△+△2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料△+△ 12.3 抽樣方法、總體分布的估計 一、知識梳理 （一）抽樣 1.簡單隨機(jī)抽樣：設(shè)一個總體的個體數(shù)為N．如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本，且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡單隨機(jī)抽樣 ⑴用簡單隨機(jī)抽樣從含有N個個體的總體中抽取一個容量為的樣本時，每次抽取一個個體時任一個體被抽到的概率為；在整個抽樣過程中各個個體被抽到的概率為； ⑵簡單隨機(jī)抽樣的特點是，逐個抽取，且各個個體被抽到的概率相等； ⑶簡單隨機(jī)抽樣方法，體現(xiàn)了抽樣的客觀性與公平性，是其他更復(fù)雜抽樣方法的基礎(chǔ)．（4）.簡單隨機(jī)抽樣的特點：它是不放回抽樣；它是逐個地進(jìn)行抽??；它是一種等概率抽樣 簡單抽樣常用方法： （1）抽簽法：先將總體中的所有個體（共有N個）編號（號碼可從1到N），并把號碼寫在形狀、大小相同的號簽上（號簽可用小球、卡片、紙條等制作）， 然后將這些號簽放在同一個箱子里，進(jìn)行均勻攪拌，抽簽時每次從中抽一個號簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個容量為n的樣本 適用范圍：總體的個體數(shù)不多時 優(yōu)點：抽簽法簡便易行，當(dāng)總體的個體數(shù)不太多時適宜采用抽簽法． 　 （2）隨機(jī)數(shù)表法： 隨機(jī)數(shù)表抽樣“三步曲”：第一步，將總體中的個體編號；第二步，選定開始的數(shù)字；第三步，獲取樣本號碼 2.系統(tǒng)抽樣:當(dāng)總體中的個體數(shù)較多時，可將總體分成均衡的幾個部分，然后按預(yù)先定出的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體，得到需要的樣本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣．系統(tǒng)抽樣的步驟：①采用隨機(jī)的方式將總體中的個體編號為簡便起見，有時可直接采用個體所帶有的號碼，如考生的準(zhǔn)考證號、街道上各戶的門牌號，等等 ②為將整個的編號分段（即分成幾個部分），要確定分段的間隔k當(dāng)（N為總體中的個體的個數(shù)，n為樣本容量）是整數(shù)時，k=;當(dāng)不是整數(shù)時，通過從總體中剔除一些個體使剩下的總體中個體的個數(shù)能被n整除，這時k=.③在第一段用簡單隨機(jī)抽樣確定起始的個體編號 ④按照事先確定的規(guī)則抽取樣本（通常是將加上間隔k，得到第2個編號+k,第3個編號+2k，這樣繼續(xù)下去，直到獲取整個樣本） ①系統(tǒng)抽樣適用于總體中的個體數(shù)較多的情況，它與簡單隨機(jī)抽樣的聯(lián)系在于：將總體均分后的每一部分進(jìn)行抽樣時，采用的是簡單隨機(jī)抽樣； ②與簡單隨機(jī)抽樣一樣，系統(tǒng)抽樣是等概率抽樣，它是客觀的、公平的． ③總體中的個體數(shù)恰好能被樣本容量整除時，可用它們的比值作為系統(tǒng)抽樣的間隔；當(dāng)總體中的個體數(shù)不能被樣本容量整除時，可用簡單隨機(jī)抽樣先從總體中剔除少量個體，使剩下的個體數(shù)能被樣本容量整除在進(jìn)行系統(tǒng)抽樣 3.分層抽樣: 當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時，為了使樣本更充分地反映總體的情況，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比例進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，所分成的部分叫做層 常用的抽樣方法及它們之間的聯(lián)系和區(qū)別： 類別 共同點 各自特點 相互聯(lián)系 適用范圍 簡單隨機(jī) 抽樣 抽樣過程中每個個體被抽取的概率是相同的 從總體中逐個抽取 總體中的個數(shù)比較少 系統(tǒng)抽樣 將總體均勻分成幾個部分，按照事先確定的規(guī)則在各部分抽取 在起始部分抽樣時采用簡單隨機(jī)抽樣 總體中的個數(shù)比較多 分層抽樣 將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取 各層抽樣時采用簡單抽樣或者相同抽樣 總體由差異明顯的幾部分組成 不放回抽樣和放回抽樣:在抽樣中，如果每次抽出個體后不再將它放回總體，稱這樣的抽樣為不放回抽樣；如果每次抽出個體后再將它放回總體，稱這樣的抽樣為放回抽樣． 隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣都是不放回抽樣 （二）總體分布 1.總體：在數(shù)理統(tǒng)計中，通常把被研究的對象的全體叫做總體. 2.頻率分布：用樣本估計總體，是研究統(tǒng)計問題的基本思想方法，樣本中所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻數(shù)和樣本容量的比，就是該數(shù)據(jù)的頻率.所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻率的分布變化規(guī)律叫做樣本的頻率分布.可以用樣本頻率表、樣本頻率分布條形圖或頻率分布直方圖來表示. 3.總體分布：從總體中抽取一個個體，就是一次隨機(jī)試驗，從總體中抽取一個容量為n的樣本，就是進(jìn)行了n次試驗，試驗連同所出現(xiàn)的結(jié)果叫隨機(jī)事件，所有這些事件的概率分布規(guī)律稱為總體分布. 4.總體密度曲線:樣本容量越大，所分組數(shù)越多，各組的頻率就越接近于總體在相應(yīng)各組取值的概率．設(shè)想樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線,這條曲線叫做總體密度曲線． 它反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的概率．根據(jù)這條曲線，可求出總體在區(qū)間(a，b)內(nèi)取值的概率等于總體密度曲線，直線x=a，x=b及x軸所圍圖形的面積． 二、基礎(chǔ)訓(xùn)練 1.一個總體中共有10個個體，用簡單隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一容量為3的樣本，則某特定個體入樣的概率是C A. B. C. D. 2.（2004年江蘇，6）某校為了了解學(xué)生的課外閱讀情況，隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生，得到他們在某一天各自課外閱讀所用時間的數(shù)據(jù)，結(jié)果用下面的條形圖表示.根據(jù)條形圖可得這50名學(xué)生這一天平均每人的課外閱讀時間為B 0.5 人數(shù)(人) 時間(小時) 20 10 5 0 1.0 1.5 2.0 15 A.0.6 h B.0.9 h C.1.0 h D.1.5 h 3.一個年級有12個班，每個班有50名同學(xué)，隨機(jī)編號為1～50號，為了了解他們在課外的興趣愛好，要求每班的33號學(xué)生留下來參加閱卷調(diào)查，這里運用的抽樣方法是D A.分層抽樣法 B.抽簽法 C.隨機(jī)數(shù)表法 D.系統(tǒng)抽樣法 4.為調(diào)查參加運動會的1000名運動員的年齡情況，從中抽查了100名運動員的年齡，就這個問題來說，下列說法正確的是 A.1000名運動員是總體 B.每個運動員是個體 C.抽取的100名運動員是樣本 D.樣本容量是100 解析：這個問題我們研究的是運動員的年齡情況.因此應(yīng)選D. 答案：D 5.一個容量為n的樣本，分成若干組，已知某數(shù)的頻數(shù)和頻率分別為40、0.125，則n的值為 A.640 B.320 C.240 D.160 解析：∵=0.125，∴n=320.故選B. 答案：B 6.某單位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，為了調(diào)查他們的健康狀況，需從他們中抽取一個容量為36的樣本，在簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣這三種方法中較合適的抽樣方法是___________. 解析：要研究的總體里各部分情況差異較大，因此用分層抽樣. 答案：分層抽樣 5.某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中成績分布如下表： 分?jǐn)?shù)段 ［0，80） ［80，90） ［90，100） 人數(shù) 2 ） 5 6 分?jǐn)?shù)段 ［100，110） ［110，120 ［120，130） 人數(shù) 8 12 6 分?jǐn)?shù)段 ［130，140） ［140，150） 人數(shù) 4 2 那么分?jǐn)?shù)在［100，110）中的頻率和分?jǐn)?shù)不滿110分的累積頻率分別是______________、_______（精確到0.01）. 解析：由頻率計算方法知：總?cè)藬?shù)=45. 分?jǐn)?shù)在［100，110）中的頻率為 =0.178≈0.18. 分?jǐn)?shù)不滿110分的累積頻率為=≈0.47. 答案：0.18 0.47 三、例題剖析 【例1】 （2004年湖南，5）某公司在甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150個、120個、180個、150個銷售點.公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本，記這項調(diào)查為①；在丙地區(qū)中有20個特大型銷售點，要從中抽取7個調(diào)查其銷售收入和售后服務(wù)情況，記這項調(diào)查為②.則完成①、②這兩項調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是 A.分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法 B.分層抽樣法，簡單隨機(jī)抽樣法 C.系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法 D.簡單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法 剖析：此題為抽樣方法的選取問題.當(dāng)總體中個體較多時宜采用系統(tǒng)抽樣；當(dāng)總體中的個體差異較大時，宜采用分層抽樣；當(dāng)總體中個體較少時，宜采用隨機(jī)抽樣. 依據(jù)題意，第①項調(diào)查應(yīng)采用分層抽樣法、第②項調(diào)查應(yīng)采用簡單隨機(jī)抽樣法.故選B. 答案：B 評述：采用什么樣的抽樣方法要依據(jù)研究的總體中的個體情況來定. 【例2】 （2004年福建，15）一個總體中有100個個體，隨機(jī)編號為0，1，2，…，99，依編號順序平均分成10個小組，組號依次為1，2，3，…，10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為10的樣本，規(guī)定如果在第1組隨機(jī)抽取的號碼為m，那么在第k小組中抽取的號碼個位數(shù)字與m+k的個位數(shù)字相同.若m=6，則在第7組中抽取的號碼是___________. 剖析：此問題總體中個體的個數(shù)較多，因此采用系統(tǒng)抽樣.按題目中要求的規(guī)則抽取即可. ∵m=6，k=7，m+k=13，∴在第7小組中抽取的號碼是63. 答案：63 評述：當(dāng)總體中個體個數(shù)較多而差異又不大時可采用系統(tǒng)抽樣.采用系統(tǒng)抽樣在每小組內(nèi)抽取時應(yīng)按規(guī)則進(jìn)行. 【例3】 把容量為100的某個樣本數(shù)據(jù)分為10組，并填寫頻率分布表，若前七組的累積頻率為0.79，而剩下三組的頻數(shù)成公比大于2的整數(shù)等比數(shù)列，則剩下三組中頻數(shù)最高的一組的頻數(shù)為___________. 剖析：已知前七組的累積頻率為0.79，而要研究后三組的問題，因此應(yīng)先求出后三組的頻率之和為1－0.79=0.21，進(jìn)而求出后三組的共有頻數(shù)，或者先求前七組共有頻數(shù)后，再計算后三組的共有頻數(shù). 由已知知前七組的累積頻數(shù)為0.79×100=79，故后三組共有的頻數(shù)為21，依題意=21，a1（1+q+q2）=21.∴a1=1，q=4.∴后三組頻數(shù)最高的一組的頻數(shù)為16. 答案：16 評述：此題剖析只按第二種思路給出了解答，你能按第一種思路來解嗎？ 【例4】 對某電子元件進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查，情況如下： 壽命（h） 100～200 200～300 300～400 400～500 500～600 個 數(shù) 20 30 80 40 30 （1）列出頻率分布表； （2）畫出頻率分布直方圖和累積頻率分布圖； （3）估計電子元件壽命在100～400 h以內(nèi)的概率； （4）估計電子元件壽命在400 h以上的概率. 剖析：通過本題可掌握總體分布估計的各種方法和步驟. 解：（1）頻率分布表如下： 壽命（h） 頻 數(shù) 頻 率 累積頻率 100～200 20 0.10 0.10 200～300 30 0.15 0.25 300～400 80 0.40 0.65 400～500 40 0.20 0.85 500～600 30 0.15 1 合 計 200 1 （2）頻率分布直方圖如下： （3）由累積頻率分布圖可以看出，壽命在100～400 h內(nèi)的電子元件出現(xiàn)的頻率為0.65，所以我們估計電子元件壽命在100～400 h內(nèi)的概率為0.65. （4）由頻率分布表可知，壽命在400 h以上的電子元件出現(xiàn)的頻率為0.20+0.15=0.35，故我們估計電子元件壽命在400 h以上的概率為0.35. 評述：畫頻率分布條形圖、直方圖時要注意縱、橫坐標(biāo)軸的意義. 【例5】 某批零件共160個，其中，一級品48個，二級品64個，三級品32個，等外品16個.從中抽取一個容量為20的樣本.請說明分別用簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣法抽取時總體中的每個個體被取到的概率均相同. 【例6】一個容量為100的樣本，數(shù)據(jù)的分組和各組的一些相關(guān)信息如下： 分 組 頻 數(shù) 頻 率 累積頻率 ［12，15) 6 ［15，18) 0.08 ［18，21) 0.30 ［21，24) 21 ［24，27) 0.69 ［27，30) 16 ［30，33］ 0.10 ［33，36) 1.00 合 計 100 1.00 （1）完成上表； （2）畫出頻率分布直方圖和累積頻率分布圖； （3）根據(jù)累積頻率分布圖，總體中小于22的樣本數(shù)據(jù)大約占多大的百分比? 〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓 四、同步練習(xí) g3.1099 抽樣方法、總體分布的估計 1．某公司甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150 個、120個、180個、150個銷售點．公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本，記這項調(diào)查為①；在丙地區(qū)中有20個特大型銷售點，要從中抽取7個調(diào)查其收入和售后服務(wù)等情況，記這項調(diào)查為②．則完成①、②這兩項調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是 （ B ） 分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法 分層抽樣法，簡單隨機(jī)抽樣法 系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法 簡單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法 2．已知樣本方差由，求得，則 ． 3．設(shè)有個樣本，其標(biāo)準(zhǔn)差為，另有個樣本，且 ，其標(biāo)準(zhǔn)差為，則下列關(guān)系正確的是 （ B ） 0.5 人數(shù)(人) 時間(小時) 20 10 5 0 1.0 1.5 2.0 15 4．某校為了了解學(xué)生的課外閱讀情況，隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生，得到他們在某一天各自課外閱讀所用時間的數(shù)據(jù)，結(jié)果用右側(cè)的條形圖表示. 根據(jù)條形圖可得這50名學(xué)生這一天平均每人的課外閱讀時間為 （ B ） 0.6小時 0.9小時 1.0小時 1.5小時 5．是的平均數(shù)，是的平均數(shù)，是的平均數(shù)，則，，之間的關(guān)系為． 6．某校有老師200人，男學(xué)生1200人，女學(xué)生1000人.現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有師生中抽取一個容量為的樣本；已知從女學(xué)生中抽取的人數(shù)為80人，則． 7．一個總體中有100個個體，隨機(jī)編號0，1，2，…，99，依編號順序平均分成10個小 組，組號依次為1，2，3，…，10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為10的樣本，規(guī)定如果在第1組隨機(jī)抽取的號碼為，那么在第組中抽取的號碼個位數(shù)字與的個位數(shù)字相同，若，則在第7組中抽取的號碼是 63 ． 8．在樣本的頻率分布直方圖中，共有個小長方形，若中間一個小長方形的面積等于其他個小長方形的面積之和的，且樣本容量為，則中間一組的頻數(shù)為 32 ． 9．某中學(xué)有員工人，其中中高級教師人，一般教師人，管理人員人，行政人員人，從中抽取容量為的一個樣本．以此例說明，無論使用三種常用的抽樣方法中的哪一種方法，總體中的每個個體抽到的概率都相同． 10. 現(xiàn)有30個零件，需從中抽取10個進(jìn)行檢查，問如何采用簡單隨機(jī)抽樣得到一個容量為10的樣本？ 乙 使用時間（h） 頻數(shù) 2100 1 2110 1 2120 5 2130 2 2140 1 甲 使用時間（h） 頻數(shù) 2100 1 2110 2 2120 3 2130 3 2140 1 11．質(zhì)檢部門對甲、乙兩種日光燈的使用時間進(jìn)行了破壞性試驗，10次試驗得到的兩 種日光燈的使用時間如下表所示，問：哪一種質(zhì)量相對好一些？ 12. 下表給出了某學(xué)校120名12歲男生的身高統(tǒng)計分組與頻數(shù)（單位：cm）． 區(qū)間 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) [146,150) [150,154) [154,158) 人數(shù) 5 8 10 22 33 20 11 6 5 （1）列出樣本的頻率分布表（含累積頻率）； （2）畫出頻率分布直方圖； （3）根據(jù)累積頻率分布，估計小于134的數(shù)據(jù)約占多少百分比． 13. 為檢測某種產(chǎn)品的質(zhì)量，抽取了一個容量為30的樣本，檢測結(jié)果為一級品5件，二級品8件，三級品13件，次品4件。 （1）列出樣本的頻率分布表； （2）畫出表示樣本頻率分布的條形圖； （3）根據(jù)上述結(jié)果，估計此種產(chǎn)品為二級品或三級品的概率約是多少？ 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品