《高考數學浙江專用總復習教師用書：第2章 第4講　冪函數與二次函數 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數學浙江專用總復習教師用書：第2章 第4講　冪函數與二次函數 Word版含解析（16頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、高考數學精品復習資料 2019.5 第第 4 講講 冪函數與二次函數冪函數與二次函數 最新考綱 1.了解冪函數的概念；掌握冪函數 yx，yx2，yx3，yx12，y1x的圖象和性質；2.理解二次函數的圖象和性質，能用二次函數、方程、不等式之間的關系解決簡單問題. 知 識 梳 理 1.冪函數 (1)冪函數的定義 一般地，形如 yx的函數稱為冪函數，其中 x 是自變量， 為常數. (2)常見的 5 種冪函數的圖象 (3)常見的 5 種冪函數的性質 函數 特征 性質 yx yx2 yx3 yx12 yx1 定義域 R R R 0，) x|xR， 且 x0 值域 R 0，) R 0， ) y|yR，

2、且 y0 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 2.二次函數 (1)二次函數解析式的三種形式： 一般式：f(x)ax2bxc(a0). 頂點式：f(x)a(xm)2n(a0)，頂點坐標為(m，n). 零點式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2為 f(x)的零點. (2)二次函數的圖象和性質 解析式 f(x)ax2bxc(a0) f(x)ax2bxc(a0 時，冪函數 yxn在(0，)上是增函數.( ) (3)二次函數 yax2bxc(xR)不可能是偶函數.( ) (4)二次函數 yax2bxc(xa，b)的最值一定是4acb24a.( ) 解析 (1)由于冪函數的解析式為 f(x)

3、x，故 y2x13不是冪函數，(1)錯. (3)由于當 b0 時，yax2bxcax2c 為偶函數，故(3)錯. (4)對稱軸 xb2a，當b2a小于 a 或大于 b 時，最值不是4acb24a，故(4)錯. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(20 xx 全國卷)已知 a243，b323，c2513，則( ) A.bac B.abc C.bca D.caab. 答案 A 3.已知 f(x)x2pxq 滿足 f(1)f(2)0，則 f(1)的值是( ) A.5 B.5 C.6 D.6 解析 由 f(1)f(2)0 知方程 x2pxq0 的兩根分別為 1，2，則 p3，q2，f(x)x2

4、3x2，f(1)6. 答案 C 4.(20 xx 杭州測試)若函數 f(x)是冪函數，則 f(1)_，若滿足 f(4)8f(2)，則 f13_. 解析 由題意可設 f(x)x，則 f(1)1，由 f(4)8f(2)得 482，解得 3，所以 f(x)x3，故 f13133127. 答案 1 127 5.若冪函數 y(m23m3)xm2m2的圖象不經過原點，則實數 m 的值為_. 解析 由m23m31，m2m20，解得 m1 或 2. 經檢驗 m1 或 2 都適合. 答案 1 或 2 6.若函數 f(x)x22(a1)x2 在區(qū)間(，3上是減函數，則實數 a 的取值范圍是_. 解析 二次函數 f

5、(x)圖象的對稱軸是 x1a，由題意知 1a3，a2. 答案 (，2 考點一 冪函數的圖象和性質 【例 1】 (1)(20 xx 濟南診斷測試)已知冪函數 f(x)k x的圖象過點12，22，則 k 等于( ) A.12 B.1 C.32 D.2 (2)若(2m1)12(m2m1)12，則實數 m 的取值范圍是( ) A.， 512 B.512， C.(1，2) D.512，2 解析 (1)由冪函數的定義知 k1.又 f1222， 所以1222，解得 12，從而 k32. (2)因為函數 yx12的定義域為0，)， 且在定義域內為增函數， 所以不等式等價于2m10，m2m10，2m1m2m1.

6、 解得m12，m 512或m512，1m2， 即512m0 時，圖象過原點和(1，1)，在第一象限的圖象上升；當 0時，圖象不過原點，過(1，1)，在第一象限的圖象下降. (3)在比較冪值的大小時，必須結合冪值的特點，選擇適當的函數，借助其單調性進行比較，準確掌握各個冪函數的圖象和性質是解題的關鍵. 【訓練 1】 (1)冪函數 yf(x)的圖象過點(4，2)，則冪函數 yf(x)的圖象是( ) (2)已知冪函數 f(x)(n22n2)xn23n(nZ)的圖象關于 y 軸對稱， 且在(0， )上是減函數，則 n 的值為( ) A.3 B.1 C.2 D.1 或 2 解析 (1)設 f(x)x(R

7、)，則 42， 12，因此 f(x)x12，根據圖象的特征，C 正確. (2)冪函數 f(x)(n22n2)xn23n在(0，)上是減函數， n22n21，n23n0， 其圖象如圖所示， 又x4，6，f(|x|)在區(qū)間4，1)和0，1)上為減函數，在區(qū)間1，0)和1，6上為增函數. 規(guī)律方法 解決二次函數圖象與性質問題時要注意： (1)拋物線的開口、對稱軸位置、定義區(qū)間三者相互制約，常見的題型中這三者有兩定一不定，要注意分類討論； (2)要注意數形結合思想的應用， 尤其是給定區(qū)間上的二次函數最值問題， 先“定性”(作草圖)，再“定量”(看圖求解)，事半功倍. 【訓練 2】 (1)設 abc0，

8、二次函數 f(x)ax2bxc 的圖象可能是( ) (2)(20 xx 武漢模擬)若函數 f(x)(xa)(bx2a)(常數 a，bR)是偶函數，且它的值域為(，4，則該函數的解析式 f(x)_. 解析 (1)由 A，C，D 知，f(0)c0，所以 ab0，知 A，C 錯誤，D 滿足要求；由 B 知 f(0)c0， 所以 ab0，所以 xb2axk 在區(qū)間3，1上恒成立，試求 k 的取值范圍. 解 (1)由題意知 b2a1，f（1）ab10，解得a1，b2. 所以 f(x)x22x1， 由 f(x)(x1)2知，函數 f(x)的單調遞增區(qū)間為1，)，單調遞減區(qū)間為(，1. (2)由題意知，x2

9、2x1xk 在區(qū)間3，1上恒成立，即 kx2x1 在區(qū)間3，1上恒成立， 令 g(x)x2x1，x3，1， 由 g(x)x12234知 g(x)在區(qū)間3，1上是減函數，則 g(x)ming(1)1，所以 k1， 故 k 的取值范圍是(，1). 規(guī)律方法 (1)對于函數 yax2bxc，若是二次函數，就隱含著 a0，當題目未說明是二次函數時，就要分 a0 和 a0 兩種情況討論. (2)由不等式恒成立求參數的取值范圍，常用分離參數法，轉化為求函數最值問題，其依據是 af(x)af(x)max，af(x)af(x)min. 【訓練 3】 (20 xx 九江模擬)已知 f(x)x22(a2)x4，

10、如果對 x3， 1， f(x)0 恒成立，則實數 a 的取值范圍為_. 解析 因為 f(x)x22(a2)x4， 對稱軸 x(a2)， 對 x3，1，f(x)0 恒成立， 所以討論對稱軸與區(qū)間3，1的位置關系得： （a2）3，f（3）0，或3（a2）1，0，或（a2）1，f（1）0， 解得 a或 1a4 或12a1， 所以 a 的取值范圍為12，4 . 答案 12，4 命題角度二 二次函數的零點問題 【例 32】 (20 xx 全國卷)已知函數 f(x)(xR)滿足 f(x)f(2x)，若函數 y|x22x3|與 yf(x)圖象的交點為(x1，y1)，(x2，y2)， ， (xm，ym)，則m

11、i1xi( ) A.0 B.m C.2m D.4m 解析 由f(x)f(2x)知函數f(x)的圖象關于直線x1對稱.又y|x22x3|(x1)24|的圖象也關于直線 x1 對稱，所以這兩函數的交點也關于直線 x1 對稱. 不妨設 x1x20 時，圖象過原點和(1，1)點，在第一象限的部分“上升”；f(1)，則( ) A.a0，4ab0 B.a0，2ab0 D.af(1)，所以函數圖象應開口向上，即 a0，且其對稱軸為 x2，即b2a2，所以 4ab0. 答案 A 3.在同一坐標系內，函數 yxa(a0)和 yax1a的圖象可能是( ) 解析 若 a0，yxa的圖象知排除 A，B 選項，但 ya

12、x1a的圖象均不適合，綜上選B. 答案 B 4.若函數 f(x)x2axa 在區(qū)間0，2上的最大值為 1，則實數 a 等于( ) A.1 B.1 C.2 D.2 解析 函數 f(x)x2axa 的圖象為開口向上的拋物線， 函數的最大值在區(qū)間的端點取得， f(0)a，f(2)43a， a43a，a1或a43a，43a1，解得 a1. 答案 B 5.若關于 x 的不等式 x24x2a0 在區(qū)間(1，4)內有解，則實數 a 的取值范圍是( ) A.(，2) B.(2，) C.(6，) D.(，6) 解析 不等式 x24x2a0 在區(qū)間(1，4)內有解等價于 a(x24x2)max， 令 f(x)x2

13、4x2，x(1，4)， 所以 f(x)f(4)2，所以 a1225，得223123253，即 PRQ. 答案 PRQ 7.若 f(x)x22ax 與 g(x)ax1在區(qū)間1，2上都是減函數，則 a 的取值范圍是_. 解析 由 f(x)x22ax 在1，2上是減函數可得1，2a，)，a1. y1x1在(1，)上為減函數， 由 g(x)ax1在1，2上是減函數可得 a0， 故 0f(a1)的實數 a 的取值范圍. 解 冪函數 f(x)的圖象經過點(2， 2)， 22(m2m)1，即 2122(m2m)1. m2m2.解得 m1 或 m2. 又mN*，m1.f(x)x12， 則函數的定義域為0，)，

14、并且在定義域上為增函數. 由 f(2a)f(a1)得2a0，a10，2aa1， 解得 1a1，即 a12時， f(x)maxf(1)2a1， 2a11，即 a1 滿足題意. 綜上可知，a13或1. 能力提升題組 (建議用時：25 分鐘) 11.(20 xx 浙江卷)已知函數 f(x)x2bx， 則“b0”是“f(f(x)的最小值與 f(x)的最小值相等”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 解析 f(x)x2bxxb22b24，當 xb2時，f(x)minb24. 又 f(f(x)(f(x)2bf(x)f（x）b22b24，當 f(x)b

15、2時，f(f(x)minb24，當b2b24時，f(f(x)可以取到最小值b24，即 b22b0，解得 b0 或 b2，故“b0，若 a，bR，且 ab0，則 f(a)f(b)的值( ) A.恒大于 0 B.恒小于 0 C.等于 0 D.無法判斷 解析 依題意，冪函數 f(x)在(0，)上是增函數， m2m11，4m9m510， 解得 m2，則 f(x)x2 015. 函數 f(x)x2 015在 R 上是奇函數，且為增函數. 由 ab0，得 ab， f(a)f(b)，則 f(a)f(b)0. 答案 A 13.已知函數f(x)2x，x2，（x1）3，x2，若關于x的方程f(x)k有兩個不同的實

16、根，則實數 k 的取值范圍是_. 解析 作出函數 yf(x)的圖象如圖.則當 0k0，bR，cR). (1)若函數 f(x)的最小值是 f(1)0，且 c1， F(x)f（x），x0，f（x），x0，（x1）2，x0. F(2)F(2)(21)2(21)28. (2)由 a1，c0，得 f(x)x2bx， 從而|f(x)|1 在區(qū)間(0， 1上恒成立等價于1x2bx1 在區(qū)間(0， 1上恒成立， 即 b1xx 且 b1xx 在(0，1上恒成立. 又1xx 的最小值為 0，1xx 的最大值為2. 2b0. 故 b 的取值范圍是2，0. 15.(20 xx 嘉興模擬)已知 mR，函數 f(x)x2

17、(32m)x2m. (1)若 0m12，求|f(x)|在1，1上的最大值 g(m)； (2)對任意的 m(0，1，若 f(x)在0，m上的最大值為 h(m)，求 h(m)的最大值. 解 (1)f(x)x32m224m28m174，則對稱軸為 x32m2， 由 0m12，得 02m1，則 132m232， 故函數 f(x)在1，1上為增函數， 則當 x1 時，函數 f(x)取得最大值，f(1)4m； 當 x1 時，函數 f(x)取得最小值 f(1)3m2. 又0m12，03m32，2|f(1)|， 即|f(x)|在1，1上的最大值 g(m)f(1)4m. (2)由(1)知函數的對稱軸為 x32m

18、2，且函數開口向下， 由 0m1，則 02m2，所以1232m232， 若 m32m2， 即 032m2，即34m1 時，函數 f(x)在0，m上不單調，此時當 x32m2時，函數 f(x)取得最大值 h(m)m22m174， 即 h(m)m22m174，34m1，3m24m2，0m34， 當 0m34時，h(m)3m24m2 的對稱軸為 m42（3）23，即當 m23時，函數 h(m)取得最大值 h2332324232103. 當34m1 時， h(m)m22m174的對稱軸為 m1， 此時函數 h(m)在34，1 上為減函數，則函數 h(m)h343422341745316103. 所以 h(m)的最大值為103.