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1、
學案48 直線與直線的位置關系
導學目標: 1.能根據兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標.3.掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式,會求兩條平行直線間的距離.
自主梳理
1.兩直線的位置關系
平面上兩條直線的位置關系包括平行、相交、重合三種情況.
(1)兩直線平行
對于直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,
l1∥l2?________________________.
對于直線l1:A1x+B1y+C1=0,
l2:A2x+B2y+C2=0(A2B2C2≠0),
l1∥l2?________
2、________________.
(2)兩直線垂直
對于直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,
l1⊥l2?k1k2=____.
對于直線l1:A1x+B1y+C1=0,
l2:A2x+B2y+C2=0,
l1⊥l2?A1A2+B1B2=____.
2.兩條直線的交點
兩條直線l1:A1x+B1y+C1=0,
l2:A2x+B2y+C2=0,
如果兩直線相交,則交點的坐標一定是這兩個方程組成的方程組的____;反之,如果這個方程組只有一個公共解,那么以這個解為坐標的點必是l1和l2的________,因此,l1、l2是否有交點,就看l1、l2構成的方程組是否
3、有________.
3.有關距離
(1)兩點間的距離
平面上兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)間的距離|P1P2|=__________________________________.
(2)點到直線的距離
平面上一點P(x0,y0)到一條直線l:Ax+By+C=0的距離d=________________________.
(3)兩平行線間的距離
已知l1、l2是平行線,求l1、l2間距離的方法:
①求一條直線上一點到另一條直線的距離;
②設l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,則l1與l2之間的距離d=________________.
自
4、我檢測
1.(2011濟寧模擬)若點P(a,3)到直線4x-3y+1=0的距離為4,且點P在不等式2x+y-3<0表示的平面區(qū)域內,則實數a的值為( )
A.7 B.-7 C.3 D.-3
2.若直線l1:y=k(x-4)與直線l2關于點(2,1)對稱,則直線l2恒過定點( )
A.(0,4) B.(0,2)
C.(-2,4) D.(4,-2)
3.已知直線l1:ax+by+c=0,直線l2:mx+ny+p=0,則=-1是直線l1⊥l2的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條
5、件
4.(2009上海)已知直線l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0與l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,則k的值是( )
A.1或3 B.1或5
C.3或5 D.1或2
5.已知2x+y+5=0,則的最小值是________.
探究點一 兩直線的平行與垂直
例1 已知兩條直線l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0.求滿足以下條件的a、b的值:
(1)l1⊥l2且l1過點(-3,-1);
(2)l1∥l2,且原點到這兩條直線的距離相等.
變式遷移1 已知直線l1:ax+2y+6=0和直線l2
6、:x+(a-1)y+a2-1=0,
(1)試判斷l(xiāng)1與l2是否平行;
(2)l1⊥l2時,求a的值.
探究點二 直線的交點坐標
例2 已知直線l1:4x+7y-4=0,l2:mx+y=0,l3:2x+3my-4=0.當m為何值時,三條直線不能構成三角形.
變式遷移2 △ABC的兩條高所在直線的方程分別為2x-3y+1=0和x+y=0,頂點A的坐標為(1,2),求BC邊所在直線的方程.
探究點三 距離問題
例3 (2011廈門模擬)已知三條直線:l1:
7、2x-y+a=0 (a>0);l2:-4x+2y+1=0;l3:x+y-1=0.且l1與l2的距離是.
(1)求a的值;
(2)能否找到一點P,使P同時滿足下列三個條件:
①點P在第一象限;
②點P到l1的距離是點P到l2的距離的;
③點P到l1的距離與點P到l3的距離之比是∶.
若能,求點P的坐標;若不能,說明理由.
變式遷移3 已知直線l過點P(3,1)且被兩平行線l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0截得的線段長為5,求直線l的方程.
轉化與化歸思想的應用
例 (12分)已知
8、直線l:2x-3y+1=0,點A(-1,-2).求:
(1)點A關于直線l的對稱點A′的坐標;
(2)直線m:3x-2y-6=0關于直線l的對稱直線m′的方程;
(3)直線l關于點A(-1,-2)對稱的直線l′的方程.
【答題模板】
解 (1)設A′(x,y),再由已知
∴A′.[4分]
(2)在直線m上取一點,如M(2,0),則M(2,0)關于直線l的對稱點M′必在直線m′上.設對稱點M′(a,b),則得M′.[6分]
設直線m與直線l的交點為N,則由
得N(4,3).
又∵m′經過點N(4,3),∴由兩點式得直線m′的方程為9x-46y+102=0.[8分]
(3
9、)方法一 在l:2x-3y+1=0上任取兩點,
如M(1,1),N(4,3),則M,N關于點A(-1,-2)的對稱點M′,N′均在直線l′上,
易得M′(-3,-5),N′(-6,-7),[10分]
再由兩點式可得l′的方程為2x-3y-9=0.[12分]
方法二 ∵l∥l′,∴設l′的方程為2x-3y+C=0 (C≠1),
∵點A(-1,-2)到兩直線l,l′的距離相等,∴由點到直線的距離公式得
=,解得C=-9,[10分]
∴l(xiāng)′的方程為2x-3y-9=0.[12分]
方法三 設P(x,y)為l′上任意一點,
則P(x,y)關于點A(-1,-2)的對稱點為P′(-2-x,
10、-4-y),[10分]
∵點P′在直線l上,∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,
即2x-3y-9=0.[12分]
【突破思維障礙】
點關于直線對稱是軸對稱中最基本的,要抓住兩點:一是已知點與對稱點的連線與對稱軸垂直;二是已知點與對稱點為端點的線段中點在對稱軸上.直線關于點的對稱可轉化為點關于點的對稱,直線關于直線的對稱可轉化為點關于直線的對稱.
【易錯點剖析】
(1)點關于線對稱,不能轉化為“垂直”及“線的中點在軸上”的問題.
(2)線關于線對稱,不能轉化為點關于線的對稱問題;線關于點的對稱,不能轉化為點關于點的對稱問題.
1.在兩條直線的位置關系中,討論最多的還是
11、平行與垂直,它們是兩條直線的特殊位置關系.解題時認真畫出圖形,有助于快速準確地解決問題.判斷兩直線平行與垂直時,不要忘記考慮斜率不存在的情形,利用一般式則可避免分類討論.
2.運用公式d=求兩平行直線間的距離時,一定要把x、y項系數化為相等的系數.
3.對稱思想是高考熱點,主要分為中心對稱和軸對稱兩種,關鍵要把握對稱問題的本質,必要情況下可與函數的對稱軸建立聯(lián)系.
(滿分:75分)
一、選擇題(每小題5分,共25分)
1.直線3x+2y+4=0與2x-3y+4=0( )
A.平行 B.垂直
C.重合 D.關于直線y=-x對稱
2.(2011六安月考
12、)若直線x+ay-a=0與直線ax-(2a-3)y-1=0互相垂直,則a的值是( )
A.2 B.-3或1 C.2或0 D.1或0
3.已知直線l的傾斜角為,直線l1經過點A(3,2)、B(a,-1),且l1與l垂直,直線l2:2x+by+1=0與直線l1平行,則a+b等于( )
A.-4 B.-2 C.0 D.2
4.P點在直線3x+y-5=0上,且點P到直線x-y-1=0的距離為,則P點坐標為( )
A.(1,2) B.(2,1)
C.(1,2)或(2,-1) D.(2,1)或(-1,2)
5.設兩條直線的方程分別為x
13、+y+a=0,x+y+b=0,已知a、b是方程x2+x+c=0的兩個實根,且0≤c≤,則這兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別是( )
A., B.,
C., D.,
二、填空題(每小題4分,共12分)
6.(2011重慶云陽中學高三月考)直線l1:x+my+6=0和l2:3x-3y+2=0,若l1∥l2,則m的值為______.
7.設直線l經過點(-1,1),則當點(2,-1)與直線l的距離最大時,直線l的方程為______________.
8.若直線m被兩平行線l1:x-y+1=0與l2:x-y+3=0所截得的線段的長為2,則m的傾斜角可以是
14、①15?、?0?、?5?、?0?、?5
其中正確答案的序號是________.
三、解答題(共38分)
9.(12分)(2011福州模擬)k為何值時,直線l1:y=kx+3k-2與直線l2:x+4y-4=0的交點在第一象限.
10.(12分)已知點P1(2,3),P2(-4,5)和A(-1,2),求過點A且與點P1,P2距離相等的直線方程.
11.(14分)(2011杭州調研)過點P(3,0)作一直線,使它夾在兩直線l1:2x-y-2=0與l2:x+y+3=0之間的線段AB恰被點P平分,求
15、此直線的方程.
學案48 直線與直線的位置關系
自主梳理
1.(1)k1=k2且b1≠b2 =≠ (2)-1 0
2.解 交點 唯一解 3.(1)
(2) (3)②
自我檢測
1.D 2.B 3.A 4.C
5.
課堂活動區(qū)
例1 解題導引 運用直線的斜截式y(tǒng)=kx+b時,要特別注意直線斜率不存在時的特殊情況.運用直線的一般式Ax+By+C=0時,要特別注意A、B為0時的情況,求解兩直線平行或垂直有關的問題并與求直線方程相聯(lián)系,聯(lián)立方程組求解,對斜率不存在的情況,可考慮用數形結合的方法研究.
解 (1)由已知可得l2的斜
16、率必存在,且k2=1-a.
若k2=0,則a=1.由l1⊥l2,l1的斜率不存在,∴b=0.
又l1過(-3,-1),∴-3a+b+4=0,
∴b=3a-4=-1,矛盾.∴此情況不存在,即k2≠0.
若k2≠0,即k1=,k2=1-a.
由l1⊥l2,得k1k2=(1-a)=-1.
由l1過(-3,-1),得-3a+b+4=0,
解之得a=2,b=2.
(2)∵l2的斜率存在,l1∥l2,∴l(xiāng)1的斜率存在,
∴k1=k2,即=1-a.
又原點到兩直線的距離相等,且l1∥l2,
∴l(xiāng)1、l2在y軸上的截距互為相反數,即=b.
解之得或
∴a、b的值為2和-2或和2.
17、變式遷移1 解 (1)方法一 當a=1時,
l1:x+2y+6=0,
l2:x=0,l1與l2不平行;
當a=0時,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1與l2不平行;
當a≠1且a≠0時,兩直線可化為l1:y=-x-3,
l2:y=x-(a+1),
l1∥l2? 解得a=-1,
綜上可知,a=-1時,l1∥l2,否則l1與l2不平行.
方法二 由A1B2-A2B1=0,
得a(a-1)-12=0.
由A1C2-A2C1≠0,得a(a2-1)-16≠0,
∴l(xiāng)1∥l2??
∴a=-1,故當a=-1時,l1∥l2,否則l1與l2不平行.
(2)方法一 當a=1時,l
18、1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1與l2不垂直;
當a=0時,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1與l2不垂直;
當a≠1且a≠0時,l1:y=-x-3,
l2:y=x-(a+1),
由=-1?a=.
方法二 由A1A2+B1B2=0,
得a+2(a-1)=0?a=.
例2 解題導引?、俎D化思想的運用
??
??
②分類討論思想的運用
本題依據直線的位置關系將不能構成三角形的情況分成兩類,分類應注意按同一標準,不重不漏.
解 當三條直線共點或至少有兩條直線平行時,不能圍成三角形.
①三條直線共點時,
由得 (m2≠),
即l2與l3的交點為,
代入l
19、1的方程得4+7-4=0,
解得m=,或m=2.
②當l1∥l2時,4=7m,∴m=;
當l1∥l3時,43m=72,∴m=;
當l2∥l3時,3m2=2,即m=.
∴m取集合中的元素時,三條直線不能構成三角形.
變式遷移2 解 可以判斷A不在所給的兩條高所在的直線上,則可設AB,AC邊上的高所在直線的方程分別為2x-3y+1=0,x+y=0,
則可求得AB,AC邊所在直線的方程分別為
y-2=-(x-1),y-2=x-1,
即3x+2y-7=0,x-y+1=0.
由,得B(7,-7),
由,得C(-2,-1),
所以BC邊所在直線的方程為2x+3y+7=0.
例3
20、解題導引 在應用平行線間的距離公式求兩條平行線間的距離時,應注意公式的適用條件,即在兩條平行線的方程中x與y的系數化為分別對應相等的條件下,才能應用該公式.
如本例中求兩條直線2x-y+a=0與-4x+2y+1=0間的距離時,需將前一條直線化為-4x+2y-2a=0,或將后一條直線化為2x-y-=0后,再應用平行線間的距離公式.
解 (1)∵l1:4x-2y+2a=0 (a>0),l2:4x-2y-1=0,
∴兩條平行線l1與l2間的距離為d=,
由已知,可得=.
又a>0,可解得a=3.
(2)設點P的坐標為(x,y),
由條件①,可知x>0,y>0.
由條件②和③,
可得
21、,
化簡得,
于是可得,4|x+y-1|=|4x-2y-1|,
也就是4(x+y-1)=4x-2y-1,或4(x+y-1)=-4x+2y+1,
解得y=,或8x+2y-5=0.
當y=時,代入方程|2x-y+3|=|x+y-1|,
解得x=-3<0或x=-<0,均舍去.
由,
化簡得,或,
解得或(舍去).
即存在滿足題設條件的點P,其坐標為.
變式遷移3 解 方法一 若直線l的斜率不存在,則直線l的方程為x=3,此時與l1,l2的交點分別是A(3,-4),B(3,-9),截得的線段長|AB|=|-4+9|=5,符合題意.
當直線l的斜率存在時,則設直線l的方程為y=k
22、(x-3)+1,分別與直線l1,l2的方程聯(lián)立,
由 解得A.
由解得B.
由兩點間的距離公式,得
2+2=25,
解得k=0,即所求直線方程為y=1.
綜上可知,直線l的方程為x=3或y=1.
方法二 因為兩平行線間的距離
d==,
如圖,直線l被兩平行線截得的線段長為5,
設直線l與兩平行線的夾角為θ,
則sin θ=,所以θ=45.
因為兩平行線的斜率是-1,
故所求直線的斜率不存在或為0.
又因為直線l過點P(3,1),
所以直線l的方程為x=3或y=1.
課后練習區(qū)
1.B 2.C 3.B 4.C 5.D
6.-1 7.3x-2y+5=0 8.
23、①⑤
9.解 由,得.(5分)
∵兩直線的交點在第一象限,
∴,∴