高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第80練 高考大題突破練——概率 1．(20xx·天津)某小組共10人，利用假期參加義工活動(dòng)．已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì)． (1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率； (2)設(shè)X為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量X的分布列和均值． 2．(20xx·全國(guó)甲卷)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位：元)，繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下： 上年度出 險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 保費(fèi) 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下： 一年內(nèi)出 險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 (1)求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率； (2)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率； (3)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值． 3.巴西奧運(yùn)會(huì)的周邊商品有80%左右為“中國(guó)制造”，所有的廠家都是經(jīng)過層層篩選才能獲此殊榮．甲、乙兩廠生產(chǎn)同一產(chǎn)品，為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，以確定這一產(chǎn)品最終的供貨商，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共98件中分別抽取9件和5件，測(cè)量產(chǎn)品中的微量元素的含量(單位：毫克)．下表是從乙廠抽取的5件產(chǎn)品的測(cè)量數(shù)據(jù)： 編號(hào) 1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y 75 80 77 70 81 (1)求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量； (2)當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x、y滿足：x≥175，且y≥75時(shí)，該產(chǎn)品為優(yōu)等品．用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量； (3)從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)ξ的分布列及均值． 4．某公司對(duì)新招聘的員工張某進(jìn)行綜合能力測(cè)試，共設(shè)置了A、B、C三個(gè)測(cè)試項(xiàng)目，假定張某通過項(xiàng)目A的概率為，通過項(xiàng)目B、C的概率均為a(0<a<1)，且這三個(gè)測(cè)試項(xiàng)目能否通過相互獨(dú)立． (1)用隨機(jī)變量X表示張某在測(cè)試中通過的項(xiàng)目個(gè)數(shù)，求X的分布列和均值E(X)(用a表示)； (2)若張某通過一個(gè)項(xiàng)目的概率最大，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 答案精析 1．解　(1)由已知，有P(A)＝＝. 所以事件A發(fā)生的概率為. (2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 P 隨機(jī)變量X的均值E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. 2．解　(1)設(shè)A表示事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”，則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1，故P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55. (2)設(shè)B表示事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%”，則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3， 故P(B)＝0.1＋0.05＝0.15. 又P(AB)＝P(B)，故P(B|A)＝＝＝＝. 因此所求概率為. (3)記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為X，則X的分布列為 X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 E(X)＝0.85a×0.30＋a×0.15＋1.25a×0.20＋1.5a×0.20＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.23a. 因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為1.23. 3．解　(1)乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為98×＝35. (2)樣品中優(yōu)等品的頻率為，乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量為35×＝14. (3)ξ＝0,1,2. P(ξ＝i)＝(i＝0,1,2)， ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P 均值E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 4．解　(1)隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3. P(X＝0)＝(1－)C(1－a)2＝(1－a)2； P(X＝1)＝C(1－a)2＋(1－)Ca(1－a)＝(1－a2)； P(X＝2)＝Ca(1－a)＋(1－)Ca2＝(2a－a2)； P(X＝3)＝Ca2＝a2， 從而X的分布列為 X 0 1 2 3 P (1－a)2 (1－a2) (2a－a2) X的均值為 E(X)＝0×(1－a)2＋1×(1－a2)＋2×(2a－a2)＋3×＝. (2)P(X＝1)－P(X＝0)＝[(1－a2)－(1－a)2]＝a(1－a)， P(X＝1)－P(X＝2)＝[(1－a2)－(2a－a2)]＝， P(X＝1)－P(X＝3)＝[(1－a2)－a2]＝， 由和0<a<1， 得0<a≤，即a的取值范圍是(0，]．