人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料 (本欄目內(nèi)容,在學(xué)生用書中以獨(dú)立形式分冊裝訂！) 一、選擇題(每小題5分,共20分) 1．兩個(gè)球的半徑之比為2∶3,那么這兩個(gè)球的表面積之比為(　　) A．2∶3　　　　　　　　 B．4∶9 C.∶ D．8∶27 解析：　設(shè)兩球的半徑分別為r1,r2,表面積分別為S1,S2, 則＝＝＝.故選B. 答案：　B 2．(2015德陽市中江縣龍臺(tái)中學(xué)高二(上)期中)設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a、a、a,其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,則該球的表面積為(　　) A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2 解析：　根據(jù)題意球的半徑R滿足(2R)2＝6a2, 所以S球＝4πR2＝6πa2,故選B. 答案：　B 3．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,根據(jù)圖中數(shù)據(jù),可得該幾何體的表面積是(　　) A．9π B．10π C．11π D．12π 解析：　由幾何體的三視圖可知此幾何體是圓柱體與球體的組合體,其表面積S＝4πR2＋2πr2＋2πrh,代入數(shù)據(jù)得S＝4π＋2π＋2π3＝12π.故選D. 答案：　D 4．(2015唐山市玉田縣林南倉中學(xué)高二(上)期中)若圓柱的底面直徑和高都與球的直徑相等,圓柱、球的表面積分別記為S1、S2,則S1∶S2等于(　　) A．1∶1 B．2∶1 C．3∶2 D．4∶1 解析：　由題意可得圓柱的底面直徑和高都與球的直徑相等,設(shè)球的半徑為1, 則S1＝6π,S2＝4π. 所以S1∶S2＝3∶2,故選C. 答案：　C 二、填空題(每小題5分,共15分) 5．平面α截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面α的距離為,則此球的體積為________． 解析：　利用截面圓的性質(zhì)先求得球的半徑長． 如圖,設(shè)截面圓的圓心為O′,M為截面圓上任一點(diǎn), 則OO′＝,O′M＝1, ∴OM＝＝, 即球的半徑為, ∴V＝π()3＝4π. 答案：　4π 6．(2015呂梁學(xué)院附中高二(上)月考)若各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的長方體的高為4,底面邊長都為2,則這個(gè)球的表面積是________． 解析：　長方體的體對(duì)角線長為＝2, 球的直徑是2R＝2, 所以R＝, 所以這個(gè)球的表面積S＝4π()2＝24π. 答案：　24π 7．(2015河源市高二(上)期中)湖面上漂著一個(gè)小球,湖水結(jié)冰后將球取出,冰面上留下了一個(gè)直徑為6 cm,深為1 cm的空穴,則該球半徑是________ cm,表面積是________cm2. 解析：　設(shè)球心為O,OC是與冰面垂直的一條球半徑,冰面截球得到的小圓圓心為D,AB為小圓D的一條直徑,設(shè)球的半徑為R,則OD＝R－1, 則(R－1)2＋32＝R2, 解之得R＝5 cm, 所以該球表面積為 S＝4πR2＝4π52＝100π(cm2)． 答案：　5　100π 三、解答題(每小題10分,共20分) 8．如果一個(gè)幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是全等的長方形,邊長分別是4 cm與2 cm,如圖所示,俯視圖是一個(gè)邊長為4 cm的正方形．求該幾何體的外接球的體積． 解析：　由題意可知,該幾何體是長方體,底面是正方形,邊長是4,高是2. 由長方體與球的性質(zhì)可得,長方體的體對(duì)角線是球的直徑,記長方體的體對(duì)角線為d,球的半徑是r, d＝＝＝6(cm),所以球的半徑為r＝3 cm. 因此球的體積V＝πr3＝27π＝36π(cm3), 所以外接球的體積是36π cm3. 9．(2015大同一中高二(上)月考)如圖所示(單位：cm)四邊形ABCD是直角梯形,求圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積和體積． 解析：　S球＝4π22＝8π(cm2), S圓臺(tái)側(cè)＝π(2＋5)＝35π(cm2), S圓臺(tái)下底＝π52＝25π(cm2), 即該幾何體的表面積為 8π＋35π＋25π＝68π(cm2)． 又V圓臺(tái)＝(22＋25＋52)4＝52π(cm3), V半球＝23＝(cm3)． 所以該幾何體的體積為 V圓臺(tái)－V半球＝52π－＝(cm3)．