加法法則及幾何意義 ①三角形法則：已知向量，在平面上任取一點(diǎn)，作，，則叫做和的和． ②平行四邊形法則：已知向量，在平面上任取一點(diǎn)，作，，以為鄰邊作平行四邊形，則為向量和的和． ③多個(gè)向量和的多邊形法則：已知向量，在平面上任取一點(diǎn)，作，，…，，則為向量的和． 2．減法法則及幾何意義 三角形法則：已知向量，在平面上任取一點(diǎn)，作，，則． 考點(diǎn)二　向量的數(shù)乘運(yùn)算及幾何意義 實(shí)數(shù)與向量的乘積是一個(gè)向量，且．當(dāng)時(shí)，與的方向相同；當(dāng)時(shí)，與的方向相反．特別地，向量（）與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使． 考點(diǎn)三　向量共線定理 如果，則；反之，如果，且，則一定存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)使． 考點(diǎn)四　平面向量的基本定理 平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)任一向量有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使，其中是一組基底． 【考試方向】 這類試題在考查題型上，通?；疽赃x擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度中等偏下，有時(shí)也會(huì)與三角函數(shù)、解三角形等知識(shí)交匯． 【技能方法】 （1）將向量表示為另外向量的線性關(guān)系，主要是利用平面向量加減法的幾何意義（三角形法則、平行四邊形法則）結(jié)合平面向量的基本定理來解決； （2）根據(jù)線性關(guān)系求解相關(guān)的參數(shù)及其它問題，解答時(shí)通常是利用平面向量的基本定理結(jié)合待定系數(shù)法建立方程（組）來解決． 【易錯(cuò)指導(dǎo)】 （1）運(yùn)算平面向量的三角法則時(shí)忽視加法運(yùn)算的“首尾相接”的特點(diǎn)，減法運(yùn)算時(shí)忽視所得差向量的方向是指向被減數(shù)的； （2）向量的數(shù)乘運(yùn)算注意實(shí)數(shù)的符號(hào)，即必須注意數(shù)乘向量的方向； （3）利用平面向量的基本定理解決相關(guān)問題，基底的選擇直接決定解題過程的繁雜與簡(jiǎn)化、決定解題的成功與失敗，因此必須重視基底的選擇． V．舉一反三·觸類旁通 考向1　三角形法則與平行四邊形法則的應(yīng)用 【例7】【湖南省四大名校高三3月聯(lián)考】在平行四邊形中, 與交于點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn).若，則（　　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】C 【解析】由向量的平行四邊形法則可得，解得.又因?yàn)?，所以，即，所以，故選C． 【方法總結(jié)】向量的線性運(yùn)算要滿足三角形法則和平行四邊形法則，解題時(shí)，要注意三角形法則與平行四邊形法則的要素．向量加法的三角形法則要素是“首尾相接，指向終點(diǎn)”；向量減法的三角形法則要素是“起點(diǎn)重合，指向被減向量”；平行四邊形法則要素是“起點(diǎn)重合”． 【跟蹤訓(xùn)練】如圖，在直角梯形中，，為邊上的一點(diǎn)，，為中點(diǎn)，則 (　　　) A．　　　　B．　　　C．　　D． 【答案】C 考向2　平面向量基本定理的應(yīng)用 【例8】【20xx學(xué)年遼寧沈陽(yáng)二中高二6月月考】在平行四邊形中 ，與相交于點(diǎn)，若，則（　　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 【答案】C 【解析】因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以可設(shè)，即，同理可設(shè) ，即，所以 ，即，解得，所以，故選C． 【名師點(diǎn)睛】平面向量的基本定理描述了一個(gè)向量在基底的分解上是唯一的，就是這個(gè)唯一性為利用待定系數(shù)法求相關(guān)的參數(shù)提供了理論依據(jù)．待定系數(shù)法與平面向量基本定理結(jié)合在一起解題，通常是要通過建立方程（組）來解決． 【跟蹤訓(xùn)練】在平行四邊形中, 為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若 ,則的值為___________． 【答案】 考向3　共線定理的應(yīng)用 【例9】【20xx山東濱州市二?！吭谥校瑸檫吷系娜我庖稽c(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且滿足，若，則的值為（　　　） A．　　　　B．　　　　C．1　　　　D．4 【答案】A 【解析】因?yàn)?，又因?yàn)?，所? ，由于三點(diǎn)共線，所以，從而的值為，故選A． 【例10】【20xx河南洛陽(yáng)市一中高三下二?！吭谥?，是上的點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為___________. 【答案】 【解析】因?yàn)椋?，即，所以．又因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，所以． 【方法歸納】共線定理描述的是兩個(gè)向量間數(shù)乘關(guān)系，即與共線存在唯一，使，將其延伸后可得到三點(diǎn)共線的條件：在平面中三點(diǎn)共線的充要條件是（為平面內(nèi)任意一點(diǎn)），其中． 【跟蹤訓(xùn)練】已知的重心為，過任做一直線分別交邊于兩點(diǎn)，設(shè)，則的最小值是________． 【答案】 考向4　平面向量線性運(yùn)算與不等式交匯 【例11】（浙江杭州市五校聯(lián)盟一診）在矩形中，，，為矩形內(nèi)一點(diǎn)，且，若，則的最大值為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【方法點(diǎn)睛】平面向量的線性運(yùn)算與不等式的綜合通常體現(xiàn)為表示向量的基底向量的系數(shù)為未知數(shù)，而所求解問題常常以這些未知數(shù)來設(shè)置的不等式問題，解答時(shí)通常從向量開始，利用向量線性運(yùn)算的相關(guān)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，然后利用不等式的相關(guān)知識(shí)求解． 考向5　平面向量線性運(yùn)算與數(shù)列的交匯 【例12】【20xx重慶一中高三下學(xué)期3月月考】如題圖，已知點(diǎn)為的邊上一點(diǎn)，，為邊上的列點(diǎn)，滿足，其中實(shí)數(shù)列中，則的通項(xiàng)公式為（ ） A．　　　 B．　　　　C．　　　D． 【答案】D 【題型點(diǎn)睛】平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)列的綜合通常體現(xiàn)為表示向量的基底向量的系數(shù)為數(shù)列的通項(xiàng)（或前項(xiàng)和）或向量對(duì)應(yīng)的點(diǎn)以數(shù)列形式出現(xiàn)，而所求解問題常常設(shè)置為數(shù)列問題，解答時(shí)通常從向量開始，利用向量線性運(yùn)算的相關(guān)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題，然后利用數(shù)列的相關(guān)知識(shí)求解．