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華東師范大學(xué)出版社九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)[共18頁]

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1、 華師大版九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 第二十六章 二次函數(shù) 一、二次函數(shù)概念: 1、二次函數(shù)的概念:一般地,形如(是常數(shù),)的函數(shù),叫做二次函數(shù)。 這里需要強(qiáng)調(diào):和一元二次方程類似,二次項(xiàng)系數(shù),而可以為零。二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)。 2、二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征: ⑴ 等號(hào)左邊是函數(shù),右邊是關(guān)于自變量的二次式,的最高次數(shù)是2。 ⑵ 是常數(shù),是二次項(xiàng)系數(shù),是一次項(xiàng)系數(shù),是常數(shù)項(xiàng)。 二、二次函數(shù)的基本形式 1. 二次函數(shù)基本形式:的性質(zhì):a 的絕對(duì)值越大,拋物線的開口越小。 的符號(hào) 開口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì)稱軸 性質(zhì) 向上 軸 時(shí),隨

2、的增大而增大; 時(shí),隨的增大而減?。? 時(shí),有最小值。 向下 軸 時(shí),隨的增大而減?。? 時(shí),隨的增大而增大; 時(shí),有最大值。 2. 的性質(zhì): 的符號(hào) 開口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì)稱軸 性質(zhì) 向上 軸 時(shí),隨的增大而增大; 時(shí),隨的增大而減??; 時(shí),有最小值。 向下 軸 時(shí),隨的增大而減??; 時(shí),隨的增大而增大; 時(shí),有最大值。 3. 的性質(zhì): 的符號(hào) 開口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì)稱軸 性質(zhì) 向上 X=h 時(shí),隨的增大而增大; 時(shí),隨的增大而減?。? 時(shí),有最小值。

3、向下 X=h 時(shí),隨的增大而減?。? 時(shí),隨的增大而增大; 時(shí),有最大值。 4. 的性質(zhì): 的符號(hào) 開口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì)稱軸 性質(zhì) 向上 X=h 時(shí),隨的增大而增大;時(shí),隨的增大而減??;時(shí),有最小值。 向下 X=h 時(shí),隨的增大而減??;時(shí),隨的增大而增大;時(shí),有最大值。 三、二次函數(shù)圖象的平移 1. 平移步驟: 方法一:⑴ 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式,確定其頂點(diǎn)坐標(biāo); ⑵ 保持拋物線的形狀不變,將其頂點(diǎn)平移到處,具體平移方法如下: 2. 平

4、移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移,負(fù)左移;值正上移,負(fù)下移”。 概括成八個(gè)字“左加右減,上加下減”。 方法二: ⑴沿軸平移:向上(下)平移個(gè)單位, 變成(或) ⑵沿軸平移:向左(右)平移個(gè)單位, 變成(或) 四、二次函數(shù)與的比較 從解析式上看,與是兩種不同的表達(dá)形式,后者通過配方可以得到前者,即,其中。 五、二次函數(shù)圖象的畫法 五點(diǎn)繪圖法:利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式,確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo),然后在對(duì)稱軸兩側(cè),左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為:頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn),(若與軸沒有交點(diǎn),則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸

5、對(duì)稱的點(diǎn)). 畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn):開口方向,對(duì)稱軸,頂點(diǎn),與軸的交點(diǎn),與軸的交點(diǎn). 六、二次函數(shù)的性質(zhì) 1. 當(dāng)時(shí),拋物線開口向上,對(duì)稱軸為,頂點(diǎn)坐標(biāo)為。 當(dāng)時(shí),隨的增大而減??;當(dāng)時(shí),隨的增大而增大;當(dāng)時(shí),有最小值。 2. 當(dāng)時(shí),拋物線開口向下,對(duì)稱軸為,頂點(diǎn)坐標(biāo)為。當(dāng)時(shí),隨的增大而增大;當(dāng)時(shí),隨的增大而減?。划?dāng)時(shí),有最大值。 七、二次函數(shù)解析式的表示方法 1. 一般式:(,,為常數(shù),); 2. 頂點(diǎn)式:(,,為常數(shù),); 3. 兩根式:(,,是拋物線與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)). 注意:任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式,但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式

6、,只有拋物線與軸有交點(diǎn),即時(shí),拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示。二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化. 八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系 1. 二次項(xiàng)系數(shù) 二次函數(shù)中,作為二次項(xiàng)系數(shù),顯然。 ⑴ 當(dāng)時(shí),拋物線開口向上,的值越大,開口越小,反之的值越小,開口越大; ⑵ 當(dāng)時(shí),拋物線開口向下,的值越小,開口越小,反之的值越大,開口越大。 總結(jié)起來,決定了拋物線開口的大小和方向,的正負(fù)決定開口方向,的大小決定開口的大小。 2. 一次項(xiàng)系數(shù) 在二次項(xiàng)系數(shù)確定的前提下,決定了拋物線的對(duì)稱軸。 ⑴ 在的前提下, 當(dāng)時(shí),,即拋物線的對(duì)稱軸在軸左側(cè);

7、 當(dāng)時(shí),,即拋物線的對(duì)稱軸就是軸; 當(dāng)時(shí),,即拋物線對(duì)稱軸在軸的右側(cè)。 ⑵ 在的前提下,結(jié)論剛好與上述相反,即 當(dāng)時(shí),,即拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè); 當(dāng)時(shí),,即拋物線的對(duì)稱軸就是軸; 當(dāng)時(shí),,即拋物線對(duì)稱軸在軸的左側(cè)。 總結(jié)起來,在確定的前提下,決定了拋物線對(duì)稱軸的位置。 的符號(hào)的判定:對(duì)稱軸在軸左邊則,在軸的右側(cè)則,概括的說就是“左同右異” 總結(jié): 3. 常數(shù)項(xiàng) ⑴ 當(dāng)時(shí),拋物線與軸的交點(diǎn)在軸上方,即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正; ⑵ 當(dāng)時(shí),拋物線與軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為; ⑶ 當(dāng)時(shí),拋物線與軸的交點(diǎn)在軸下方,即

8、拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)。 總結(jié)起來,決定了拋物線與軸交點(diǎn)的位置。 總之,只要都確定,那么這條拋物線就是唯一確定的。 二次函數(shù)解析式的確定: 根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式,通常利用待定系數(shù)法。用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn),選擇適當(dāng)?shù)男问?,才能使解題簡(jiǎn)便。一般來說,有如下幾種情況: 1. 已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo),一般選用一般式; 2. 已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大(?。┲?,一般選用頂點(diǎn)式; 3. 已知拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo),一般選用兩根式; 4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn),常選用頂點(diǎn)式。 九、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱 二次函數(shù)圖

9、象的對(duì)稱一般有五種情況,可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá) 1. 關(guān)于軸對(duì)稱 關(guān)于軸對(duì)稱后,得到的解析式是; 關(guān)于軸對(duì)稱后,得到的解析式是; 2. 關(guān)于軸對(duì)稱 關(guān)于軸對(duì)稱后,得到的解析式是; 關(guān)于軸對(duì)稱后,得到的解析式是; 3. 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式是; 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式是; 4. 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(即:拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180) 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式是; 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式是。 5. 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式是 根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì),顯然無論作

10、何種對(duì)稱變換,拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化,因此永遠(yuǎn)不變。求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí),可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則,選擇合適的形式,習(xí)慣上是先確定原拋物線(或表達(dá)式已知的拋物線)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向,再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向,然后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式。 十、二次函數(shù)與一元二次方程: 1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系(二次函數(shù)與軸交點(diǎn)情況): 一元二次方程是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)值時(shí)的特殊情況. 圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù): ① 當(dāng)時(shí),圖象與軸交于兩點(diǎn),其中的是一元二次方程的兩根。這兩點(diǎn)間的距離. ② 當(dāng)時(shí),圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn); ③ 當(dāng)時(shí),圖象與軸沒有交點(diǎn). 當(dāng)

11、時(shí),圖象落在軸的上方,無論為任何實(shí)數(shù),都有; 當(dāng)時(shí),圖象落在軸的下方,無論為任何實(shí)數(shù),都有。 2. 拋物線的圖象與軸一定相交,交點(diǎn)坐標(biāo)為,; 3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié): ⑴ 求二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo),需轉(zhuǎn)化為一元二次方程; ⑵ 求二次函數(shù)的最大(?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式; ⑶ 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中,,的符號(hào),或由二次函數(shù)中,,的符號(hào)判斷圖象的位置,要數(shù)形結(jié)合; ⑷ 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,可利用這一性質(zhì),求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo),或已知與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo). ⑸ 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式

12、,二次三項(xiàng)式本身就是所含字母的二次函數(shù);下面以時(shí)為例,揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系: 拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn) 二次三項(xiàng)式的值可正、可零、可負(fù) 一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根 拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn) 二次三項(xiàng)式的值為非負(fù) 一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 拋物線與軸無交點(diǎn) 二次三項(xiàng)式的值恒為正 一元二次方程無實(shí)數(shù)根. 二次函數(shù)圖像參考: 十一、函數(shù)的應(yīng)用 二次函數(shù)應(yīng)用 第二十七章:《圓》 一、知識(shí)回顧 圓的周長(zhǎng): C=2πr或C=πd、圓的面積:S=πr 圓環(huán)面積計(jì)算方

13、法:S=πR-πr或S=π(R-r)(R是大圓半徑,r是小圓半徑) 二、知識(shí)要點(diǎn) 一、圓的概念 集合形式的概念: 1、 圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合; 2、圓的外部:可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合; 3、圓的內(nèi)部:可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合 軌跡形式的概念: 1、圓:到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心,定長(zhǎng)為半徑的圓; 固定的端點(diǎn)O為圓心。連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦,經(jīng)過圓心的弦叫直徑。圓上任意兩點(diǎn)之間的部分叫做圓弧,簡(jiǎn)稱弧。 2、垂直平分線:到線段兩端距離相等的點(diǎn)

14、的軌跡是這條線段的垂直平分線; 3、角的平分線:到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線; 4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是:平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長(zhǎng)的兩條直線; 5、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是:平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。 二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 1、點(diǎn)在圓內(nèi) 點(diǎn)在圓內(nèi); 2、點(diǎn)在圓上 點(diǎn)在圓上; 3、點(diǎn)在圓外 點(diǎn)在圓外; 三、直線與圓的位置關(guān)系 1、直線與圓相離 無交點(diǎn); 2、直線與圓相切 有一個(gè)交點(diǎn); 3、直線與圓相交 有兩個(gè)交點(diǎn); 四、圓與圓的位置關(guān)系 外離(圖1

15、) 無交點(diǎn) ; 外切(圖2) 有一個(gè)交點(diǎn) ; 相交(圖3) 有兩個(gè)交點(diǎn) ; 內(nèi)切(圖4) 有一個(gè)交點(diǎn) ; 內(nèi)含(圖5) 無交點(diǎn) ; 五、垂徑定理 垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。 推論1:(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧; (2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分弦所對(duì)的兩條?。? (3)平分弦所對(duì)的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧 以上共4個(gè)

16、定理,簡(jiǎn)稱2推3定理:此定理中共5個(gè)結(jié)論中,只要知道其中2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論,即: ①是直徑 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧 中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。 推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 即:在⊙中,∵∥ ∴弧弧 六、圓心角定理 頂點(diǎn)到圓心的角,叫圓心角。 圓心角定理:同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弦相等,所對(duì)的弧相等,弦心距相等。 此定理也稱1推3定理,即上述四個(gè)結(jié)論中, 只要知道其中的1個(gè)相等,則可以推出其它的3個(gè)結(jié)論, 即:①;②; ③;④ 弧弧 七、圓周角定理 頂點(diǎn)在圓上,

17、并且兩邊都與圓相交的角,叫圓周角。 1、圓周角定理:同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半。 即:∵和是弧所對(duì)的圓心角和圓周角 ∴ 2、圓周角定理的推論: 推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對(duì)的弧是等?。? 即:在⊙中,∵、都是所對(duì)的圓周角 ∴ 推論2:半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角;圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓,所對(duì)的弦是直徑。 即:在⊙中,∵是直徑 或∵ ∴ ∴是直徑 推論3:若三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個(gè)三角形是直角三角

18、形。 即:在△中,∵ ∴△是直角三角形或 注:此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論:在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。 八、圓內(nèi)接四邊形 圓的內(nèi)接四邊形定理:圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ),外角等于它的內(nèi)對(duì)角。 即:在⊙中, ∵四邊形是內(nèi)接四邊形 ∴ 九、切線的性質(zhì)與判定定理 (1)切線的判定定理:過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線; 兩個(gè)條件:過半徑外端且垂直半徑,二者缺一不可

19、即:∵且過半徑外端 ∴是⊙的切線 (2)性質(zhì)定理:切線垂直于過切點(diǎn)的半徑(如上圖) 推論1:過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。 推論2:過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。 以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理: 即:①過圓心;②過切點(diǎn);③垂直切線,三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。 十、切線長(zhǎng)定理 切線長(zhǎng)定理: 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng)相等,這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。 即:∵、是的兩條切線 ∴ 平分 十一、圓冪定

20、理 (1)相交弦定理:圓內(nèi)兩弦相交,交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。 即:在⊙中,∵弦、相交于點(diǎn), ∴ (2)推論:如果弦與直徑垂直相交,那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。 即:在⊙中,∵直徑, ∴ (3)切割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線,切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。 即:在⊙中,∵是切線,是割線 ∴ (4)割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線,這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等(如上圖)。 即:在⊙中,∵、是割線

21、 ∴ 十二、兩圓公共弦定理 圓公共弦定理:兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個(gè)圓的的公共弦。 如圖:垂直平分。 即:∵⊙、⊙相交于、兩點(diǎn) ∴垂直平分 十三、圓的公切線 兩圓公切線長(zhǎng)的計(jì)算公式: (1)公切線長(zhǎng):中,; (2)外公切線長(zhǎng):是半徑之差; 內(nèi)公切線長(zhǎng):是半徑之和 。 十四、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算 (1)正三角形 在⊙中△是正三角形,有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行:; (2)正四邊形 同理,四邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行,: (3)正六邊形 同理,六邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行,. 十五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式 1、扇形:

22、(1)弧長(zhǎng)公式:; (2)扇形面積公式: :圓心角 :扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑 :扇形弧長(zhǎng) :扇形面積 2、圓柱: (1)A圓柱側(cè)面展開圖 = B圓柱的體積: (2)A圓錐側(cè)面展開圖 = B圓錐的體積: 第二十八章 樣本與總體 二.重點(diǎn)、難點(diǎn): 1.重點(diǎn): ⑴了解普查與抽樣調(diào)查的概念,并能根據(jù)實(shí)際情況確定收集數(shù)據(jù)的方式; ⑵了解總體、個(gè)體、樣本等概念,能夠指出研究對(duì)象的總體、個(gè)體與樣本; ⑶學(xué)會(huì)用科學(xué)的隨機(jī)抽樣的方法,選取合適的樣本進(jìn)行抽樣調(diào)查,用樣本估計(jì)總體; ⑷通過整理和分析數(shù)據(jù),準(zhǔn)確地作出決

23、策。 2.難點(diǎn): ⑴正確識(shí)別問題中的總體、個(gè)體、樣本、樣本容量等,并能選擇合適的樣本看總體; ⑵能夠?qū)?shù)據(jù)的來源,處理數(shù)據(jù)的方法,以及由此得到的結(jié)果進(jìn)行合理的分析。 三.知識(shí)梳理: 知識(shí)點(diǎn) 內(nèi)容關(guān)注 注意事項(xiàng) 總體、個(gè)體、樣本、樣本容量 總體是考察對(duì)象的主體,個(gè)體是組成總體的每一個(gè)對(duì)象,樣本是總體中的一部分個(gè)體,樣本容量是樣本包含的個(gè)體數(shù)量 樣本容量是一個(gè)樣本中個(gè)體的數(shù)量 普查與抽樣調(diào)查 普查是對(duì)所有對(duì)象進(jìn)行調(diào)查,抽樣調(diào)查是對(duì)部分對(duì)象進(jìn)行調(diào)查 普查與抽樣調(diào)查的范圍不同 簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣 使樣本具有代表性,不偏向總體中的某些個(gè)體,對(duì)每個(gè)個(gè)體都公平的方法,就是用抽簽的方

24、法決定個(gè)體進(jìn)入樣本 簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣對(duì)總體中每個(gè)個(gè)體來說,被抽到的機(jī)會(huì)是均等的 隨機(jī)性 在抽樣前,不能預(yù)測(cè)哪些個(gè)體會(huì)被抽中,這種不能事先預(yù)測(cè)結(jié)果的特性稱為隨機(jī)性 隨機(jī)性是抽取樣本具有代表性的重要保障 抽樣調(diào)查的可靠性 用隨機(jī)抽樣的方法獲取樣本,且樣本容量合適時(shí),由樣本得出的特性會(huì)更接近總體的特性 ⑴樣本在總體中需有代表性; ⑵樣本容量應(yīng)該足夠大; ⑶樣本要避免遺漏某一個(gè)群體 借助調(diào)查作決策 通過媒體收集信息,將信息進(jìn)行全面、科學(xué)地分析 分析角度不同,得到的結(jié)論也會(huì)不同 容易誤導(dǎo)決策的統(tǒng)計(jì)圖 媒體中數(shù)據(jù)很多,有許多有用的信息,但信息不一定可靠,要全面分析 考慮信息的時(shí)效性、可靠性和代表性 19

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