《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第五章 ：第三節(jié)　等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和突破熱點(diǎn)題型》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第五章 ：第三節(jié)　等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和突破熱點(diǎn)題型（5頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、△+△2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料△+△ 第三節(jié)　等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 [來源:] 考點(diǎn)一 等比數(shù)列的判定與證明 　 [例1]　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求證：{bn}是等比數(shù)列． [自主解答]　an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an. ＝＝＝＝2， ∵S2＝a1＋a2＝4a1＋2，∴a2＝5. ∴b1＝a2－2a1＝3. ∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列． 【互動(dòng)探究】 保持本例條件不變，若cn＝，證明：{cn}是等比數(shù)列

2、． 證明：由例題知，bn＝32n－1＝an＋1－2an， ∴－＝3. ∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列． ∴＝2＋(n－1)3＝3n－1， ∴an＝(3n－1)2n－2，∴cn＝2n－2. ∴＝＝2. ∴數(shù)列{cn}為等比數(shù)列．　　　　 【方法規(guī)律】 等比數(shù)列的判定方法 證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項(xiàng)法，其他方法只用于選擇、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可． 已知等比數(shù)列{an}的公比為q，記bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1am(n－1)＋

3、2…am(n－1)＋m(m，n∈N*)，則以下結(jié)論一定正確的是(　　) A．?dāng)?shù)列{bn}為等差數(shù)列，公差為qm B．?dāng)?shù)列{bn}為等比數(shù)列，公比為q2m C．?dāng)?shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為qm2 D．?dāng)?shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為qmm 解析：選C　bn＝am(n－1)＋1(1＋q＋q2＋…＋qm－1)，＝＝qm，故數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，公比為qm，選項(xiàng)A、B均錯(cuò)誤；cn＝aq1＋2＋…＋(m－1)，＝＝m＝(qm)m＝qm2，故數(shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為qm2，D錯(cuò)誤，故選C. 高頻考點(diǎn) 考點(diǎn)二 等比數(shù)列的基本運(yùn)算　　[來源:] 1．等比數(shù)列的基本運(yùn)

4、算是高考的?？純?nèi)容，題型既有選擇、填空題，也有解答題，難度適中，屬中低檔題． 2．高考對等比數(shù)列的基本運(yùn)算的考查常有以下幾個(gè)命題角度： (1)化基本量求通項(xiàng)； (2)化基本量求特定項(xiàng)； (3)化基本量求公比； (4)化基本量求和． [例2]　(1)(2013新課標(biāo)全國卷Ⅱ)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，則a1＝(　　) A. B．－ C. D．－ (2)(2012浙江高考)設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，則q＝________. (3

5、)(2013湖北高考)已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S4，S2，S3成等差數(shù)列，且a2＋a3＋a4＝－18. ①求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； ②是否存在正整數(shù)n，使得Sn≥2 013？若存在，求出符合條件的所有n的集合；若不存在，說明理由． [自主解答]　(1)由已知條件及S3＝a1＋a2＋a3，得a3＝9a1，設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則q2＝9. 所以a5＝9＝a1q4＝81a1，得a1＝. (2)由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2作差，可得a3＋a4＝3a4－3a2，即2a4－a3－3a2＝0，所以2q2－q－3＝0，解得q＝或q＝－1(舍)． (3)①設(shè)數(shù)列{an}

6、的公比為q，則a1≠0，q≠0. 由題意得 即解得 故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3(－2)n－1. ②由①有Sn＝＝1－(－2)n.[來源:] 若存在n，使得Sn≥2 013，則1－(－2)n≥2 013， 即(－2)n≤－2 012. 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，(－2)n>0，上式不成立； 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，(－2)n＝－2n≤－2 012， 即2n≥2 012，則n≥11. 綜上，存在符合條件的正整數(shù)n，且所有這樣的n的集合為{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}． [答案]　(1)C　(2) 等比數(shù)列基本量運(yùn)算問題的常見類型及解題策略 (1)化基本量求通項(xiàng)．求等比數(shù)列的兩

7、個(gè)基本元素a1和q，通項(xiàng)便可求出，或利用知三求二，用方程求解． (2)化基本量求特定項(xiàng)．利用通項(xiàng)公式或者等比數(shù)列的性質(zhì)求解． (3)化基本量求公比．利用等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，建立方程組求解． (4)化基本量求和．直接將基本量代入前n項(xiàng)和公式求解或利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解． 1．(2013新課標(biāo)全國卷Ⅰ)設(shè)首項(xiàng)為1，公比的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則(　　) A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2 C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an 解析：選D　因?yàn)閍1＝1，公比q＝，所以an＝n－1， Sn＝＝3＝3

8、－2n－1＝3－2an. 2．(2014寧波模擬)已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________. 解析：設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q， ∵a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1， ∴ 由①得a1＝q， 由②知q＝2或q＝， 又?jǐn)?shù)列{an}為遞增數(shù)列， ∴a1＝q＝2，從而an＝2n. 答案：2n 3．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1，S3，S2成等差數(shù)列． (1)求{an}的公比q； (2)若a1－a3＝3，求Sn. 解：(1)∵S1，S3，S2成等差數(shù)列， ∴

9、a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)． 由于a1≠0，故2q2＋q＝0， 又q≠0，從而q＝－. (2)由已知可得a1－a12＝3，故a1＝4， 從而Sn＝＝. 考點(diǎn)三 等比數(shù)列的性質(zhì) 　 [例3]　(1)已知等比數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，則前9項(xiàng)之和等于(　　) A．50 B．70 C．80 D．90 (2)已知{an}為等比數(shù)列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，則a1＋a10＝(　　) A．7 B．5 C．－5 D．－7[來源:

10、] [自主解答]　(1)∵S3，S6－S3，S9－S6成等比數(shù)列， ∴S3(S9－S6)＝(S6－S3)2， 又S3＝40，S6＝40＋20＝60， ∴40(S9－60)＝202，故S9＝70. (2)由已知得 解得或 當(dāng)a4＝4，a7＝－2時(shí)，易得a1＝－8，a10＝1，從而a1＋a10＝－7；[來源:] 當(dāng)a4＝－2，a7＝4時(shí)，易得a10＝－8，a1＝1，從而a1＋a10＝－7. [答案]　(1)B　(2)D 【方法規(guī)律】 等比數(shù)列常見性質(zhì)的應(yīng)用 等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用可以分為三類：(1)通項(xiàng)公式的變形；(2)等比中項(xiàng)的變形；(3)前n項(xiàng)和公式的變形．根據(jù)題目條件

11、，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口． 1．記等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn(n∈N*)，已知am－1am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，則m的值為(　　) A．4 B．7 C．10 D．12 解析：選A　因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，所以am－1am＋1＝a， 又由am－1am＋1－2am＝0，可知am＝2. 由等比數(shù)列的性質(zhì)可知前(2m－1)項(xiàng)積T2m－1＝a，即22m－1＝128，故m＝4. 2．在等比數(shù)列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，則a41a42a43a44＝__

12、______. 解析：法一：a1a2a3a4＝a1a1qa1q2a1q3＝aq6＝1，① a13a14a15a16＝a1q12a1q13a1q14a1q15＝aq54＝8，② 由②①，得＝q48＝8?q16＝2， 又a41a42a43a44＝a1q40a1q41a1q42a1q43＝aq166＝aq6q160＝(aq6)(q16)10＝1210＝1 024. 法二：由性質(zhì)可知，依次4項(xiàng)的積為等比數(shù)列， 設(shè)公比為q， T1＝a1a2a3a4＝1，T4＝a13a14a16＝8， ∴T4＝T1q3＝1q3＝8，即q＝2. ∴T11＝a41a42a43a44＝T1q10＝210＝1

13、024. 答案：1 024 ——————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 2個(gè)注意點(diǎn)——應(yīng)用等比數(shù)列的公比應(yīng)注意的問題 　(1)由an＋1＝qan(q≠0)，并不能斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a1≠0. (2)在應(yīng)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對q＝1和q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情況而導(dǎo)致錯(cuò)誤． 4種方法——等比數(shù)列的判定方法 　(1)定義法：若＝q(q為非零常數(shù))或＝q(q為非零 常數(shù)且n≥2)，則{an}是等比數(shù)列； (2)等比中項(xiàng)法：在數(shù)列{an}中，an≠0且a＝anan＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列； (3)通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成an＝cqn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列； (4)前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝kqn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列． 注意：前兩種方法也可用來證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列． 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品