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1、△+△2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料△+△ g3.1069棱錐 一. 知識回顧: 棱錐：棱錐是一個面為多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形. [注]：①一個棱錐可以四各面都為直角三角形. ②一個棱柱可以分成等體積的三個三棱錐；所以. ⑴①正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點在底面的射影為底面的中心. [注]：i. 正四棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形.（不是等邊三角形） ii. 正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正△側(cè)棱與底棱不一定相等 iii. 正棱錐定義的推論：若一個棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形（即側(cè)棱相等）；底面為正多邊形. ②正棱錐的側(cè)面積：（底面周長為，斜

2、高為） ③棱錐的側(cè)面積與底面積的射影公式：（側(cè)面與底面成的二面角為） 附： 以知⊥，，為二面角. 則①，②，③ ①②③得. 注：S為任意多邊形的面積（可分別多個三角形的方法）. ⑵棱錐具有的性質(zhì)： ①正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）. ②正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個直角三角形. ⑶特殊棱錐的頂點在底面的射影位置： ①棱錐的側(cè)棱長均相等，則頂點在底面上的射影為底面

3、多邊形的外心. ②棱錐的側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心. ③棱錐的各側(cè)面與底面所成角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心. ④棱錐的頂點到底面各邊距離相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心. ⑤三棱錐有兩組對棱垂直，則頂點在底面的射影為三角形垂心. ⑥三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點在底面上的射影為三角形的垂心. ⑦每個四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點，此點到各頂點的距離等于球半徑； ⑧每個四面體都有內(nèi)切球，球心是四面體各個二面角的平分面的交點，到各面的距離等于半徑. [注]：i. 各個側(cè)面都是等腰三角形，且底面是正方

4、形的棱錐是正四棱錐.（）（各個側(cè)面的等腰三角形不知是否全等） ii. 若一個三角錐，兩條對角線互相垂直，則第三對角線必然垂直. 簡證：AB⊥CD，AC⊥BD BC⊥AD. 令 得，已知 則. iii. 空間四邊形OABC且四邊長相等，則順次連結(jié)各邊的中點的四邊形一定是矩形. iv. 若是四邊長與對角線分別相等，則順次連結(jié)各邊的中點的四邊是一定是正方形. 簡證：取AC中點，則平面90易知EFGH為平行四邊形EFGH為長方形.若對角線等，則為正方形. 二. 基礎(chǔ)訓(xùn)練: 1．給出下列命題： ①底面是正多邊形的棱錐是正棱錐； ②側(cè)棱都相等的棱錐是正棱錐； ③側(cè)棱和底面成等角的

5、棱錐是正棱錐； ④側(cè)面和底面所成二面角都相等的棱錐是正棱錐，其中正確命題的個數(shù)是( ) 2．如果三棱錐的底面是不等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等，且頂點在底面的射影在內(nèi)，那么是的( ) 垂心 重心 外心 內(nèi)心 ．已知三棱錐的三個側(cè)面與底面全等，且 ，，則以為棱，以面與面為面的二面角的大小是( ) 4、若一個三棱錐中，有一條棱長為a，其余棱長均為1，則其體積取得最大值時的值為（ ） A、1 B、 C、

6、 D、 三.例題分析: 例1．正四棱錐中，高，兩相鄰側(cè)面所成角為 ，, (1)求側(cè)棱與底面所成的角。(2)求側(cè)棱 長、底面邊長和斜高(見圖)。 解：（1） 作于，連結(jié)，則且，故是相鄰側(cè)面所成二面角的平面角，連結(jié)，則， ，在與中， ＝＝(其中為與底面所成的角，設(shè)為) 故 。 （2）在 中，側(cè)棱=，， ∴邊長；取的中點，連結(jié)，則是正四棱錐的斜高， 在中，斜高； 例2．如圖正三棱錐中，底面邊長為，側(cè)棱長為，若經(jīng)過對角線且與對角線平行的平面交上底面

7、于。（1）試確定點的位置，并證明你的結(jié)論；（2）求平面與側(cè)面所成的角及平面與底面所成的角；（3）求到平面的距離。 解：（1）為的中點。連結(jié)與交于，則為的中點，為平面 與平面的交線，∵//平面 ∴//，∴為的中點。 （2）過作于，由正三棱錐的性質(zhì)，平面，連結(jié)，則為平面與側(cè)面所成的角的平面角，可求得， 由，得，∴ ∵為的中點，∴，由正三棱錐的性質(zhì)，，∴平面 ∴，∴是平面與上底面所成的角的平面角，可求得 ，∴ （3）過作，∵平面，∴，∴平面 即是到平面的距離，，∴ 圖31—3 P C1 C B A A1 B1 例3．如圖，已知三棱錐的側(cè)面是底角為的等腰三角形，

8、，且該側(cè)面垂直于底面，，，， (1)求證：二面角是直二面角； (2)求二面角的正切值； 圖31－31 P C1 C B A E A1 B1 D (3)若該三棱錐被平行于底面的平面所截，得到一個幾何體，求幾何體的側(cè)面積． 證 (1) 如圖，在三棱錐中，取的中點． 由題設(shè)知是等腰直角三角形，且．∴ ． ∵ 平面平面，∴ 平面 ， ∵ ∴ ，∴ 平面， ∵ 平面 ， ∴平面平面， 即二面角是直二面角． 解 (2)作，為垂足，則 ．∴ 是二面角的平面角．在中，，則 由，得 ＝＝，

9、 ∴ 所求正切為＝． (3) ∵ ∴ 分別是的中點． ∴ ， ． ∵ ＝＝， ． ∴ ，∴ 幾何體的側(cè)面積 四、作業(yè) 同步練習(xí)g3.1069 棱錐 1．給出下列命題： ①底面是正多邊形的棱錐是正棱錐； ②側(cè)棱都相等的棱錐是正棱錐； ③側(cè)棱和底面成等角的棱錐是正棱錐； ④側(cè)面和底面所成二面角都相等的棱錐是正棱錐，其中正確命題的個數(shù)是( ) 2．如果三棱錐的底面是不等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等，且頂點在底面的射影在內(nèi)，那么是的( ) 垂心 重心 外

10、心 內(nèi)心 ．已知三棱錐的三個側(cè)面與底面全等，且 ，，則以為棱，以面與面為面的二面角的大小是( ) 4、若P是正四面體內(nèi)一點，P到各面距離之和是一個定值，這個定值等于（ ） A、正四面體的棱長 B、正四面體的斜高 C、正四面體相對棱間的距離 D、正四面體的高 5、若一個三棱錐中，有一條棱長為a，其余棱長均為1，則其體積取得最大值時的值為（ ） A、1 B、 C、

11、D、 6、一棱錐被平行于底面的平面所截，若截面面積與底面面積之比為1：3，則此截面把一條側(cè)棱分成的兩線段之比為（ ） A、1：3 B、1：2 C、1： D、1： 7、正三棱錐的高是，側(cè)棱長是，那么側(cè)面和底面所成的二面角的大小是 . 8、三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且長度分別為1cm,2cm,3cm，則此棱錐的體積為 。 9、已知三棱錐A-BCD的體積為V，棱BC的長為a，面ABC和面DBC的面積分別為S1和S2，設(shè)面ABC和面DBC所成二面角為，則＝ . 10

12、、三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=AB=AC=a，則該三棱錐表面積S的取值范圍是 ；體積V的取值范圍是 . 11．如圖，已知三棱錐的側(cè)面是底角為的等腰三角形，，且該側(cè)面垂直于底面，，，， (1)求證：二面角是直二面角； (2)求二面角的正切值； P C1 C B A A1 B1 (3)若該三棱錐被平行于底面的平面所截，得到一個幾何體，求幾何體的側(cè)面積． 12、已知在四面體ABCD中，= a，= b，= c，G∈平面ABC． （1）若G為△AB

13、C的重心，試證明(a+b+c)； A B C D G P （2）試問（1）的逆命題是否成立？并證明你的結(jié)論． 參考答案 ADCDDD 7、 8、1cm3 9、 10、 11、證 (1) 如圖，在三棱錐中，取的中點． 圖31－31 P C1 C B A E A1 B1 D 由題設(shè)知是等腰直角三角形，且．∴ ． ∵ 平面平面，∴ 平面 ， ∵ ∴ ，∴ 平面， ∵ 平面 ， ∴平面平面， 即二面角是直二面角．

14、 解 (2)作，為垂足，則 ．∴ 是二面角的平面角．在中，，則 由，得 ＝＝， ∴ 所求正切為＝． (3) ∵ ∴ 分別是的中點． ∴ ， ． ∵ ＝＝， ． ∴ ，∴ 幾何體的側(cè)面積 12、解：（1）連AG交BC于D，則D平分BC，且G分所成的比為2∶1，從而 ， ， 故． （2）逆命題成立，證明如下： 設(shè)D分所成的比為p，G分所成的比為q． 則， ， 于是， = 因(a+b+c)，故， 解得q =2，p = 1，于是G為△ABC的重心． 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品