學(xué)案48　直線與直線的位置關(guān)系 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標(biāo).3.掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離． 自主梳理 1．兩直線的位置關(guān)系 平面上兩條直線的位置關(guān)系包括平行、相交、重合三種情況． (1)兩直線平行 對于直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2， l1∥l2?________________________. 對于直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0， l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2B2C2≠0)， l1∥l2?________________________. (2)兩直線垂直 對于直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2， l1⊥l2?k1k2＝____. 對于直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0， l2：A2x＋B2y＋C2＝0， l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝____. 2．兩條直線的交點 兩條直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0， l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 如果兩直線相交，則交點的坐標(biāo)一定是這兩個方程組成的方程組的____；反之，如果這個方程組只有一個公共解，那么以這個解為坐標(biāo)的點必是l1和l2的________，因此，l1、l2是否有交點，就看l1、l2構(gòu)成的方程組是否有________． 3．有關(guān)距離 (1)兩點間的距離 平面上兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離|P1P2|＝__________________________________. (2)點到直線的距離 平面上一點P(x0，y0)到一條直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝________________________. (3)兩平行線間的距離 已知l1、l2是平行線，求l1、l2間距離的方法： ①求一條直線上一點到另一條直線的距離； ②設(shè)l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，則l1與l2之間的距離d＝________________. 自我檢測 1．(2011濟(jì)寧模擬)若點P(a,3)到直線4x－3y＋1＝0的距離為4，且點P在不等式2x＋y－3<0表示的平面區(qū)域內(nèi)，則實數(shù)a的值為(　　) A．7 B．－7 C．3 D．－3 2．若直線l1：y＝k(x－4)與直線l2關(guān)于點(2,1)對稱，則直線l2恒過定點(　　) A．(0,4) B．(0,2) C．(－2,4) D．(4，－2) 3．已知直線l1：ax＋by＋c＝0，直線l2：mx＋ny＋p＝0，則＝－1是直線l1⊥l2的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 4．(2009上海)已知直線l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0與l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，則k的值是(　　) A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2 5．已知2x＋y＋5＝0，則的最小值是________. 探究點一　兩直線的平行與垂直 例1　已知兩條直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0.求滿足以下條件的a、b的值： (1)l1⊥l2且l1過點(－3，－1)； (2)l1∥l2，且原點到這兩條直線的距離相等． 變式遷移1　已知直線l1：ax＋2y＋6＝0和直線l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0， (1)試判斷l(xiāng)1與l2是否平行； (2)l1⊥l2時，求a的值． 探究點二　直線的交點坐標(biāo) 例2　已知直線l1：4x＋7y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x＋3my－4＝0.當(dāng)m為何值時，三條直線不能構(gòu)成三角形． 變式遷移2　△ABC的兩條高所在直線的方程分別為2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，頂點A的坐標(biāo)為(1,2)，求BC邊所在直線的方程． 探究點三　距離問題 例3　(2011廈門模擬)已知三條直線：l1：2x－y＋a＝0 (a>0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0.且l1與l2的距離是. (1)求a的值； (2)能否找到一點P，使P同時滿足下列三個條件： ①點P在第一象限； ②點P到l1的距離是點P到l2的距離的； ③點P到l1的距離與點P到l3的距離之比是∶. 若能，求點P的坐標(biāo)；若不能，說明理由． 變式遷移3　已知直線l過點P(3,1)且被兩平行線l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的線段長為5，求直線l的方程． 轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用 例　(12分)已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2)．求： (1)點A關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標(biāo)； (2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程； (3)直線l關(guān)于點A(－1，－2)對稱的直線l′的方程． 【答題模板】 解　(1)設(shè)A′(x，y)，再由已知 ∴A′.[4分] (2)在直線m上取一點，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對稱點M′必在直線m′上．設(shè)對稱點M′(a，b)，則得M′.[6分] 設(shè)直線m與直線l的交點為N，則由 得N(4,3)． 又∵m′經(jīng)過點N(4,3)，∴由兩點式得直線m′的方程為9x－46y＋102＝0.[8分] (3)方法一　在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點， 如M(1,1)，N(4,3)，則M，N關(guān)于點A(－1，－2)的對稱點M′，N′均在直線l′上， 易得M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，[10分] 再由兩點式可得l′的方程為2x－3y－9＝0.[12分] 方法二　∵l∥l′，∴設(shè)l′的方程為2x－3y＋C＝0 (C≠1)， ∵點A(－1，－2)到兩直線l，l′的距離相等，∴由點到直線的距離公式得 ＝，解得C＝－9，[10分] ∴l(xiāng)′的方程為2x－3y－9＝0.[12分] 方法三　設(shè)P(x，y)為l′上任意一點， 則P(x，y)關(guān)于點A(－1，－2)的對稱點為P′(－2－x，－4－y)，[10分] ∵點P′在直線l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0， 即2x－3y－9＝0.[12分] 【突破思維障礙】 點關(guān)于直線對稱是軸對稱中最基本的，要抓住兩點：一是已知點與對稱點的連線與對稱軸垂直；二是已知點與對稱點為端點的線段中點在對稱軸上．直線關(guān)于點的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱，直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱． 【易錯點剖析】 (1)點關(guān)于線對稱，不能轉(zhuǎn)化為“垂直”及“線的中點在軸上”的問題． (2)線關(guān)于線對稱，不能轉(zhuǎn)化為點關(guān)于線的對稱問題；線關(guān)于點的對稱，不能轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱問題． 1．在兩條直線的位置關(guān)系中，討論最多的還是平行與垂直，它們是兩條直線的特殊位置關(guān)系．解題時認(rèn)真畫出圖形，有助于快速準(zhǔn)確地解決問題．判斷兩直線平行與垂直時，不要忘記考慮斜率不存在的情形，利用一般式則可避免分類討論． 2．運用公式d＝求兩平行直線間的距離時，一定要把x、y項系數(shù)化為相等的系數(shù)． 3．對稱思想是高考熱點，主要分為中心對稱和軸對稱兩種，關(guān)鍵要把握對稱問題的本質(zhì)，必要情況下可與函數(shù)的對稱軸建立聯(lián)系． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．直線3x＋2y＋4＝0與2x－3y＋4＝0(　　) A．平行 B．垂直 C．重合 D．關(guān)于直線y＝－x對稱 2．(2011六安月考)若直線x＋ay－a＝0與直線ax－(2a－3)y－1＝0互相垂直，則a的值是(　　) A．2 B．－3或1 C．2或0 D．1或0 3．已知直線l的傾斜角為，直線l1經(jīng)過點A(3,2)、B(a，－1)，且l1與l垂直，直線l2：2x＋by＋1＝0與直線l1平行，則a＋b等于(　　) A．－4 B．－2 C．0 D．2 4．P點在直線3x＋y－5＝0上，且點P到直線x－y－1＝0的距離為，則P點坐標(biāo)為(　　) A．(1,2) B．(2,1) C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2) 5．設(shè)兩條直線的方程分別為x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a、b是方程x2＋x＋c＝0的兩個實根，且0≤c≤，則這兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別是(　　) A.， B.， C.， D.， 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．(2011重慶云陽中學(xué)高三月考)直線l1：x＋my＋6＝0和l2：3x－3y＋2＝0，若l1∥l2，則m的值為______． 7．設(shè)直線l經(jīng)過點(－1,1)，則當(dāng)點(2，－1)與直線l的距離最大時，直線l的方程為______________． 8．若直線m被兩平行線l1：x－y＋1＝0與l2：x－y＋3＝0所截得的線段的長為2，則m的傾斜角可以是 ①15　②30?、?5?、?0?、?5 其中正確答案的序號是________． 三、解答題(共38分) 9．(12分)(2011福州模擬)k為何值時，直線l1：y＝kx＋3k－2與直線l2：x＋4y－4＝0的交點在第一象限． 10．(12分)已知點P1(2,3)，P2(－4,5)和A(－1,2)，求過點A且與點P1，P2距離相等的直線方程． 11．(14分)(2011杭州調(diào)研)過點P(3,0)作一直線，使它夾在兩直線l1：2x－y－2＝0與l2：x＋y＋3＝0之間的線段AB恰被點P平分，求此直線的方程． 學(xué)案48　直線與直線的位置關(guān)系 自主梳理 1．(1)k1＝k2且b1≠b2?。健佟?2)－1　0 2．解　交點　唯一解　3.(1) (2)　(3)② 自我檢測 1．D　2.B　3.A　4.C 5. 課堂活動區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　運用直線的斜截式y(tǒng)＝kx＋b時，要特別注意直線斜率不存在時的特殊情況．運用直線的一般式Ax＋By＋C＝0時，要特別注意A、B為0時的情況，求解兩直線平行或垂直有關(guān)的問題并與求直線方程相聯(lián)系，聯(lián)立方程組求解，對斜率不存在的情況，可考慮用數(shù)形結(jié)合的方法研究． 解　(1)由已知可得l2的斜率必存在，且k2＝1－a. 若k2＝0，則a＝1.由l1⊥l2，l1的斜率不存在，∴b＝0. 又l1過(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0， ∴b＝3a－4＝－1，矛盾．∴此情況不存在，即k2≠0. 若k2≠0，即k1＝，k2＝1－a. 由l1⊥l2，得k1k2＝(1－a)＝－1. 由l1過(－3，－1)，得－3a＋b＋4＝0， 解之得a＝2，b＝2. (2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴l(xiāng)1的斜率存在， ∴k1＝k2，即＝1－a. 又原點到兩直線的距離相等，且l1∥l2， ∴l(xiāng)1、l2在y軸上的截距互為相反數(shù)，即＝b. 解之得或 ∴a、b的值為2和－2或和2. 變式遷移1　解　(1)方法一　當(dāng)a＝1時， l1：x＋2y＋6＝0， l2：x＝0，l1與l2不平行； 當(dāng)a＝0時，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1與l2不平行； 當(dāng)a≠1且a≠0時，兩直線可化為l1：y＝－x－3， l2：y＝x－(a＋1)， l1∥l2?　解得a＝－1， 綜上可知，a＝－1時，l1∥l2，否則l1與l2不平行． 方法二　由A1B2－A2B1＝0， 得a(a－1)－12＝0. 由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－16≠0， ∴l(xiāng)1∥l2?? ∴a＝－1，故當(dāng)a＝－1時，l1∥l2，否則l1與l2不平行． (2)方法一　當(dāng)a＝1時，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1與l2不垂直； 當(dāng)a＝0時，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1與l2不垂直； 當(dāng)a≠1且a≠0時，l1：y＝－x－3， l2：y＝x－(a＋1)， 由＝－1?a＝. 方法二　由A1A2＋B1B2＝0， 得a＋2(a－1)＝0?a＝. 例2　解題導(dǎo)引?、俎D(zhuǎn)化思想的運用 ?? ?? ②分類討論思想的運用 本題依據(jù)直線的位置關(guān)系將不能構(gòu)成三角形的情況分成兩類，分類應(yīng)注意按同一標(biāo)準(zhǔn)，不重不漏． 解　當(dāng)三條直線共點或至少有兩條直線平行時，不能圍成三角形． ①三條直線共點時， 由得 (m2≠)， 即l2與l3的交點為， 代入l1的方程得4＋7－4＝0， 解得m＝，或m＝2. ②當(dāng)l1∥l2時，4＝7m，∴m＝； 當(dāng)l1∥l3時，43m＝72，∴m＝； 當(dāng)l2∥l3時，3m2＝2，即m＝. ∴m取集合中的元素時，三條直線不能構(gòu)成三角形． 變式遷移2　解　可以判斷A不在所給的兩條高所在的直線上，則可設(shè)AB，AC邊上的高所在直線的方程分別為2x－3y＋1＝0，x＋y＝0， 則可求得AB，AC邊所在直線的方程分別為 y－2＝－(x－1)，y－2＝x－1， 即3x＋2y－7＝0，x－y＋1＝0. 由，得B(7，－7)， 由，得C(－2，－1)， 所以BC邊所在直線的方程為2x＋3y＋7＝0. 例3　解題導(dǎo)引　在應(yīng)用平行線間的距離公式求兩條平行線間的距離時，應(yīng)注意公式的適用條件，即在兩條平行線的方程中x與y的系數(shù)化為分別對應(yīng)相等的條件下，才能應(yīng)用該公式． 如本例中求兩條直線2x－y＋a＝0與－4x＋2y＋1＝0間的距離時，需將前一條直線化為－4x＋2y－2a＝0，或?qū)⒑笠粭l直線化為2x－y－＝0后，再應(yīng)用平行線間的距離公式． 解　(1)∵l1：4x－2y＋2a＝0 (a>0)，l2：4x－2y－1＝0， ∴兩條平行線l1與l2間的距離為d＝， 由已知，可得＝. 又a>0，可解得a＝3. (2)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)， 由條件①，可知x>0，y>0. 由條件②和③， 可得， 化簡得， 于是可得，4|x＋y－1|＝|4x－2y－1|， 也就是4(x＋y－1)＝4x－2y－1，或4(x＋y－1)＝－4x＋2y＋1， 解得y＝，或8x＋2y－5＝0. 當(dāng)y＝時，代入方程|2x－y＋3|＝|x＋y－1|， 解得x＝－3<0或x＝－<0，均舍去． 由， 化簡得，或， 解得或(舍去)． 即存在滿足題設(shè)條件的點P，其坐標(biāo)為. 變式遷移3　解　方法一　若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x＝3，此時與l1，l2的交點分別是A(3，－4)，B(3，－9)，截得的線段長|AB|＝|－4＋9|＝5，符合題意． 當(dāng)直線l的斜率存在時，則設(shè)直線l的方程為y＝k(x－3)＋1，分別與直線l1，l2的方程聯(lián)立， 由　解得A. 由解得B. 由兩點間的距離公式，得 2＋2＝25， 解得k＝0，即所求直線方程為y＝1. 綜上可知，直線l的方程為x＝3或y＝1. 方法二　因為兩平行線間的距離 d＝＝， 如圖，直線l被兩平行線截得的線段長為5， 設(shè)直線l與兩平行線的夾角為θ， 則sin θ＝，所以θ＝45. 因為兩平行線的斜率是－1， 故所求直線的斜率不存在或為0. 又因為直線l過點P(3,1)， 所以直線l的方程為x＝3或y＝1. 課后練習(xí)區(qū) 1．B　2.C　3.B　4.C　5.D 6．－1　7.3x－2y＋5＝0　8.①⑤ 9．解　由，得.(5分) ∵兩直線的交點在第一象限， ∴，∴<k<1.(11分) 即當(dāng)<k<1時， 兩直線的交點在第一象限．(12分) 10．解　設(shè)所求直線為l，由于l過點A且與點P1，P2距離相等，所以有兩種情況， (1)當(dāng)P1，P2在l同側(cè)時，有l(wèi)∥P1P2，此時可求得l的方程為 y－2＝(x＋1)，即x＋3y－5＝0；(5分) (2)當(dāng)P1，P2在l異側(cè)時，l必過P1P2的中點(－1,4)，此時l的方程為x＝－1.(10分) ∴所求直線的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1. (12分) 11．解　設(shè)點A(x，y)在l1上， 由題意知∴點B(6－x，－y)，(6分) 解方程組 得　∴k＝＝8.(12分) ∴所求的直線方程為y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0. (14分) 10