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【步步高】屆高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 變量間的相關(guān)關(guān)系學(xué)案 理 新人教A版

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1、 學(xué)案58 變量間的相關(guān)關(guān)系 導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.會(huì)作兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,會(huì)利用散點(diǎn)圖認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系.2.了解最小二乘法的思想,能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程. 自主梳理 1.兩個(gè)變量的線性相關(guān) (1)正相關(guān) 在散點(diǎn)圖中,點(diǎn)散布在從__________到________的區(qū)域,對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系,我們將它稱為正相關(guān). (2)負(fù)相關(guān) 在散點(diǎn)圖中,點(diǎn)散布在從________到________的區(qū)域,兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān). (3)線性相關(guān)關(guān)系、回歸直線 如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近,我們就稱這兩個(gè)變量之

2、間具有線性相關(guān)關(guān)系,這條直線叫做回歸直線. 2.回歸方程 (1)最小二乘法 求回歸直線使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的________________________的方法叫做最小二乘法. (2)回歸方程 方程 = x+ 是兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的回歸方程,其中 , 是待定參數(shù). 自我檢測(cè) 1.下列有關(guān)線性回歸的說(shuō)法,不正確的是(  ) A.相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量不一定是因果關(guān)系 B.散點(diǎn)圖能直觀地反映數(shù)據(jù)的相關(guān)程度 C.回歸直線最能代表線性相關(guān)的兩個(gè)變量之間的關(guān)系 D.任一組數(shù)據(jù)都有回歸直線方程 2.(2009海南

3、,寧夏)對(duì)變量x,y有觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,10),得散點(diǎn)圖(1);對(duì)變量u,v有觀測(cè)數(shù)據(jù)(ui,vi)(i=1,2,…,10),得散點(diǎn)圖(2).由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷(  ) A.變量x與y正相關(guān),u與v正相關(guān) B.變量x與y正相關(guān),u與v負(fù)相關(guān) C.變量x與y負(fù)相關(guān),u與v正相關(guān) D.變量x與y負(fù)相關(guān),u與v負(fù)相關(guān) 3.(2011銀川模擬)下表是某廠1~4月份用水量(單位:百噸)的一組數(shù)據(jù): 月份x 1 2 3 4 用水量y 4.5 4 3 2.5 由散點(diǎn)圖可知,用水量y與月份x之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系,其回歸直線方程是 =-0.7

4、x+ ,則 等于(  ) A.10.5 B.5.15 C.5.2 D.5.25 4.(2010廣東)某市居民2005~2009年家庭年平均收入x(單位:萬(wàn)元)與年平均支出Y(單位:萬(wàn)元)的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示: 年份 2005 2006 2007 2008 2009 收入x 11.5 12.1 13 13.3 15 支出Y 6.8 8.8 9.8 10 12 根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料,居民家庭年平均收入的中位數(shù)是_________________________________, 家庭年平均收入與年平均支出有______線性相關(guān)關(guān)系. 5.

5、(2011金陵中學(xué)模擬)已知三點(diǎn)(3,10),(7,20),(11,24)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y具有線性關(guān)系,則其回歸方程是________________. 探究點(diǎn)一 利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量的相關(guān)性 例1 有一位同學(xué)家開了一個(gè)小賣部,他為了研究氣溫對(duì)熱飲銷售的影響,經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì),得到一個(gè)賣出熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)比表: 溫度 (℃) -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 熱飲 杯數(shù) 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 (1)畫出散點(diǎn)圖; (2)你能從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)

6、氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律嗎? 變式遷移1 某班5個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)?nèi)绫恚? 學(xué)生 學(xué)科 A B C D E 數(shù)學(xué) 80 75 70 65 60 物理 70 66 68 64 62 畫出散點(diǎn)圖,并判斷它們是否有相關(guān)關(guān)系? 探究點(diǎn)二 求回歸直線方程 例2 假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y(萬(wàn)元)有以下統(tǒng)計(jì)資料: 使用年限x 2 3 4 5 6 維修費(fèi)用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.

7、0 若由資料知y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系.試求回歸方程 = x+ . 變式遷移2 已知變量x與變量y有下列對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù): x 1 2 3 4 y 2 3 且y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系,求y對(duì)x的回歸直線方程. 探究點(diǎn)三 利用回歸方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì) 例3 下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù). x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖; (2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用

8、最小二乘法求出y關(guān)于x的回歸方程 = x+ ; (3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤.試根據(jù)(2)求出的回歸方程,預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤? (參考數(shù)值:32.5+43+54+64.5=66.5) 變式遷移3 (2011鹽城期末)某單位為了了解用電量y度與氣溫x℃之間的關(guān)系,隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫,并制作了對(duì)照表: 氣溫(℃) 18 13 10 -1 用電量(度) 24 34 38 64 由表中數(shù)據(jù)得回歸方程 = x+ 中 =-2,預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為-4℃時(shí),用電量的度數(shù)約為

9、________. 1.相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同.函數(shù)關(guān)系中的兩個(gè)變量間是一種確定性關(guān)系.而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系,即相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系.函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系,而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系,也可能是伴隨關(guān)系. 2.回歸直線方程:設(shè)x與y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量,且相應(yīng)于n個(gè)觀測(cè)值的n個(gè)點(diǎn)大致分布在某一條直線的附近,就可以認(rèn)為y對(duì)x的回歸函數(shù)的類型為直線型: = x+ .其中 我們稱這個(gè)方程為y對(duì)x的回歸直線方程.其中=xi,=y(tǒng)i,(,)稱為樣本點(diǎn)的中心. 3.求回歸直線方程的步驟:(1)計(jì)算出、、x、xiyi的值;(2)計(jì)算回歸系數(shù) 、 ;(3)寫出回

10、歸直線方程 = x+ . (滿分:75分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.下列命題: ①線性回歸方法就是由樣本點(diǎn)去尋找一條貼近這些樣本點(diǎn)的直線的數(shù)學(xué)方法; ②利用樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖可以直觀判斷兩個(gè)變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系表示; ③通過(guò)回歸直線 = x+ 及回歸系數(shù) ,可以估計(jì)和預(yù)測(cè)變量的取值和變化趨勢(shì). 其中正確的命題是(  ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 2.設(shè)有一個(gè)回歸直線方程為 =2-1.5x,則變量x增加一個(gè)單位時(shí)(  ) A.y平均增加1.5個(gè)單位 B.y平均增加2個(gè)單位 C.y平均減少1.5個(gè)單位 D.y平

11、均減少2個(gè)單位 3.(2011陜西)設(shè)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)是變量x和y的n個(gè)樣本點(diǎn),直線l是由這些樣本點(diǎn)通過(guò)最小二乘法得到的線性回歸直線(如圖),以下結(jié)論中正確的是(  ) A.x和y的相關(guān)系數(shù)為直線l的斜率 B.x和y的相關(guān)系數(shù)在0到1之間 C.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),分布在l兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)一定相同 D.直線l過(guò)點(diǎn)(,) 4.(2011山東)某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表: 廣告費(fèi)用x(萬(wàn)元) 4 2 3 5 銷售額y(萬(wàn)元) 49 26 39 54 根據(jù)上表可得線性回歸方程 = x+ 中的 為9.4,據(jù)此模型預(yù)

12、報(bào)廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元時(shí)銷售額為(  ) A.63.6萬(wàn)元 B.65.5萬(wàn)元 C.67.7萬(wàn)元 D.72.0萬(wàn)元 5.(2011青島模擬)為了考察兩個(gè)變量x和y之間的線性相關(guān)性,甲、乙兩位同學(xué)各自獨(dú)立做了10次和15次試驗(yàn),并且利用線性回歸方法,求得回歸直線分別為l1、l2,已知兩人所得的試驗(yàn)數(shù)據(jù)中,變量x和y的數(shù)據(jù)的平均值都相等,且分別是s、t,那么下列說(shuō)法中正確的是(  ) A.直線l1和l2一定有公共點(diǎn)(s,t) B.直線l1和l2相交,但交點(diǎn)不一定是(s,t) C.必有l(wèi)1∥l2 D.l1與l2必定重合 二、填空題(每小題4分,共12分) 6.下列關(guān)系中,

13、是相關(guān)關(guān)系的為________.(填序號(hào)) ①學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度與學(xué)習(xí)成績(jī)之間的關(guān)系; ②教師的執(zhí)教水平與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)之間的關(guān)系; ③學(xué)生的身高與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)之間的關(guān)系; ④家庭的經(jīng)濟(jì)條件與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)之間的關(guān)系. 7.已知回歸直線的斜率的估計(jì)值是0.73,樣本點(diǎn)的中心為(12.5,8.25),則回歸直線的回歸方程是______________. 8.(2011茂名月考)在研究硝酸鈉的可溶性程度時(shí),觀測(cè)它在不同溫度的水中的溶解度,得觀測(cè)結(jié)果如下表: 溫度(x) 0 10 20 50 70 溶解度(y) 66.7 76.0 85.0 112.3 128.

14、0 則由此得到回歸直線的斜率為________. 三、解答題(共38分) 9.(12分)(2011威海模擬)某車間為了規(guī)定工時(shí)定額,需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間,為此做了四次試驗(yàn),得到的數(shù)據(jù)如下: 零件的個(gè)數(shù)x(個(gè)) 2 3 4 5 加工的時(shí)間y(小時(shí)) 2.5 3 4 4.5 (1)在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖; (2)求出y關(guān)于x的回歸方程 = x+ ,并在坐標(biāo)系中畫出回歸直線; (3)試預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要多少時(shí)間? (注: =, =- ) 10.(12分)(2010許昌模擬)某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)支出x與銷售額

15、y(單位:萬(wàn)元)之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù): x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 (1)畫出散點(diǎn)圖; (2)求回歸直線方程; (3)試預(yù)測(cè)宣傳費(fèi)支出為10萬(wàn)元時(shí),銷售額多大? 11.(14分)某企業(yè)上半年產(chǎn)品產(chǎn)量與單位成本資料如下: 月份 產(chǎn)量(千件) 單位成本(元) 1 2 73 2 3 72 3 4 71 4 3 73 5 4 69 6 5 68 (1)求出回歸方程; (2)指出產(chǎn)量每增加1 000件時(shí),單位成本平均變動(dòng)多少? (3)假定產(chǎn)量為6 000件時(shí),單位成本為多少元?

16、 學(xué)案58 變量間的相關(guān)關(guān)系 自主梳理 1.(1)左下角 右上角 (2)左上角 右下角 2.(1)距離的平方和最小 (2)  - 自我檢測(cè) 1.D 2.C 3.D 4.13 正 5. =x+ 課堂活動(dòng)區(qū) 例1 解題導(dǎo)引 判斷變量間是否線性相關(guān),一種常用的簡(jiǎn)便可行的方法就是作散點(diǎn)圖. 散點(diǎn)圖是由大量數(shù)據(jù)點(diǎn)分布構(gòu)成的,是定義在具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量基礎(chǔ)之上的,對(duì)于性質(zhì)不明確的兩組數(shù)據(jù)可先作散點(diǎn)圖,直觀地分析它們有無(wú)關(guān)系及關(guān)系的密切程度. 解 (1)以x軸表示溫度,以y軸表示熱飲杯數(shù),可作散點(diǎn)圖,如圖所示. (2)從圖中可以看

17、出,各點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域里,因此,氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間是負(fù)相關(guān)關(guān)系,即氣溫越高,賣出去的熱飲杯數(shù)越少. 從散點(diǎn)圖可以看出,這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近. 變式遷移1 解 以x軸表示數(shù)學(xué)成績(jī),y軸表示物理成績(jī),可得相應(yīng)的散點(diǎn)圖如下圖所示: 由散點(diǎn)圖可見,兩者之間具有相關(guān)關(guān)系. 例2 解題導(dǎo)引 根據(jù)題目給出的數(shù)據(jù),利用公式求回歸系數(shù),然后獲得回歸方程. 解 制表如下: i 1 2 3 4 5 合計(jì) xi 2 3 4 5 6 20 yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25 xiyi 4.4 11.4 22.0

18、 32.5 42.0 112.3 x 4 9 16 25 36 90 =4;=5; x2i=90;xiyi=112.3 于是有 ===1.23; =-=5-1.234=0.08. ∴回歸直線方程為 =1.23x+0.08. 變式遷移2 解 ==, ==, x=12+22+32+42=30, xiyi=1+2+32+43=, ∴ ===0.8, =-=-0.8=-0.25, ∴ =0.8x-0.25. 例3 解題導(dǎo)引 利用描點(diǎn)法得到散點(diǎn)圖,按求回歸方程的步驟和公式,寫出回歸方程,最后對(duì)總體進(jìn)行估計(jì). 利用回歸方程可以進(jìn)行預(yù)測(cè),回歸方程將部分觀測(cè)值

19、所反映的規(guī)律進(jìn)行延伸,是我們對(duì)有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行分析和控制,依據(jù)自變量的取值估計(jì)和預(yù)報(bào)因變量值的基礎(chǔ)和依據(jù),有廣泛的應(yīng)用. 解 (1)散點(diǎn)圖: (2)==4.5,==3.5, xiyi=32.5+43+54+64.5=66.5. x=32+42+52+62=86, ∴ = ==0.7, =- =3.5-0.74.5=0.35. ∴所求的回歸方程為 =0.7x+0.35. (3)現(xiàn)在生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品用煤 =0.7100+0.35=70.35, ∴降低90-70.35=19.65(噸標(biāo)準(zhǔn)煤). 變式遷移3 68 解析?。?0,=40,回歸方程過(guò)點(diǎn)(,)

20、, ∴40=-210+ .∴ =60. ∴ =-2x+60. 令x=-4,=(-2)(-4)+60=68. 課后練習(xí)區(qū) 1.D [根據(jù)線性回歸的含義、方法、作用分析這三個(gè)命題都是正確的.] 2.C [設(shè)(x1,y1),(x2,y2)在直線上,若x2=x1+1,則y2-y1=(2-1.5x2)-(2-1.5x1)=1.5(x1-x2)=-1.5,y平均減少1.5個(gè)單位.] 3.D [因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)是表示兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系的一個(gè)值,它的絕對(duì)值越接近1,兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng),所以A、B錯(cuò)誤.C中n為偶數(shù)時(shí),分布在l兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)可以不相同,所以C錯(cuò)誤.根據(jù)線性回歸方程

21、一定經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)可知D正確.所以選D.] 4.B [∵==,==42, 又 = x+ 必過(guò)(,),∴42=9.4+ ,∴ =9.1. ∴線性回歸方程為 =9.4x+9.1. ∴當(dāng)x=6時(shí), =9.46+9.1=65.5(萬(wàn)元).] 5.A [回歸直線方程為 = x+ .而 =- , 即 =t- s,t= s+ .∴(s,t)在回歸直線上. ∴直線l1和l2一定有公共點(diǎn)(s,t).] 6.①② 解析?、僦袑W(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度與學(xué)習(xí)成績(jī)之間不是因果關(guān)系,但具有相關(guān)性,是相關(guān)關(guān)系.②教師的執(zhí)教水平與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系.③④都不具備相關(guān)關(guān)系. 7. =0.73x-0.8

22、75 解析  =- =8.25-0.7312.5=-0.875. 8.0.880 9 解析?。?0,=93.6, x=7 900,xiyi=17 035, ∴回歸直線的斜率為 ==≈0.880 9. 9.解  (1)散點(diǎn)圖如圖所示.(4分) (2)由表中數(shù)據(jù)得xiyi=52.5, =3.5,=3.5,x=54, ∴ =0.7.∴ =- =1.05. ∴ =0.7x+1.05.回歸直線如圖中所示.(10分) (3)將x=10代入回歸直線方程, 得y=0.710+1.05=8.05(小時(shí)), ∴預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要8.05小時(shí).(12分) 10.解 (1)

23、根據(jù)表中所列數(shù)據(jù)可得散點(diǎn)圖如圖所示: (4分) (2)計(jì)算得:==5,==50, x=145,xiyi=1 380. 于是可得 ===6.5, =-=50-6.55=17.5, 因此,所求回歸直線方程是 =6.5x+17.5.(10分) (3)由上面求得的回歸直線方程可知,當(dāng)宣傳費(fèi)支出為10萬(wàn)元時(shí), =6.510+17.5=82.5(萬(wàn)元), 即這種產(chǎn)品的銷售大約為82.5萬(wàn)元.(12分) 11.解 (1)n=6,xi=21,yi=426,=3.5,=71, x=79,xiyi=1 481, ==≈-1.82. (3分) =- =71+1.823.5=77.37.(5分) ∴回歸方程為 = +x=77.37-1.82x.(6分) (2)因?yàn)閱挝怀杀酒骄儎?dòng) =-1.82<0,且產(chǎn)量x的計(jì)量單位是千件,所以根據(jù)回歸系數(shù)b的意義有: 產(chǎn)量每增加一個(gè)單位即1 000件時(shí),單位成本平均減少1.82元.(10分) (3)當(dāng)產(chǎn)量為6 000件時(shí),即x=6,代入回歸方程: =77.37-1.826=66.45(元). ∴當(dāng)產(chǎn)量為6 000件時(shí),單位成本為66.45元. (14分) 11

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