高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 空間幾何體02 解答題(本大題共6個小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 17．已知，如圖，AB是⊙O的直徑，G為AB延長線上的一點，GCD是⊙O的割線，過點G作AB的垂線，交直線AC于點E，交AD于點F，過G作⊙O的切線，切點為H.求證： (1)C，D，F(xiàn)，E四點共圓； (2)GH2＝GEGF. 【答案】 (1)連接CB， ∵∠ACB＝90，AG⊥FG， 又∵∠EAG＝∠BAC， ∴∠ABC＝∠AEG. ∵∠ADC＝180－∠ABC ＝180－∠AEG＝∠CEF， ∴∠ADC＋∠FDC＝∠CEF＋∠FDC＝180， ∴C，D，F(xiàn)，E四點共圓． (2)由C，D，F(xiàn)，E四點共圓，知∠GCE＝∠AFE，∠GEC＝∠GDF， ∴△GCE∽△GFD， 故＝，即GCGD＝GEGF. ∵GH為圓的切線，GCD為割線， ∴GH2＝GCGD，∴GH2＝GEGF. 18．如圖，在四梭錐P -ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,AD =2，AB＝1.點M線段PD的中點． (I）若PA＝2，證明：平面ABM ⊥平面PCD； (II）設(shè)BM與平面PCD所成的角為θ，當棱錐的高變化時，求sinθ的最大值． 【答案】 (Ⅰ)∵平面，. ∵點M為線段PD的中點，PA= AD =2，. 又∵平面，. 平面. 又平面， ∴平面⊥平面. (Ⅱ)設(shè)點B到平面PCD的距離為. ∵AB∥CD, ∴AB∥平面PCD. ∴點B到平面PCD的距離與點A到平面PCD的距離相等. 過點A在平面PAD內(nèi)作AN⊥PD于N, 平面⊥平面，平面. 所以AN就是點A到平面PCD的距離. 設(shè)棱錐的高為，則AN=. 在△中，. . 因為，當且僅當，即時，等號成立. 故. 19．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90，2AC＝AA1＝BC＝2． (1）若D為AA1中點，求證：平面B1CD⊥平面B1C1D； (2）當AD的長等于多少時？二面角B1－DC－C1的大小為60． 【答案】(1）∵∠A1C1B1＝∠ACB＝90，∴B1C1⊥A1C1． 又由直三棱柱性質(zhì)知B1C1⊥CC1，∴B1C1⊥平面ACC1A1． ∴B1C1⊥CD． ① 由D為中點可知，，∴DC2＋DC12＝CC12，即CD⊥DC1．② 由①②可知CD⊥平面B1C1D，又平面B1CD，故平面B1CD⊥平面B1C1D． (2）由（1）可知B1C1⊥平面ACC1A1，在平面ACC1A1內(nèi)過C1作C1E⊥平面CD，交CD或延長線于E，連接EB1． 由三垂線定理可知∠B1EC1為二面角B1－DC－C1的平面角，∴∠B1EC1＝60． 由B1C1＝2，知，設(shè)AD＝x，則． ∵△DCC1的面積為1，∴，解得，即． 20．如圖，已知是平面的一條斜線，為斜足，為垂足，為內(nèi)的一條直線，，求斜線和平面所成角 【答案】∵，由斜線和平面所成角的定義可知，為和所成角， 又∵， ∴， ∴，即斜線和平面所成角為． 21．如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，是的中點，是的中點，點在直線上，且滿足． (1）當取何值時，直線與平面所成的角最大？ (2）若平面與平面所成的二面角為，試確定點的位置． 【答案】(1）以AB,AC,分別為軸，建立空間直角坐標系， 則， 平面ABC的一個法向量為則 (*） 于是問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，而當最大時，最大，所以當時， . (2）已知給出了平面PMN與平面ABC所成的二面角為，即可得到平面ABC的一個法向量為 ，設(shè)平面PMN的一個法向量為，. 由得 ，解得. 令于是由 ， 解得的延長線上，且. 22．已知A(1 , -2 , 11) , B(4 , 2 , 3) ,C(6 , -1 , 4) , 求證: ABC是直角三角形. 【答案】證明: 為直角三角形.