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1、 人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料 課時(shí)提升作業(yè)(十六) 平面與平面垂直的性質(zhì) (25分鐘　60分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.平面α⊥平面β,直線a∥α,則　(　　) A.a⊥β　　　　　　　　　 B.a∥β C.a與β相交 D.以上都有可能 【解析】選D.因?yàn)閍∥α,平面α⊥平面β,所以直線a與β垂直、相交、平行都有可能. 2.已知三個(gè)平面α,β,γ,若β⊥γ,且α與γ相交但不垂直,則　(　　) A.存在a?α,a⊥γ B.存在a?α,a∥γ C.任意b?β,b⊥γ D.任意b?β,b∥γ　 【解析】選B.因?yàn)槿齻€(gè)平面α,β,γ,

2、若β⊥γ,且α與γ相交但不垂直,則可知存在a?α,a∥γ. 3.已知直線m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n?α,要使n⊥β,則應(yīng)增加的條件是　(　　) A.m∥n B.n⊥m C.n∥α D.n⊥α 【解析】選B.已知直線m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n?α,應(yīng)增加的條件n⊥m,才能使得n⊥β. 4.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,點(diǎn)A∈α,Al,直線AB∥l,直線AC⊥l,直線m∥α,m∥β,則下列四種位置關(guān)系中,不一定成立的是　(　　) A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥β D.AC⊥β 【解析】選D.如圖,AB

3、∥l∥m,AC⊥l,m∥l?AC⊥m,AB∥l?AB∥β. 5.(2015鄭州高一檢測)已知平面α,β,γ,則下列命題中正確的是　(　　) A.α⊥β,β⊥γ,則α∥γ B.α∥β,β⊥γ,則α⊥γ C.α∩β=a,β∩γ=b,α⊥β,β⊥γ,則a⊥b D.α⊥β,α∩β=a,a⊥b,則b⊥α 【解析】選B.A中α,γ可以相交;C中如圖:a與b不一定垂直;D中b僅垂直于α的一條直線a,不能判定b⊥α. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.平面α⊥平面β,α∩β=l,n?β,n⊥l,直線m⊥α,則直線m與n的位置關(guān)系是　　　　. 【解析】因?yàn)棣痢挺?α∩β=l,n?

4、β,n⊥l,所以n⊥α.又m⊥α,所以m∥n. 答案:平行 7.(2015太原高一檢測)已知平面α,β,γ,直線l,m滿足:α⊥γ,γ∩α=m,γ∩β=l,l⊥m,那么①m⊥β;②l⊥α;③β⊥γ;④α⊥β.由上述條件可推出的結(jié)論有　　　　.(請將你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號都填上) 【解析】因?yàn)棣谩搔?l,所以l?γ,因?yàn)棣痢挺?γ∩α=m,l⊥m, 所以l⊥α,又l?β,所以α⊥β.由于β可以繞l轉(zhuǎn)動(dòng),位置不定,所以m⊥β和β⊥γ不一定成立.即②④正確,①③錯(cuò)誤. 答案:②④ 【誤區(qū)警示】應(yīng)用面面垂直定理時(shí),注意三點(diǎn) (1)兩個(gè)平面垂直是前提條件. (2)直線必須在其中一個(gè)平面內(nèi)

5、. (3)直線必須垂直于它們的交線. 8.(2015大同高一檢測)如圖,空間四邊形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD, ∠BAD=90,且AB=AD,則AD與平面BCD所成的角是　　　　. 【解析】過A作AO⊥BD于O點(diǎn), 因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD, 所以AO⊥平面BCD,則∠ADO即為AD與平面BCD所成的角. 因?yàn)椤螧AD=90,AB=AD,所以∠ADO=45. 答案:45 三、解答題(每小題10分,共20分) 9.(2015臨沂高一檢測)如圖所示,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是矩形,側(cè)面SDC⊥底面ABCD,求證:平面SCD⊥平面SBC. 【證明】

6、因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形,所以BC⊥CD. 又平面SDC⊥平面ABCD, 平面SDC∩平面ABCD=CD,BC?平面ABCD, 所以BC⊥平面SCD. 又因?yàn)锽C?平面SBC, 所以平面SCD⊥平面SBC. 【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,α⊥β,α∩β=l,AB?α,AB⊥l,BC?β,DE?β,BC⊥DE.求證:AC⊥DE. 【證明】因?yàn)棣痢挺?α∩β=l,AB?α,AB⊥l,所以AB⊥β. 因?yàn)镈E?β,所以AB⊥DE. 因?yàn)锽C⊥DE,AB∩BC=B, 所以DE⊥平面ABC. 因?yàn)锳C?平面ABC,所以AC⊥DE. 10.如圖,已知平面α⊥平面β,在α與β的交線上取線段AB

7、=4cm,AC,BD分別在平面α和平面β內(nèi),它們都垂直于交線AB,并且AC=3cm,BD=12cm,求CD的長. 【解析】連接BC.因?yàn)棣痢挺?α∩β=AB,BD⊥AB, 所以BD⊥平面α. 因?yàn)锽C?α,所以BD⊥BC, 在Rt△BAC中, BC=AC2+AB2=32+42=5, 在Rt△DBC中,CD=BC2+BD2=52+122=13, 所以CD長為13cm. 【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知在四棱錐S-ABCD中,SD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB=AD=1,SD=2,BC⊥BD,AD⊥AB,E為棱SB上的一點(diǎn),平面EDC⊥平面SBC. 證明:(1)DE⊥平面SBC.(2)

8、SE=2EB. 【證明】(1)如圖,因?yàn)镾D⊥平面ABCD, 故BC⊥SD,又BC⊥BD, 所以BC⊥平面BDS,所以BC⊥DE. 作BK⊥EC,K為垂足,由平面EDC⊥平面SBC,平面EDC∩平面SBC=EC,故BK⊥平面EDC. 又DE?平面EDC,所以BK⊥DE. 又因?yàn)锽K?平面SBC,BC?平面SBC,BK∩BC=B, 所以DE⊥平面SBC. (2)由(1)知DE⊥SB,DB=AD2+BA2=2, 所以SB=SD2+DB2=22+2=6. 在直角三角形SDB中, 由等積法知SDDB=SBDE, 所以DE=SDDBSB=233. EB=DB2-DE2=

9、63,SE=SB-EB=263. 所以SE=2EB. (20分鐘　40分) 一、選擇題(每小題5分,共10分) 1.如圖所示,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB與兩平面α,β所成的角分別為π4和π6.過A,B分別作兩平面交線的垂線,垂足分別為A′、B′,則AB∶A′B′等于　 (　　) A.2∶1　　　 B.3∶1　　　 C.3∶2　　　 D.4∶3 【解析】選A.如圖,由已知得AA′⊥β,∠ABA′=π6,BB′⊥α,∠BAB′=π4,設(shè)AB=a,則BA′=32a,BB′=22a,在Rt△BA′B′中,A′B′=12a,所以ABAB=21. 2.(2015聊城

10、高一檢測)如圖所示,三棱錐P-ABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,點(diǎn)P,A,B是定點(diǎn),則動(dòng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)形成的圖形是　(　　) A.一條線段 B.一條直線 C.一個(gè)圓 D.一個(gè)圓,但要去掉兩個(gè)點(diǎn) 【解析】選D.因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC?平面PAC,且平面PAC∩平面PBC=PC,所以AC⊥平面PBC. 又因?yàn)锽C?平面PBC,所以AC⊥BC,所以∠ACB=90,所以動(dòng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)形成的圖形是以AB為直徑的圓,除去A和B兩點(diǎn). 二、填空題(每小題5分,共10分) 3.(2015安慶高一檢測)α,β是兩個(gè)不同的平面,m,n是平面α及β之外的兩

11、條不同的直線,給出四個(gè)論斷: ①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α. 以其中三個(gè)論斷作為條件,余下一個(gè)論斷作為結(jié)論,寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題:　　　　　　　　　. 【解析】利用面面垂直的判定,可知①③④?②為真;利用面面垂直的性質(zhì),可知②③④?①為真.所以應(yīng)填“若①③④則②”,或“若②③④則①”. 答案:若①③④則②(或若②③④則①) 4.(2015合肥高一檢測)如圖,平行四邊形ABCD中,AB⊥BD,沿BD將△ABD折起,使平面ABD⊥平面BCD,連接AC,則在四面體ABCD的四個(gè)面中,互相垂直的平面的對數(shù)為　　　　. 【解析】因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD, 平面ABD∩平

12、面BCD=BD,AB⊥BD, 所以AB⊥平面BCD. 所以平面ABC⊥平面BCD, 因?yàn)锳B⊥BD,AB∥CD,所以CD⊥BD. 又因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD, 所以CD⊥平面ABD, 所以平面ACD⊥平面ABD,共3對. 答案:3 【延伸拓展】在垂直的判定定理和性質(zhì)定理中,有很多限制條件,如“相交直線”“線在面內(nèi)”“平面經(jīng)過一直線”等.這些條件一方面有很強(qiáng)的約束性,另一方面又為證明指出了方向.在利用定理時(shí),既要注意定理的嚴(yán)謹(jǐn)性,又要注意推理的規(guī)律性. 三、解答題(每小題10分,共20分) 5.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,側(cè)棱PA⊥PD,底面

13、ABCD是直角梯形,其中BC∥AD,∠BAD=90,AD=3BC,O是AD上一點(diǎn). (1)若CD∥平面PBO,試指出點(diǎn)O的位置. (2)求證:平面PAB⊥平面PCD. 【解析】(1)因?yàn)镃D∥平面PBO,CD?平面ABCD, 且平面ABCD∩平面PBO=BO, 所以BO∥CD. 又BC∥AD,所以四邊形BCDO為平行四邊形. 則BC=DO,而AD=3BC, 所以AD=3OD,即點(diǎn)O是靠近點(diǎn)D的線段AD上的一個(gè)三等分點(diǎn). (2)因?yàn)閭?cè)面PAD⊥底面ABCD,側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD,AB?底面ABCD,且AB⊥AD, 所以AB⊥平面PAD. 又PD?平面PAD,所

14、以AB⊥PD. 又PA⊥PD,且PA?平面PAB,AB?平面PAB,AB∩PA=A,所以PD⊥平面PAB. 又PD?平面PCD,所以平面PAB⊥平面PCD. 6.如圖,已知V是△ABC所在平面外一點(diǎn),VB⊥平面ABC,平面VAB⊥平面VAC,求證:△ABC是直角三角形. 【證明】過B作BD⊥VA于D, 因?yàn)槠矫鎂AB⊥平面VAC,所以BD⊥平面VAC, 所以BD⊥AC,又因?yàn)閂B⊥平面ABC,所以VB⊥AC, VB∩BD=B, 所以AC⊥平面VAB,所以AC⊥BA, 即△ABC是直角三角形. 【拓展延伸】垂直關(guān)系的知識總結(jié) 線面垂直的關(guān)鍵,定義來證最常見; 判定定理也常用,它的意義要記清; 平面之內(nèi)兩直線,兩線交于一個(gè)點(diǎn); 面外還有一條線,垂直兩線是條件. 面面垂直要證好,原有圖中去尋找; 若是這樣還不好,輔助線面是個(gè)寶. 先作交線的垂線,面面轉(zhuǎn)為線和面; 再證一步線和線,面面垂直即可見. 借助輔助線和面,加的時(shí)候不能亂; 以某性質(zhì)為基礎(chǔ),不能主觀憑臆斷. 判斷線和面垂直,線垂面中兩交線. 兩線垂直同一面,相互平行共伸展. 兩面垂直同一線,一面平行另一面. 要讓面和面垂直,面過另面一垂線. 面面垂直成直角,線面垂直記心間. 關(guān)閉Word文檔返回原板塊