《專題58 三角恒等變化與平面向量結(jié)合問題(解析版)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《專題58 三角恒等變化與平面向量結(jié)合問題(解析版)（44頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 專題58 三角恒等變化與平面向量結(jié)合問題 一、單選題 1．已知將向量繞起點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到向量，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先求出與軸正方向的夾角為，即可得與軸正方向的夾角為， 再利用向量坐標(biāo)的定義即可求解. 【詳解】 設(shè)的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，與軸正方向的夾角為， 由可得，所有， 設(shè)與軸正方向的夾角為，則且 因?yàn)椋? ， 故， 故選：C. 2．已知向量，，其中，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和輔助角公式可求得，利用正弦型函數(shù)值域的求解方法可求得結(jié)果. 【詳

2、解】 ， ，，，. 故選：A. 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛：求解正弦型函數(shù)值域的步驟如下： （1）利用的范圍求得整體的范圍； （2）將看作一個(gè)整體，對(duì)應(yīng)正弦函數(shù)圖象求得的值域； （3）代入函數(shù)，得到所求函數(shù)的值域. 3．定義運(yùn)算，，，若，，則平面區(qū)域的面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 先證明兩個(gè)恒等式和成立，再利用已知條件計(jì)算得到的取值范圍，進(jìn)而得到的限定，最后利用線性規(guī)劃作圖計(jì)算面積即可. 【詳解】 因?yàn)椋渲校?，故，所以. 又易證，即. 依題意， ，則，故或， 因?yàn)椋?，再根?jù)余弦函數(shù)特征得 ①或② 利用線性規(guī)劃作圖如下，知

3、②式無解， ， 由圖①計(jì)算面積得. 故選：B. 【點(diǎn)睛】 本題考查了三角恒等變換的綜合應(yīng)用、三角函數(shù)和線性規(guī)劃問題，屬于難題. 4．已知為橢圓上任意一點(diǎn)，，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則的最小值為（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】 設(shè)出的坐標(biāo)，利用距離公式轉(zhuǎn)化求解的表達(dá)式，利用三角函數(shù)的最值求解的最小值. 【詳解】 解：由題意：橢圓，設(shè)，，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，. ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào). 即的最小值為1. 故選：D. 【點(diǎn)睛】 本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，三角函數(shù)的最值的求法，考查分析問題解決問題的能力.屬中檔題， 5．已知向量，

4、，則函數(shù)在上的所有零點(diǎn)之和為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合兩角和差公式化簡(jiǎn)函數(shù)式，在上求所得函數(shù)的零點(diǎn)，進(jìn)而求零點(diǎn)之和. 【詳解】 ， 令，則， ∵，則有， ∴或，解得或. 故選：A 【點(diǎn)睛】 本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及運(yùn)算，應(yīng)用三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)求零點(diǎn)之和. 6．已知向量，，將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位后，得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和輔助角公式可得，向左平移個(gè)單位，得到，從而有，，再結(jié)合，

5、即可得解. 【詳解】 ， 將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到， 該函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，該函數(shù)是奇函數(shù)， ，，，， 又，. 故選：D. 【點(diǎn)睛】 本題考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、輔助角公式和三角函數(shù)的圖象變換，屬于中檔題. 7．已知向量，，設(shè)函數(shù)，下列關(guān)于函數(shù)的描述正確的是（ ） A．關(guān)于直線對(duì)稱 B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 C．相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為 D．在上是增函數(shù) 【答案】C 【分析】 利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算和三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定求解. 【詳解】 因?yàn)橄蛄浚? 所以， ， ，故A錯(cuò)誤； ，故B錯(cuò)誤；

6、 因?yàn)椋?，故C正確； ，，故D錯(cuò)誤； 故選：C 【點(diǎn)睛】 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，還考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔題. 二、解答題 8．設(shè)，，其中. （1）求的最值及取最值時(shí)對(duì)應(yīng)的x值. （2）當(dāng)時(shí)，求x的值. 【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為1，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值為；（2）. 【分析】 （1）根據(jù)，，利用數(shù)量積運(yùn)算和二倍角公式以及輔助角法，將函數(shù)化簡(jiǎn)為，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解. （2）由得到，則，然后由求解 【詳解】 （1）∵，， ∴， ， . ∵， ∴， 當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值為1，

7、當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值為. （2）當(dāng)時(shí)，， 所以， ∵， ∴即時(shí)，， 即當(dāng)時(shí)，x的值為. 9．如圖所示，、分別是單位圓與軸、軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在單位圓上，，點(diǎn)坐標(biāo)為，平行四邊形的面積為. （1）求的最大值； （2）若，求. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由三角函數(shù)的定義得出點(diǎn)，計(jì)算出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角恒等變換思想結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及平行四邊形的面積公式可得出關(guān)于的表達(dá)式，利用正弦函數(shù)的有界性可得出的最大值； （2）由以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得出關(guān)于、的方程組，結(jié)合可求得、的值，利用二倍角的正弦、余弦公式以及兩角差的正弦公式可求得的值.

8、 【詳解】 （1）由已知，得、、， 因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危? 所以. 又平行四邊形的面積為， 所以. 又，則， 所以當(dāng)時(shí)，的最大值為； （2）由題意，知，， 因?yàn)椋茫? 又，結(jié)合得，， ，， 所以. 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛：求函數(shù)在區(qū)間上值域的一般步驟： 第一步：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，一般化成形如的形式或的形式； 第二步：由的取值范圍確定的取值范圍，再確定（或)的取值范圍； 第三步：求出所求函數(shù)的值域（或最值）. 10．設(shè)向量，，． （1）若，求的值； （2）設(shè)函數(shù)，求的最大值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）先求出，，結(jié)合已知條件，即

9、可求出的值；（2）先利用平面向量的數(shù)量積公式，二倍角公式以及輔助角公式得到，利用的范圍即可求出的最大值． 【詳解】 （1）由， ，及， 得，又，從而，所以． （2）， 當(dāng)時(shí)，， ∴當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最大值， 所以的最大值為． 11．已知平面向量，，設(shè)函數(shù). （Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期； （Ⅱ）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【分析】 （Ⅰ）先利用平面向量的數(shù)量積公式代入，再利用三角恒等變換化簡(jiǎn)整理，最后利用周期求法求解即可；（Ⅱ）利用整體代入的思想求出，再求出函數(shù)的范圍，結(jié)合已知條件列出不等式即可得出結(jié)論. 【詳解】 （Ⅰ）因?yàn)椋?

10、所以， ， ， ， 所以， 所以的最小正周期為； （Ⅱ）因?yàn)椋? 所以， 所以， 由不等式恒成立， 得， 解得， 故所求實(shí)數(shù)的取值范圍為. 【點(diǎn)睛】 思路點(diǎn)睛：先運(yùn)用平面向量的數(shù)量積公式代入求解，再利用兩角和與差的正弦公式以及二倍角公式化簡(jiǎn)整理，再利用周期公式，和整體代入思想求解值域，解不等式即可. 12．向量，，函數(shù)． （1）求函數(shù)的最小值，并求出取最小值時(shí)x的值； （2）先將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，再將橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得函數(shù) 的圖像，求的單減區(qū)間． 【答案】（1），此時(shí)，；（2），. 【分析】 （1）利用向量數(shù)量積公式，再利用降冪公式

11、和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再求函數(shù)的最小值及其的值；（2）利用圖象變換規(guī)律，求函數(shù)的解析式，再求函數(shù)的單減區(qū)間. 【詳解】 （1） ， 函數(shù)的最小值是-2，當(dāng)，解得：，； （2）函數(shù)向左平移個(gè)單位后得到，再將橫坐標(biāo)縮短為原來的后得到函數(shù)， 令，解得：，， 所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，. 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的圖象變換，以及的性質(zhì)，屬于中檔題型，的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（或縮短）到原來的倍，得到函數(shù)的解析式是，若向右（或左）平移（）個(gè)單位，得到函數(shù)的解析式是或. 13．已知向量，，設(shè)函數(shù). （1）求函數(shù)取得最大值時(shí)取值的集合； （2）設(shè)A，B，C為銳角三角形ABC的三

12、個(gè)內(nèi)角，若，，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）利用三角函數(shù)公式和平面向量數(shù)量積對(duì)函數(shù)簡(jiǎn)化，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)取得最大值時(shí)取值的集合； （2）根據(jù)已知條件求得的B，C大小，然后利用展開即可求解. 【詳解】 （1） ， 要使函數(shù)取得最大值，需要滿足取得最小值， 所以，所以， 所以當(dāng)取得最大值時(shí)取值的集合為， （2）因?yàn)锳，B，C為銳角三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角， 所以， 由，得， 因?yàn)樗裕獾茫? 所以 所以. 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是熟記兩角和差的正弦余弦公式，輔助角公式，誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系，向量的數(shù)量積

13、的坐標(biāo)表示，注意三角形是銳角三角形以確定角的范圍. 14．已知函數(shù)，，其中，. （1）求的單調(diào)減區(qū)間. （2）在中，，，求的面積. 【答案】（1），；（2）. 【分析】 （1）代入數(shù)量積公式，計(jì)算，化簡(jiǎn)可得，然后利用整體法列不等式求解的遞減區(qū)間即可；（2）化簡(jiǎn)，可得，然后利用，計(jì)算得，代入三角形面積公式即可得. 【詳解】 （1）因?yàn)?，? 所以 ， 由，解得：，. 故的單調(diào)減區(qū)間為：，. （2）因?yàn)樵谥校?，所以? 由，，即，因?yàn)椋? 所以，即， 所以， 故中的面積為. 【點(diǎn)睛】 三角函數(shù)解析式的化簡(jiǎn)運(yùn)算需要注意，首先是利用誘導(dǎo)公式或者和差公式將解析式化簡(jiǎn)為同角

14、，接著利用降冪公式進(jìn)行降次處理，然后利用輔助角公式進(jìn)行合一，即可得最終三角函數(shù)的形式. 15．已知向量，，且. （1）求及； （2）求函數(shù)的最值以及對(duì)應(yīng)的值. 【答案】（1）；；（2）時(shí)，最小值為；當(dāng)或時(shí)，最大值為. 【分析】 （1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式求解，再利用和差角公式化簡(jiǎn)即可，利用求解； （2）根據(jù)（1）的結(jié)果，列出的解析式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值. 【詳解】 解：（1） ∵，∴. （2） ∵，∴. ∴當(dāng)，即時(shí)，取最小值為； 當(dāng)或1，即或時(shí)，取最大值為. 【點(diǎn)睛】 本題以向量為載體，考查三角恒等變換、三角函數(shù)的綜合應(yīng)用題目，一般解答的思路

15、為： 通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算構(gòu)建出三角函數(shù)的表達(dá)式，然后運(yùn)用和差角公式、二倍角公式對(duì)表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，通常將解析式整理成的形式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象性質(zhì)分析處理相關(guān)問題，當(dāng)解析式為同名三角函數(shù)的二次三項(xiàng)式時(shí)，也可換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)處理. 16．已知向量，. （1）求的最大值及取得最大值時(shí)的取值集合； （2）在中，分別是角的對(duì)邊，若且，求面積的最大值. 【答案】（1）最大值為，；（2）. 【分析】 （1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及三角變換公式化簡(jiǎn)得，根據(jù)正弦函數(shù)的最值可得結(jié)果； （2）根據(jù)求出，根據(jù)余弦定理得到，從而可求出面積的最大值. 【詳解】 （1）， ， ∴的最大

16、值為， 此時(shí)，即， ∴； （2）∵，∴，， ∵，∴， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立， 所以，∴， 所以面積的最大值. 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（1）問的關(guān)鍵是正確求出的解析式，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及三角變換公式可得的解析式，第（2）問的關(guān)鍵是得到的最大值，根據(jù)余弦定理和不等式知識(shí)可得. 17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量而 （1）若，求的值； （2）若與的夾角為，求的取值范圍. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由平面向量垂直的坐標(biāo)表示可得，即可得解； （2）由平面向量夾角的坐標(biāo)表示及三角恒等變換可得，再結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解. 【詳解】

17、 （1），， ，， 由可得； （2）由題意，， ，，， ，. 18．已知向量，，函數(shù)，，. （1）當(dāng)時(shí)，求的值； （2）若的最小值為，求實(shí)數(shù)的值； （3）是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)，有四個(gè)不同的零點(diǎn)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，. 【分析】 （1）利用向量數(shù)量積的公式化簡(jiǎn)函數(shù)即可； （2）求出函數(shù)的表達(dá)式，利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)的最值性質(zhì)進(jìn)行討論求解即可； （3）由得到方程的根，利用三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可. 【詳解】 解：（1）， 當(dāng)時(shí)，， 則； （2）∵， ∴， 則， 令，則， 則，對(duì)稱軸

18、， ① 當(dāng)，即時(shí)， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，此時(shí)最小值，得(舍)， ② 當(dāng)，即時(shí)， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，此時(shí)最小值，得， ③ 當(dāng)，即時(shí)， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，此時(shí)最小值，得(舍)， 綜上若的最小值為，則實(shí)數(shù)； （3）令，得或， ∴方程或在上有四個(gè)不同的實(shí)根， 則，得，則， 即實(shí)數(shù)的取值范圍是. 【點(diǎn)睛】 本題主要考三角函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)以及復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，有一定的難度. 19．已知向量，且函數(shù)的兩條對(duì)稱軸之間的最小距離為. （1）若方程恰好在有兩個(gè)不同實(shí)根，，求實(shí)數(shù)的取值范圍. （2）設(shè)函數(shù)，且，求實(shí)數(shù)的值. 【答案】（1）；（2

19、）. 【分析】 首先利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及二倍角正弦、余弦公式，求出，再根據(jù)周期可得. （1）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在區(qū)間上的最值，由即可求解. （2）首先求得，分類討論，當(dāng)時(shí)或當(dāng)時(shí)，利用函數(shù)的單調(diào)性求出的最值，根據(jù)集合相等列方程組即可求解. 【詳解】 解：依題 . 又因?yàn)閮蓷l對(duì)稱軸之間的最小距離為，所以由得：， ∴； （1）當(dāng)時(shí)， 因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增， 當(dāng)，解得， 當(dāng)，解得， 當(dāng)，解得， 所以在上遞增，在上遞減，在上遞增， 當(dāng)時(shí)，取得最大值， 當(dāng)時(shí)，取得最小值， 且，， 所以； （2）由（1）可得， 當(dāng)時(shí)：

20、在上遞增， 滿足：，此時(shí)無解， 當(dāng)時(shí)：在上遞減， 滿足：，解得：， 綜上所述：. 【點(diǎn)睛】 本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)、三角恒等變換以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查了基本知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題. 20．已知向量，，函數(shù)，若其圖像關(guān)于直線對(duì)稱. （1）求函數(shù)的最小正周期及實(shí)數(shù)的值. （2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由以及輔助角公式，可得，再由對(duì)稱軸求出，從而得和； （2）由得角度范圍，從而求出值域. 【詳解】 （1） （其中）， 因?yàn)閳D像關(guān)于直線對(duì)稱. （2）由（1）知 由得 21．設(shè)平面向量，，

21、函數(shù). （1）求函數(shù)的最小正周期； （2）若角滿足，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及輔助角公式化簡(jiǎn)，再利用求最小正周期； （2）由題及（1）可得，再利用二倍角公式求即可. 【詳解】 (1) 函數(shù)的最小正周期為 （2） 22．已知向量，，函數(shù). （1）求函數(shù)的最大值，并指出取最大值時(shí)的取值集合； （2）若，為銳角，，，求的值. 【答案】（1）最大值為2，的取值集合為；（2）. 【分析】 （1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和二倍角公式化簡(jiǎn)整理得，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可； （2）由（1）得，再根據(jù)題

22、意，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系得，，，進(jìn)而得，故. 【詳解】 解（1）， 令，得，， 所以最大值為2，此時(shí)的取值集合為 （2）由，為銳角，，得， 由得 ∵，∴， 又， ∴，∴， ∴ ， ∴. 【點(diǎn)睛】 本題考查向量數(shù)量積運(yùn)算，三角函數(shù)性質(zhì)，三角恒等變換等，其中恒等變換求角的值得關(guān)鍵點(diǎn)在于，得，進(jìn)而得，再根據(jù)湊角，結(jié)合和差角公式誘導(dǎo)公式求解即可.考查運(yùn)算求解能力，是中檔題. 23．已知，，. （1）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）將的圖象向右平移個(gè)單位，得到的圖象，已知，，求的值. 【答案】（1）和；（2）. 【分析】 （1）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、三角

23、恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得解； （2）由三角函數(shù)圖象的平移可得，進(jìn)而可得，即可得解. 【詳解】 解：（1）已知，， 所以 ； 令，解得， 所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為， 所以函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為和； （2）將的圖象向右平移個(gè)單位后得：， 已知，所以， 又，所以， 所以，即， 所以. 【點(diǎn)睛】 本題考查利用三角恒等變換研究三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)，解答時(shí)正、余弦的二倍角公式的運(yùn)用、整體法的運(yùn)用是關(guān)鍵． 24．已知平面向量，. （1）若，，求實(shí)數(shù)的值； （2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由向

24、量共線的坐標(biāo)表示得到，再利用兩角差的正弦公式得到，從而求出； （2）首先根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及三角恒等變換公式求出，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得； 【詳解】 解：（1）因?yàn)?，，? 所以， 所以， 所以. 又因?yàn)椋? 所以. （2） . 令， 所以. 所以所求的單調(diào)遞減區(qū)間為. 【點(diǎn)睛】 本題考查三角恒等變換公式的應(yīng)用，向量平行的坐標(biāo)表示，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題. 25．已知向量，，，且的圖像過點(diǎn)和點(diǎn). （1）求，的值及的最小正周期； （2）若將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，求在時(shí)的值域和單調(diào)遞減區(qū)間. 【答案

25、】（1）；最小正周期為；（2）值域?yàn)?；單調(diào)遞減區(qū)間為.. 【分析】 （1）根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算先表示出，然后通過所過點(diǎn)的坐標(biāo)求解出的值，并利用三角恒等變換的公式將化簡(jiǎn)，從而求解出最小正周期； （2）先根據(jù)圖象平移得到，再利用整體替換的方法求解出在時(shí)的值域和單調(diào)遞減區(qū)間. 【詳解】 （1）. 把和代入上式，得：. ∴ ∴ ∴的最小正周期為. （2）由已知得. 當(dāng)時(shí)，， 所以，此時(shí)， 所以，此時(shí)， 所以的值域?yàn)? 令，所以， 當(dāng)時(shí)，且， 所以的單調(diào)遞減區(qū)間為. 【點(diǎn)睛】 本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)以及三角恒等變換的綜合應(yīng)用，其中還涉及到坐標(biāo)形式下向量的數(shù)量積運(yùn)算，對(duì)

26、學(xué)生的化簡(jiǎn)與計(jì)算能力要求較高，難度一般. 26．已知向量，（，）.函數(shù)，的圖象的相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離為2，且過點(diǎn). （1）求圖像的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)； （2）求的值. 【答案】（1），；（2）. 【分析】 （1）由題意可得，由于的圖象的相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離為2，可得周期為4，從而可求出，再將點(diǎn)代入函數(shù)中可求出的值，進(jìn)而可得函數(shù)的解析式，從而可求出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）利用函數(shù)的周期為4進(jìn)行求解 【詳解】 解：（1） 由題意知：周期，∴. 又圖象過點(diǎn)M，∴即， ∵，∴，，∴. 對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，. （2）的周期， ∵ ∴原式. 【點(diǎn)睛】 此題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，

27、考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題 27．已知向量，，設(shè)函數(shù). （1）求的最小正周期； （2）求的單調(diào)增區(qū)間； （3）若函數(shù)，，其中，試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù). 【答案】（1）最小正周期為；（2）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：()；（3）答案見解析. 【分析】 （1）通過向量的數(shù)量積求出函數(shù)的表達(dá)式，利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，即可求出函數(shù)的最小正周期. （2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，直接求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可. （3）求出函數(shù)在時(shí)函數(shù)的取值范圍，即可根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)的判斷方法推出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù). 【詳解】 （1）函數(shù)，

28、.， ， 所以函數(shù)的最小正周期為：. （2）因?yàn)楹瘮?shù)， 由，， 解得，， 所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：(). （3）， 因?yàn)椋? 所以， ， 令， 得， 則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)， 在同一坐標(biāo)系中，作出兩函數(shù)的圖象，如圖所示： 由圖象可知： 當(dāng)或時(shí)，零點(diǎn)為0個(gè)； 當(dāng)時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)， 當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)； 【點(diǎn)睛】 本題主要考查三角函數(shù)與平面向量以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題. 28．已知向量，，其中，，又函數(shù)的圖象任意兩相鄰對(duì)稱軸間距為. （1）求的值: （2）設(shè)是第一象限角，且，求的值.

29、 【答案】（1）（2） 【分析】 （1）首先根據(jù)題意得到，再根據(jù)函數(shù)的周期即可得到的值. （2）根據(jù)得到，，再化簡(jiǎn)即可得到答案. 【詳解】 （1）由題意得， 所以 . 因?yàn)楹瘮?shù)的圖象任意兩相鄰對(duì)稱軸間距為. 所以函數(shù)的最小正周期為，又，所以. （2）由（1）知， 所以 . 解得，因?yàn)槭堑谝幌笙藿?，故? 所以 . 【點(diǎn)睛】 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，同時(shí)考查了函數(shù)的周期和三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，屬于中檔題. 29．請(qǐng)從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答. ①，②，為虛數(shù)單位，③的面積為 在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，___

30、_______. （1）求； （2）求的值. 注：如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）通過方案①，②，③都是求出的值，進(jìn)一步利用余弦定理求出答案; （2）根據(jù)（1）求出，利用正弦和差公式化簡(jiǎn)，從而求出答案. 【詳解】 方案一：選擇條件①： （1）∵，； ∴ 由，解得或（舍去）， ∴， ∴. （2），∴， ∴. 方案二：選擇條件②： （1）由，解得或（舍去）， ∴， ∴. （2）同方案一 方案三：選擇條件③： （1）∵，∴， 又∵，∴， 由，解得或（舍）， ∴， ∴. （2）同方案一 注意

31、：方案二、方案三評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)參照方案一. 【點(diǎn)睛】 本題考查三角函數(shù)的余弦定理和三角形的面積，涉及到向量的數(shù)量積和復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題型. 30．已知向量. （1）求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，若f(A)=1，求△ABC的周長(zhǎng). 【答案】（1）.（2） 【分析】 （1）利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)恒等變換可求函數(shù)解析式f(x)=sin(2x)，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可計(jì)算得解. （2）由題意可得sin(2A)，結(jié)合范圍0

32、值，進(jìn)而可求b的值，從而可求三角形的周長(zhǎng). 【詳解】 （1）因?yàn)?sinx，cosx)，( cosx，cosx)， f(x)?sinxcosx+cos2xsin2xcos2xsin(2x)， 由2kπ≤2x2kπ，k∈Z，可得：kπ≤xkπ，k∈Z， 可得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是：[kπ，kπ]，k∈Z， （2）由題意可得：sin(2A)， 又0

33、以b=3，可得△ABC的周長(zhǎng)為4. 【點(diǎn)睛】 本題主要考查平面向量與三角恒等變換以及正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，還考查運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題. 31．已知向量，，設(shè). （1）求函數(shù)的最小正周期和對(duì)稱軸方程； （2）已知為銳角，，，，求的值. 【答案】（1），；（2）. 【分析】 （1）先根據(jù)向量運(yùn)算及三角變換化簡(jiǎn)，然后根據(jù)解析式求解最小正周期和對(duì)稱軸方程； （2）由可得，根據(jù)平方關(guān)系求出，結(jié)合差角公式可求的值. 【詳解】 （1）由題意得 . 因此函數(shù)的最小正周期. 令，則， 即函數(shù)的對(duì)稱軸方程為. （2）∵，∴， ∴. ∵，∴. ∵，，∴. 又，∴. ∴. ∴ . 【點(diǎn)睛】 本題主要考查三角函數(shù)的圖象性質(zhì)及恒等變換，三角函數(shù)的性質(zhì)求解通常把函數(shù)化為最簡(jiǎn)形式，給值求值問題優(yōu)先觀察已知角和所求角間的聯(lián)系，然后根據(jù)相關(guān)公式求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).