第三節(jié)　函數(shù)的奇偶性與周期性 1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義. 2.了解函數(shù)的周期性. 3.會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性. 知識(shí)梳理 一、函數(shù)的奇偶性 1．函數(shù)奇偶性的定義及簡(jiǎn)單性質(zhì). 2.若f(x)為偶函數(shù)，則f(－x)＝f(x)＝f(|x|)，反之，也成立． 3．若奇函數(shù)f(x)的定義域包含0，則f(0)＝0. 4．判斷函數(shù)的奇偶性有時(shí)可以用定義的等價(jià)形式． 在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的情況下， 1 / 5 (1)若f(x)－f(－x)＝0或＝1[f(－x)≠0]，則f(x)為偶函數(shù)； (2)若f(x)＋f(－x)＝0或＝－1[f(－x)≠0]，則f(x)為奇函數(shù)． 5．設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上： 奇＋奇＝奇，偶＋偶＝偶，偶偶＝偶，奇奇＝偶，奇偶＝奇． 二、函數(shù)的周期性 1．周期函數(shù)定義：若T為非零常數(shù)，對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，則f(x)叫做________，T叫做這個(gè)函數(shù)的________． 2．周期函數(shù)的性質(zhì)：(1)若T是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，則kT(k∈Z，k≠0)也是它的一個(gè)周期； (2)f(x＋T)＝ f(x)常寫作f＝f； (3)若f(x)的周期中，存在一個(gè)最小的正數(shù)，則稱它為f(x)的最小正周期； (4)若周期函數(shù)f(x)的周期為T，則f(ωx)(ω≠0)也是周期函數(shù)，且周期為. 一、1.f(－x)＝f(x)　y軸　相反　f(－x)＝－f(x)　原點(diǎn)　相同 二、1.周期函數(shù)　一個(gè)周期 基礎(chǔ)自測(cè) 1．(2013肇慶二模)下列函數(shù)為奇函數(shù)的是(　　) A．y＝|sin x| B．y＝|x| C．y＝x3＋x－1 D．y＝ln 解析：由|sin(－x)|＝|sin x|，得y＝|sin x|為偶函數(shù)，排除A； 由|－x|＝|x|，得y＝|x|為偶函數(shù)，排除B； y＝x3＋x－1的定義域?yàn)镽，但其圖象不過原點(diǎn)，故y＝x3＋x－1不為奇函數(shù)，排除C； 由＞0得－1＜x＜1，所以函數(shù)y＝ln的定義域?yàn)?－1,1)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 且ln ＝ln－1＝－ln ，故y＝ln 為奇函數(shù)，故選D. 答案：D 2．函數(shù)f(x)＝＋x的圖象關(guān)于(　　) A．y軸對(duì)稱 B．直線y＝－x對(duì)稱 C．坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 D．直線y＝x對(duì)稱 解析：可判斷f(x)＝＋x為奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．故選C. 答案：C 3．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝2x－3，則f(－2)＝(　　) A．1　 　 B．－1　　 C．－　　 D. 答案：B 4．若偶函數(shù)f(x)是以4為周期的函數(shù)，f(x)在區(qū)間[－6，－4]上是減函數(shù)，則f(x)在[0,2]上的單調(diào)性是________． 解析：∵T＝4，且在[－6，－4]上單調(diào)遞減， ∴函數(shù)在[－2,0]上也單調(diào)遞減．又f(x)為偶函數(shù)，故f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱， 由對(duì)稱性知f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增． 答案：?jiǎn)握{(diào)遞增 1．設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是(　　) A．f(x)＋|g(x)|是偶函數(shù) B．f(x)－|g(x)|是奇函數(shù) C．|f(x)|＋g(x)是偶函數(shù) D．|f(x)|－ g(x)是奇函數(shù) 解析：因?yàn)間(x)是R上的奇函數(shù)，所以|g(x)|是R上的偶函數(shù)，從而f(x)＋|g(x)|是偶函數(shù)．故選A. 答案：A 2．(2013山東卷)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x2＋，則f(－1)＝(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 解析：因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.故選A. 答案：A 3．(2013江蘇卷)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)．當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x2－4x，則不等式f(x)＞x的解集用區(qū)間表示為________ 解析：因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以易知x≤0時(shí)，f(x)＝－x2－4x解不等式得到f(x)＞x的解集用區(qū)間表示為(－5,0)∪(5，＋∞)． 答案： (－5,0)∪(5，＋∞) 1．(2013增城下學(xué)期調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝x－2，則(　　) A．f(x)為偶函數(shù)且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增 B．f(x)為奇函數(shù)且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增 C．f(x)為偶函數(shù)且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減 D．f(x)為奇函數(shù)且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增 解析：f(x)＝，f(－x)＝＝＝f(x)是偶函數(shù)，在(0，＋∞)單調(diào)遞減． 答案：C 2．(2013溫州高三第一次質(zhì)檢)已知f(x)是定義在R上是奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝ex＋a，若f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的最小值是________． 解析：依題意得f(0)＝0.當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞e0＋a＝a＋1.若函數(shù)f(x) 在R上是單調(diào)函數(shù)，則有a＋1≥0，a≥－1，因此實(shí)數(shù)a的最小值是－1. 答案：－1 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！