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1、△+△2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料△+△
第一節(jié) 直線的傾斜角與斜率、直線的方程
考點一
直線的傾斜角與斜率
[例1] (1)直線xsin α+y+2=0的傾斜角的取值范圍是( )
A.[0,π) B.∪
C. D.∪
(2)直線l過點P(1,0),且與以A(2,1),B(0,)為端點的線段有公共點,則直線l斜率的取值范圍為________.
[自主解答] (1)設(shè)直線的傾斜角為θ,則有tan θ=-sin α,其中sin α∈[-1,1].又θ∈[0,π),所以0≤θ ≤或≤ θ<π.
(2)
如右圖,∵kAP
2、==1,
kBP==-,
∴k∈(-∞,- ]∪[1,+∞).
[答案] (1)B (2)(-∞,- ]∪[1,+∞)
【互動探究】
若將P(1,0)改為P(-1,0),其他條件不變,求直線l斜率的取值范圍.
解:∵P(-1,0),A(2,1),B(0,),
∴kAP==,
kBP==.
如圖可知,直線l斜率的取值范圍為.
【方法規(guī)律】
斜率的求法
(1)定義法:若已知直線的傾斜角α或α的某種三角函數(shù)值,一般根據(jù)k=tan α求斜率;
(2)公式法:若已知直線上兩點A(x1,y1),B(x2,y2),一般根據(jù)斜率公式k=(x1≠x2)求斜率.
3、
1.已知兩點A(-3, ),B(,-1),則直線AB的斜率是( )
A. B.- C. D.-
解析:選D 因為A(-3,),B(,-1),所以斜率k==-.
2.設(shè)直線ax+by+c=0的傾斜角為α,且sin α+cos α=0,則a,b滿足( )
A.a(chǎn)+b=1 B.a(chǎn)-b=1
C.a(chǎn)+b=0 D.a(chǎn)-b=0
解析:選D 因為sin α+cos α=0,
所以tan α=-1.
又因為α為傾斜角,所以斜率k=-1.
而直線ax+by+c=0的斜率k=-,
所以-=-1,即a-b=
4、0.
考點二
直線的平行與垂直的判斷及應(yīng)用
[例2] (1)過點(1,0)且與直線x-2y-2=0平行的直線方程是( )
A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0
(2)(2014青島模擬)已知a≠0,直線ax+(b+2)y+4=0與直線ax+(b-2)y-3=0互相垂直,則ab的最大值為 ( )
A.0 B.2 C.4 D.
[自主解答] (1)因為所求直線與直線x-2y-2=0平行,所以設(shè)所求直線方程為x-2y+c=0,又因為該直線過點(1,
5、0),所以1-20+c=0,即c=-1,因此,所求直線方程為x-2y-1=0.
(2)若b=2,兩直線方程為y=-x-1和x=,此時兩直線相交但不垂直.
若b=-2,兩直線方程為x=-和y=x-,此時兩直線相交但不垂直.
若b≠2,此時,兩直線方程為y=-x-和y=-x+,此時兩直線的斜率分別為-,-,由-=-1,得a2+b2=4.
因為a2+b2=4≥2ab,所以ab≤2,即ab的最大值是2,當且僅當a=b=時取等號.
[答案] (1)A (2)B
【方法規(guī)律】
用一般式確定兩直線位置關(guān)系的方法[來源:]
直線方程
l1:A1x+B1y+C1=0(A+B≠0)
l2:A2
6、x+B2y+C2=0(A+B≠0)
l1與l2垂直
的充要條件
A1A2+B1B2=0
l1與l2平行
的充分條件
=≠(A2B2C2≠0)
l1與l2相交
的充分條件
≠(A2B2≠0)
l1與l2重合
的充分條件
==(A2B2C2≠0)
[來源:]
1.已知兩條直線y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,則a=________.
解析:因為兩直線垂直,所以a(a+2)+1=0,解得a=-1.
答案:-1
2.若直線ax+2y+3a=0與直線3x+(a-1)y=-7+a平行,則實數(shù)a的值為________.
解析:顯然當a=1時兩直線不平行;當a
7、≠1時,k1=-,k2=,因為兩條直線平行,所以k1=k2,解得a=3或a=-2.經(jīng)檢驗,a=-2時兩直線重合,故a=3.
答案:3
高頻考點
考點三 直 線 方 程
1.直線方程是解析幾何的一個基礎(chǔ)內(nèi)容,在高考中經(jīng)常與其他知識結(jié)合考查,多以選擇、填空題的形式呈現(xiàn),難度不大,多為中、低檔題目.
2.高考中對直線方程的考查主要有以下幾個命題角度:
(1)已知兩個獨立條件,求直線方程;
(2)已知直線方程,求直線的傾斜角、斜率;[來源:]
(3)已知直線方程,判斷兩直線的位置關(guān)系;
(4)已知直線方程及其他條件,求參數(shù)值或范圍.
[例3] (1)(201
8、4泉州模擬)若點(m,n)在直線4x+3y-10=0上,則m2+n2的最小值是( )
A.2 B.2 C.4 D.2
(2)直線l經(jīng)過點P(3,2)且與x軸、y軸的正半軸分別交于A,B兩點.△OAB的面積為12,則直線l的方程是____________________________________________________________.
[自主解答] (1)因為點(m,n)在直線4x+3y-10=0上,所以4m+3n-10=0,利用m2+n2表示為直線上的點到原點距離的平方的最小值來分析可知,m2+n2的最小值為4.
(2)法一:設(shè)直
9、線l的方程為+=1(a>0,b>0).
則有+=1,且ab=12.
解得a=6,b=4.
所以所求直線l的方程為+=1,
即2x+3y-12=0.
法二:設(shè)直線l的方程為y-2=k(x-3)(k<0),
令x=0,得y=2-3k>0;
令y=0,得x=3->0.
所以S△OAB=(2-3k)=12,解得k=-,
故所求直線方程為y-2=-(x-3),即2x+3y-12=0.
[答案] (1)C (2)2x+3y-12=0
與直線方程有關(guān)問題的常見類型及解題策略
(1)求直線方程.弄清確定直線的兩個條件,由直線方程的幾種特殊形式直接寫出方程.
(2)求直線的傾斜角和
10、斜率.直線Ax+By+C=0.若B=0,直線的斜率不存在,傾斜角為90;若B≠0,則斜率k=-,然后再求傾斜角.
(3)判斷兩條直線的位置關(guān)系.可由兩直線的斜率以及在y軸上的截距來判斷兩直線的位置關(guān)系.
(4)求參數(shù)值或范圍.注意點在直線上,則點的坐標適合直線的方程,再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解.
1.(2013山東高考)過點(3,1)作圓(x-1)2+y2=1的兩條切線,切點分別為A,B,則直線AB的方程為( )
A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0
C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0
11、
解析:
選A 如圖所示,圓心坐標為C(1,0),易知A(1,1).
又kABkPC=-1,且kPC==,
則kAB=-2.
故直線AB的方程為y-1=-2(x-1).
即2x+y-3=0.[來源:]
2.(2013廣東高考)垂直于直線y=x+1且與圓x2+y2=1相切于第一象限的直線方程是( )
A.x+y-=0 B.x+y+1=0
C.x+y-1=0 D.x+y+=0
解析:選A 因為所求直線與y=x+1垂直,所以可設(shè)直線方程x+y+c=0.
又因為該直線與圓x2+y2=1相切.
所以=
12、=1,∴c=,
又因為切點在第一象限,所以c=-.
即切線方程為x+y-=0.
3.(2014遼寧六校聯(lián)考)已知直線l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0與l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,則k的值是________.
解析:當k=4時,直線l1的斜率不存在,直線l2的斜率為1,兩直線不平行;當k≠4時,兩直線平行的一個必要條件是=k-3,解得k=3或k=5,但必須滿足截距不相等,經(jīng)檢驗,知k=3或k=5時兩直線的截距都不相等,故k=3或k=5.
答案:3或5
———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
1個關(guān)系——直線的傾斜角和
13、斜率的關(guān)系
(1)任何直線都存在傾斜角,但并不是任意直線都存在斜率.[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
(2)直線的傾斜角α和斜率k之間的對應(yīng)關(guān)系:
α
0
0<α<90
90
90<α<180
k
0
k>0
不存在
k<0
3個注意點——與直線方程的適用條件、截距、斜率有關(guān) 問題的注意點
(1)明確直線方程各種形式的適用條件
點斜式、斜截式方程適用于不垂直于x軸的直線;兩點式方程不能表示垂直于x、y軸的直線;截距式方程不能表示垂直于坐標軸和過原點的直線.
(2)截距不是距離,距離是非負值,而截距可正可負,可為零,在與截距有關(guān)的問題中,要注意討論截距是否為零.
(3)求直線方程時,若不能斷定直線是否具有斜率時,應(yīng)注意分類討論,即應(yīng)對斜率是否存在加以討論.
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