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專題51 利用三角函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)值(解析版)

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1、 專題51 利用三角函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)值 一、單選題 1.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】 由計算出的取值范圍,可得出,再由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減可得出關(guān)于的等式,由此可解得實數(shù)的值. 【詳解】 ,當時,, 由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則, 所以,, 由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以,函數(shù)在處取得最大值, 則,又,所以,,解得. 故選:C. 【點睛】 關(guān)鍵點點睛:本題通過正弦型函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)值,解題的就是將函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為兩個區(qū)間的包含關(guān)系,并且分析出函數(shù)的一個最大值點,進而列

2、出關(guān)于的等式求解. 2.已知函數(shù)的最小正周期為,若,且,則的最大值為( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】 由三角恒等變換化簡解析式,結(jié)合周期求出解析式,由得出,,從而結(jié)合求出且,再由余弦函數(shù)的性質(zhì)得出的最大值、的最小值,從而得出的最大值. 【詳解】 函數(shù)的最小正周期為 若,則 故且 故的最大值為,的最小值為 即的最大值為,的最小值為 則的最大值為 故選:C. 3.已知函數(shù),函數(shù)有三個零點,則的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】 根據(jù)題意做出函數(shù)在定義域內(nèi)的圖像,將函數(shù)零點轉(zhuǎn)化成函數(shù)與函數(shù)圖像交點

3、問題,結(jié)合圖形即可求解. 【詳解】 解:根據(jù)題意畫出函數(shù)的圖象,如圖所示: 函數(shù)有三個零點,等價于函數(shù)與函數(shù)有三個交點, 當直線位于直線與直線之間時,符合題意, 由圖象可知:,, 所以, 故選:D. 【點睛】 根據(jù)函數(shù)零點的情況求參數(shù)有三種常用方法: (1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)范圍; (2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決; (3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解. 4.如果函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,那么的最小值為( ) A. B. C.

4、D. 【答案】A 【分析】 利用余弦函數(shù)的對稱軸以及整體思想可得:的表達式,進而得到的最小值. 【詳解】 由題意函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱, 則有 解得 =kπ,k∈Z, 所以由此得|min. 故選:A. 【點睛】 方法點睛:求正余弦函數(shù)的對稱軸及對稱中心一般利用整體思想求解 5.已知函數(shù)()的圖象與直線的相鄰兩個交點距離等于,則的圖象的一條對稱軸是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】 首先化簡函數(shù),根據(jù)條件確定函數(shù)的周期,求,再求函數(shù)的對稱軸. 【詳解】 , ,由題意可知,, , 令,解得:, 當時,. 故選:D 6.

5、已知函數(shù)在內(nèi)有且僅有1個最大值點和3個零點,則的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】 先用輔助角公式整理得到,利用的范圍,求出的范圍,利用已知條件列出方程組即可求出的取值范圍. 【詳解】 , , , 則的取值范圍是. 故選:B. 7.、是函數(shù)的圖象與軸的兩個交點,且、兩點間距離的最小值為,則的值為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】 根據(jù)已知條件求出函數(shù)的最小正周期,進而可得出,即可得解. 【詳解】 由題意可知,函數(shù)的最小正周期滿足,,因此,. 故選:B. 8.已知兩點,是函數(shù)與軸的兩個交點,且兩點A

6、,B間距離的最小值為,則的值為( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【分析】 由已知得,解之可得選項. 【詳解】 設(shè)函數(shù)的最小正周期為T,則由已知得,解得, 故選:B. 9.將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位后得到函數(shù),若為偶函數(shù),則的最小值為( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】 利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的解析式為一個角的一個三角函數(shù)的形式,通過平移求出平移后的函數(shù)的解析式,利用偶函數(shù)求出的值. 【詳解】 函數(shù), 將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位后,得到函數(shù), 因為函數(shù)是偶函數(shù), . 當時,. 故選:A 【點睛

7、】 結(jié)論點睛:函數(shù)是偶函數(shù)時,當函數(shù)是奇函數(shù)時, 10.若函數(shù)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為,且該函數(shù)圖象關(guān)于點成中心對稱,,則等于( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】 由已知條件求得函數(shù)的最小正周期,可求得的值,再由已知可得,結(jié)合可求得的值. 【詳解】 由題意可知,函數(shù)的最小正周期滿足,,, , 由于函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱,則,解得, 由于,解得. 故選:A. 【點睛】 結(jié)論點睛:利用正弦型函數(shù)的對稱性求參數(shù),可利用以下原則來進行: (1)函數(shù)關(guān)于直線對稱; (2)函數(shù)關(guān)于點對稱. 11.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后,得到的

8、圖象,若函數(shù)在上單調(diào)遞減,則正數(shù)的最大值為( ) A. B.1 C. D. 【答案】A 【分析】 先根據(jù)圖象變換得到的解析式,根據(jù)可得此函數(shù)單調(diào)減區(qū)間的一般形式,根據(jù)其在上的單調(diào)性可求正數(shù)的范圍,故可得正確的選項. 【詳解】 ,故, 令,故, 故存在,使得, 故即,解得,故正數(shù)的最大值為. 故選:A. 【點睛】 方法點睛:含參數(shù)的正弦型函數(shù),若已知其在某區(qū)間上的單調(diào)性,求參數(shù)的取值范圍時,一般先求出單調(diào)區(qū)間的一般形式,再根據(jù)包含關(guān)系可求參數(shù)的取值范圍. 12.已知函數(shù)在區(qū)間有三個零點、、,且,若,則的最小正周期為( ) A. B. C. D. 【答案】

9、C 【分析】 利用正弦函數(shù)的對稱性可得出,,再由可得出的值,由此可求得函數(shù)的最小正周期. 【詳解】 當時,, 函數(shù)的對稱軸方程為, 令,可得,因為,可得或. 由于函數(shù)在區(qū)間有三個零點、、,且, 由對稱性可得、滿足,可得, 由對稱性可得、滿足,可得, 所以,,解得, 因此,函數(shù)的最小正周期為. 故選:C. 【點睛】 關(guān)鍵點點睛:本題考查正弦型函數(shù)周期的求解,解題的關(guān)鍵利用對稱性得出,,再結(jié)合已知條件求出的值,即可得解. 13.已知函數(shù),,為圖象的一個對稱中心.現(xiàn)給出以下四種說法:①;②;③函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;④函數(shù)的最小正周期為.則上述說法正確的序號為( )

10、 A.①④ B.③④ C.①②④ D.①③④ 【答案】D 【分析】 根據(jù),代入數(shù)據(jù),結(jié)合的范圍,即可求得的值,即可判斷①的正誤;根據(jù)對稱中心為,代入公式,可解得的表達式,結(jié)合的范圍,即可判斷②的正誤;根據(jù)解析式,結(jié)合x的范圍,即可驗證③的正誤;根據(jù)正切函數(shù)的周期公式,即可判斷④的正誤,即可得答案. 【詳解】 對于①:由知,即,結(jié)合,解得.故①正確; 對于②:因為為圖象的一個對稱中心,故,解得,因為,所以,故②錯誤; 對于③:當時,,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,故③正確; 對于④:因為,所以的最小正周期,故④正確. 綜上,正確的序號為①③④. 故選:D. 14.已知函數(shù)(,)

11、的圖象與軸的兩個交點的最短距離為.若將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,得到的新函數(shù)圖象關(guān)于中心對稱,則( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】 由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律,三角函數(shù)的圖象的對稱性,求得的可能取值. 【詳解】 設(shè)函數(shù),與軸的兩個交點坐標為, ,,不妨設(shè), 當時,, 若將函數(shù)的圖象向左平移個單位,得到的圖象. 得到的新函數(shù)圖象關(guān)于中心對稱,,, 則可以等于, 故選:D. 15.若、是小于180的正整數(shù),且滿足.則滿足條件的數(shù)對共有( ) A.2對 B.6對 C.8對 D.12對 【答案】A 【分析】 根據(jù)、是小于180的正整

12、數(shù),確定,,結(jié)合正弦函數(shù)圖像,分和兩種情況討論即可. 【詳解】 解:、,所以,,結(jié)合觀察正弦函數(shù)的圖像, 滿足的只可能以下兩種情況: (1)時, 或, 所以或. (2)時,同樣有,此時,但, 則,所以此時沒有滿足題意的整數(shù)對; 綜合(1)(2),滿足題意的有2對. 故選:A 【點睛】 思路點睛:一般情況下,滿足的有無數(shù)對,由于本題的特殊性,,這是本題的難點. 16.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則( ) A., B., C. D.3 【答案】C 【分析】 由題意知,當時,函數(shù)取得最大值,可求得,.再由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得出不等式組,解之可得選

13、項. 【詳解】 由題意知,當時,函數(shù)取得最大值,所以,.得,. 因為在區(qū)間上遞增,在上遞減,所以且, 解得.因此. 故選:C. 17.已知,是函數(shù)(,)相鄰的兩個零點,若函數(shù)在上的最大值為1,則的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】 先利用三角函數(shù)的性質(zhì)得到,再根據(jù)已知零點得到,然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于的不等式,求解即可得到結(jié)果. 【詳解】 設(shè)函數(shù)的最小正周期為,由題意可得,則,所以, 所以,則.令,則,,即, 又,所以,所以. 因為函數(shù)在上的最大值為1,且,如圖. 當時,,所以, 所以. 故選:C 【點睛】

14、關(guān)鍵點睛:本題考查根據(jù)正弦型函數(shù)的最大值求參數(shù),解答本題的關(guān)鍵是,是函數(shù)的兩個相鄰的零點求出,再作出函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象分析定義域的區(qū)間,屬于中檔題. 18.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),則的一個可能取值為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】 由條件可得,然后可得答案. 【詳解】 因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),所以 所以,即 故選:B 19.已知函數(shù)的圖象既關(guān)于點中心對稱,又關(guān)于直線對稱,且函數(shù)在上的零點不超過2個,現(xiàn)有如下三個數(shù)據(jù):①;②;③,則其中符合條件的數(shù)據(jù)個數(shù)為( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【分析】 根據(jù)對稱中

15、心和對稱軸可求出 的集合,再根據(jù)的范圍和零點的個數(shù),可確定滿足條件的的值,最后選擇符合條件的的個數(shù). 【詳解】 由題意得,,,兩式相加得, 又因為,代入中, 得.當時,記, 令,得, 則,至多有2個實數(shù)根, ,解得, 結(jié)合, 觀察可知,符合條件. 故選:B. 【點睛】 三角函數(shù)的對稱中心為,則. 三角函數(shù)的對稱軸為,則. 20.已知點在函數(shù)(且,)的圖象上,直線是函數(shù)的圖象的一條對稱軸.若在區(qū)間內(nèi)單調(diào),則( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】 先根據(jù)函數(shù)的對稱軸、對稱中心及單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)周期的范圍,從而得出的取值范圍,得出的所有取值,然

16、后一一驗證即可. 【詳解】 由題意得,,得,得,又因為在區(qū)間內(nèi)單調(diào),所以,得,得.所以.又因為,所以或3. 當時,,得,又,所以,此時直線的函數(shù)的圖象的一條對稱軸,且在區(qū)間內(nèi)單調(diào).所以. 當時,,得,又,所以, 此時,所以直線不是函數(shù)的圖象的一條對稱軸.所以,. 故選:B. 【點睛】 考查根據(jù)三角函數(shù)的圖像性質(zhì)問題求參,難度較大,解答時要注意以下幾點: (1)三角函數(shù)圖象上,對稱中心與對稱軸之間的距離大于或等于周期; (2)若函數(shù)或在區(qū)間上單調(diào),則. 21.將函數(shù)向左至少平移多少個單位,使得到的圖像關(guān)于軸對稱( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】

17、 設(shè)函數(shù)向左平移個單位,得,根據(jù)計算出最小正數(shù)即可. 【詳解】 解:設(shè)函數(shù)向左平移個單位, 得, 因為其關(guān)于軸對稱, 則, 解得, 當時,取最小正數(shù). 即將函數(shù)向左至少平移個單位,使得到的圖像關(guān)于軸對稱. 故選:B. 【點睛】 本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)圖像的平移,是基礎(chǔ)題. 22.已知函數(shù),將的圖象向左平移a()個單位長度可以得到一個奇函數(shù)的圖象,將的圖象向右平移b()個單位長度可以得到一個偶函數(shù)的圖象,則的最小值等于( ) A.0 B. C. D. 【答案】A 【分析】 先整理函數(shù),再根據(jù)平移后函數(shù)的奇偶性得到a,b的值,即可得結(jié)果. 【詳解】

18、 解:函數(shù), 函數(shù)的圖象向左平移a個單位得到,又因為函數(shù)為奇函數(shù),則(),整理得(); 函數(shù)的圖象向右平移b個單位得到,由于得到的函數(shù)的圖象為偶函數(shù),,; 當時, 故選:A. 【點睛】 本題考查了三角函數(shù)的平移變換和奇偶性,屬于中檔題. 二、多選題 23.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度,所得的圖象經(jīng)過點,且在上為增函數(shù),則取值可能為( ) A.2 B.4 C.5 D.6 【答案】ABD 【分析】 由圖象向右平移個單位長度可得,由圖象經(jīng)過點可得,即得,再由在上為增函數(shù),可得,即可求解. 【詳解】 將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可得: 因為所得的圖象經(jīng)過點

19、,所以即, 所以,解得, 因為在上為增函數(shù),所以 即, 所以時,;時,;時,; 所以取值可能為, 故選:ABD 【點睛】 關(guān)鍵點點睛:本題的解題關(guān)鍵在于整體代入法的靈活應(yīng)用,涉及零點的整體代入和單調(diào)區(qū)間的整體代入才能突破難點. 24.已知函數(shù)的圖像的一個對稱中心為,其中,則以下結(jié)論正確的是( ) A.函數(shù)的最小正周期為 B.將函數(shù)的圖像向左平移所得圖像關(guān)于原點對稱 C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.函數(shù)在區(qū)間上有6個零點 【答案】AC 【分析】 根據(jù)條件求出,然后利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)逐一判斷即可. 【詳解】 由函數(shù)的圖像的一個對稱中心為,得, 因為,所

20、以,,則 所以周期,故A正確; 將函數(shù)的圖像向左平移,得, 顯然的圖像不關(guān)于原點對稱,故B錯誤; 當時,,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,故C正確 由,得,解得由,,得, 因為,所以,所以函數(shù)在區(qū)間上有7個零點,故D錯誤 故選:AC 25.已知函數(shù),則下列結(jié)論正確的是( ) A.的最小正周期為 B.的圖象關(guān)于直線對稱 C.在單調(diào)遞增 D.的最小值為 【答案】ABD 【分析】 由正弦函數(shù)的周期公式可判斷A;代入得函數(shù)有最小值,可判斷B;由得,可判斷C;根據(jù)三角恒等變換可判斷D. 【詳解】 ∵的周期為,故A正確; ∵時,,此時有最小值,圖象關(guān)于對稱,B正確; ∵時,,

21、∴在上不單調(diào),C錯誤; ∵,故D正確. 故選:ABD. 【點睛】 本題考查正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、對稱性、以及最值,屬于基礎(chǔ)題. 26.函數(shù)的最大值為,其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為,且的圖象關(guān)于點對稱,則下列判斷正確的是( ) A.函數(shù)在上單調(diào)遞增 B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 C.當時,函數(shù)的最小值為 D.要得到函數(shù)的圖象,只需要將的圖象向右平移個單位 【答案】AD 【分析】 由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得,再由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可判斷A、B、C;由三角函數(shù)圖象的變換及誘導(dǎo)公式可判斷D. 【詳解】 由函數(shù)的最大值為2可得,, 因為函數(shù)的圖象相鄰兩條對稱軸

22、之間的距離為, 所以函數(shù)的最小正周期滿足, 所以,, 又的圖象關(guān)于點對稱,所以即, 所以,, 當時,, 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,故A正確; 當時,, 所以直線不是函數(shù)圖象的對稱軸,故B錯誤; 當時,,,故C錯誤; 將的圖象向右平移個單位可得的函數(shù)為: , 故D正確. 故選:AD. 【點睛】 關(guān)鍵點點睛:解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),細心計算即可得解. 三、解答題 27.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的圖象如圖所示. (1)求函數(shù)y=f(x)的解析式; (2)當時,求函數(shù)y=f(x)的值域; (3)若

23、關(guān)于x的方程3?[f(x)]2+mf(x)﹣1=0在上有三個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)m的取值范圍. 【答案】(1)f(x)=sin(2x+);(2)[,1];(3)﹣2<m≤. 【分析】 (1)根據(jù)圖象得出振幅和周期,求出ω=2,利用特殊值求出φ的取值; (2)利用整體代入法求解值域; (3)根據(jù)(2)結(jié)合二次方程根的分布相關(guān)知識即可得解. 【詳解】 (1)∵由函數(shù)圖象可得:A=1,周期T=4(﹣)=,解得:ω=2, 又∵點(,0)在函數(shù)圖象上,可得:sin(2×+φ)=0, ∴解得:φ=kπ,k∈Z,結(jié)合0<φ<π,可得φ=, ∴f(x)=sin(2x+). (

24、2)∵, ∴2x+∈ , ∴sin(2x+)∈[,1], 即函數(shù)f(x)的值域為:[,1]. (3)要使方程有三個不相等的根,需要2個根在[,1],另一個根在[﹣,)上, 令t=f(x),g(t)=3t2+mt﹣1, 則有: g(1)=3+m﹣1>0; g()=; g(﹣)=; 從而解得:﹣2<m≤-. 28.已知向量,,函數(shù). (1)若,當時,求的值域; (2)若為偶函數(shù),求方程在區(qū)間上的解. 【答案】(1);(2). 【分析】 (1)將化為,然后可得答案; (2)由為偶函數(shù)可求出,然后可得答案. 【詳解】 (1) 當, 由 所以的值域為 (2

25、)若為偶函數(shù),則恒成立 即成立,整理得 所以由得 又 29.若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求的取值范圍. 【答案】 【分析】 先利用輔助角公式化簡得,再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出的單調(diào)遞增區(qū)間,即可求解. 【詳解】 , 令, 解得:, 令,得 可得在單調(diào)遞增, 若上單調(diào)遞增, 則, 所以的取值范圍是 故答案為: 【點睛】 關(guān)鍵點點睛:本題的關(guān)鍵點是解得,求出的單調(diào)遞增區(qū)間,可得在單調(diào)遞增,進而可得. 30.的內(nèi)角的對邊分別為,已知函數(shù)一條對稱軸為,且. (1)求的值; (2)若,求的面積最大值. 【答案】(1);(2). 【分析】 (1)利用對稱軸可求得,得

26、到解析式,利用可求得結(jié)果; (2)利用余弦定理和基本不等式可求得最大值,代入三角形面積公式可求得結(jié)果. 【詳解】 (1)是的對稱軸,,解得:, 又,,,, ,,,解得:. (2)由余弦定理得:(當且僅當時取等號), (當且僅當時取等號), ,即面積的最大值為. 【點睛】 方法點睛:已知一邊及一邊所對角求解三角形面積最大值的問題,可利用余弦定理構(gòu)造方程,利用基本不等式即可求得所需的兩邊之積的最大值,代入三角形面積公式即可求得結(jié)果. 31.已知函數(shù)滿足下列3個條件中的2個條件:①函數(shù)的周期為π;②是函數(shù)的對稱軸;③且在區(qū)間上單調(diào); (Ⅰ)請指出這二個條件并說明理由,求出函數(shù)

27、的解析式; (Ⅱ)若,求函數(shù)的最值. 【答案】(Ⅰ)①②成立,理由見解析,;(Ⅱ)的最大值為1;最小值為. 【分析】 (Ⅰ)依次討論①②成立,①③成立,②③成立,計算得到只有①②成立,得到答案. (Ⅱ)得到,得到函數(shù)值域,即可得出最值. 【詳解】 (Ⅰ)由①可得,. 由②得:,. 由③得,, 若①②成立,則,,. 若①③成立,則,,不合題意. 若②③成立,則,與③中的矛盾,所以②③不成立. 所以,只有①②成立,. (Ⅱ)由題意得,. 所以,當時,函數(shù)取得最大值1; 當或時,函數(shù)取得最小值. 32.已知函數(shù)的最小正周期為. (

28、1)求的值及的值域; (2)若,. 求的值. 【答案】(1),的值域為;(2). 【分析】 (1)由函數(shù)的最小正周期可求得的值,求得,結(jié)合的取值范圍可求得的值域; (2)求得,利用二倍角的正、余弦公式以及弦化切思想可求得的值. 【詳解】 (1)由于函數(shù)的最小正周期為,則, ,, ,,所以,; (2),可得, ,所以,. 【點睛】 求函數(shù)在區(qū)間上值域的一般步驟: 第一步:三角函數(shù)式的化簡,一般化成形如的形式或的形式. 第二步:由的取值范圍確定的取值范圍,再確定(或)的取值范圍; 第三步:求出所求函數(shù)的值域(或最值). 33.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的

29、圖象. (1)若為偶函數(shù),求的值; (2)若在上是單調(diào)函數(shù),求φ的取值范圍. 【答案】(1)0;(2). 【分析】 (1)首先化簡解析式,然后求得左移個單位后函數(shù)的解析式,根據(jù)的奇偶性求得的值,進而求得的值. (2)根據(jù)(1)中求得的,求得的取值范圍,根據(jù)的取值范圍,求得的取值范圍,根據(jù)在上是單調(diào)函數(shù),以及正弦型函數(shù)的單調(diào)性列不等式,解不等式求得的取值范圍. 【詳解】 (1) ∵ ∴ 又為偶函數(shù),則,∵,∴ . ∴ . (2)∵,∴, ∵,∴,, ∵在上是單調(diào)函數(shù),∴且 ∴ 【點睛】 本小題主要考查三角恒等變換,考查根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性求參數(shù),考查三角函數(shù)圖

30、像變換,考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間有關(guān)問題的求解,考查運算求解能力,屬于中檔題. 四、填空題 34.已知函數(shù),對,成立,則_______. 【答案】1 【分析】 利用輔助角公式和為的形式:,根據(jù)已知可得是f(x)的圖象的對稱軸,進而求得,利用的關(guān)系和誘導(dǎo)公式求得的值. 【詳解】 解:, 其中. ∵對,成立, ∴是f(x)的圖象的對稱軸,即, ∴, , 故答案為:1. 【點睛】 本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),涉及輔助角公式化簡三角函數(shù),利用輔助角化簡是前提,理解的關(guān)系是基礎(chǔ),由對,成立,得出是f(x)的圖象的對稱軸是關(guān)鍵. 35.已知函數(shù),若函數(shù)恰有3個零點,分別為

31、,則的值為________. 【答案】 【分析】 令,則,通過正弦函數(shù)的對稱軸方程,求出函數(shù)的對稱軸方程分別為和,結(jié)合圖像可知,,從而求得,,進而求得的值. 【詳解】 令,則 函數(shù)恰有3零點,等價于的圖像與直線恰有3個交點,即與直線恰有3個交點,設(shè)為,如圖 函數(shù),的圖像取得最值有2個t值,分別為和,由正弦函數(shù)圖像的對稱性可得,即 ,即, 故 , 故答案為:. 【點睛】 方法點睛:已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法: (1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通過解不等式確定參數(shù)范圍; (2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加

32、以解決; (3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,進而構(gòu)造兩個函數(shù),然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解. 36.設(shè),,若對任意成立,則下列命題中正確的命題是______.(填序號) ①;②;③不具有奇偶性;④的單調(diào)增區(qū)間是;⑤可能存在經(jīng)過點的直線與函數(shù)的圖象不相交. 【答案】①③ 【分析】 由題可知,直線與函數(shù)的圖象的一條對稱軸,可求得,可化簡函數(shù)的解析式為.計算出的值,可判斷①的正誤;計算、,可判斷②的正誤;利用特殊值法可判斷③的正誤;取,利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷④的正誤;假設(shè)命題⑤正確,求出直線的方程,結(jié)合函數(shù)的最值可判斷⑤的正誤. 【詳解】 由題

33、可知,直線與函數(shù)的圖象的一條對稱軸, 可得,整理可得,即,. . 對于命題①,,①正確; 對于命題②,, ,所以,,②不正確; 對于命題③,,, 則且,所以,函數(shù)不具有奇偶性,③正確; 對于命題④,當時,則, 當時,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,④錯誤; 對于命題⑤,假設(shè)經(jīng)過點的直線與函數(shù)的圖象不相交, 則該直線與軸平行,此時該直線的方程為,則,由于,矛盾,⑤錯誤. 故答案為:①③. 【點睛】 關(guān)鍵點點睛:本題考查正弦型函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、三角函數(shù)值的計算,解題的關(guān)鍵就是從分析得出直線與函數(shù)的圖象的一條對稱軸,進而借助輔助角公式化簡得出、的倍數(shù)關(guān)系. 37.已知函數(shù)的圖

34、象關(guān)于原點對稱,且在區(qū)間上是減函數(shù),則的取值范圍為______. 【答案】 【分析】 由函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱可得,再由在區(qū)間上是增函數(shù),可得,解不等式即可. 【詳解】 由函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,得, 即,因為在區(qū)間上是減函數(shù), 所以在區(qū)間上是增函數(shù), 又是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間, 所以,又,解得. 故答案為: 38.已知函數(shù),若在區(qū)間上是增函數(shù),則的取值范圍是________. 【答案】 【分析】 由已知得,列不等式求解. 【詳解】 因為函數(shù),且在區(qū)間上是增函數(shù), 所以, 所以,解得. 故答案為:. 39.已知曲線關(guān)于對稱,則的最小值為______. 【答

35、案】 【分析】 由題意可得,解得:,,進而即可求解的最小值. 【詳解】 解:因為曲線關(guān)于對稱,所以, 可得,,解得:,,則的最小值為. 故答案為:. 五、雙空題 40.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,若對任意成立,則實數(shù)的最小值為_____.此時,函數(shù)在區(qū)間上的圖象與直線所圍成的封閉圖形的面積為______. 【答案】 【分析】 先將函數(shù)化簡為,由平移得到的解析式,對任意成立,即函數(shù)的對稱軸為,可求出的最小值,然后用割補的方法,可得圖形的面積. 【詳解】 由圖象向左平移個單位長度. 則得到. 所以. 由若對任意成立,則函數(shù)的對稱軸為. 得,所以, 則的最小值為; 此時,由對稱性可知,如圖. 即右邊陰影部分的面積等于左邊的面積. 所求面積即為直線以及圍成矩形面積,即為. 故答案為:. , 【點睛】 本題考查三角函數(shù)圖像的平移變換和對稱性,屬于中檔題.

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