《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第九章 :第一節(jié)變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算突破熱點(diǎn)題型》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第九章 :第一節(jié)變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算突破熱點(diǎn)題型(6頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
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第一節(jié) 變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算
[來源:]
考點(diǎn)一
導(dǎo)數(shù)的計(jì)算
[例1] 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):[來源:]
(1)y=(1-);(2)y=;
(3)y=tan x; (4)y=3xex-2x+e;
(5)y=.
[自主解答] (1)∵y=(1-)=-=x--x,
∴y′=(x-)′-(x)′=-x--x-.
(2)y′=′===.
(3)y′=′===.
(4)y′=(3xex)′-(2x)′+e′=(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′=3x(ln 3)ex+3xex-2xln 2=
2、(ln 3+1)(3e)x-2xln 2.
(5)y′=
==.
【互動(dòng)探究】
若將本例(3)中“tan x”改為“sin ”,應(yīng)如何求解?
解:∵y=sin =-sin cos =-sin x,∴y′=-cos x.
【方法規(guī)律】
導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法
(1)連乘積形式:先展開化為多項(xiàng)式的形式,再求導(dǎo).
(2)分式形式:觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù),再求導(dǎo).
(3)對(duì)數(shù)形式:先化為和、差的形式,再求導(dǎo).
(4)根式形式:先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,再求導(dǎo).
(5)三角形式:先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式,再求導(dǎo).
(6)復(fù)合函數(shù):確
3、定復(fù)合關(guān)系,由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).
求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):
(1)y=;(2)y=(x+1)(x+2)(x+3);(3)y=+;(4)y=;(5)y=+e2x.
解:(1)∵y==x-+x3+,
y′=(x-)′+(x3)′+(x-2sin x)′=-x-+3x2-2x-3sin x+x-2cos x.
(2)∵y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,∴y′=3x2+12x+11.
(3)∵y=+=,∴y′=′==.
(4)∵y==cos x-sin x,∴y′=-sin x-cos x.
(5)y′=(3-x)-(3-x)′+e2x(2x)′=-(3-x)
4、-+2e2x.
[例2] (1)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x),且滿足f(x)=2xf′(1)+ln x,則f′(1)=( )
A.-e B.-1 C.1 D.e
(2)等比數(shù)列{an}中,a1=2,a8=4,函數(shù)f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8),則f′(0)=( )
A.26 B.29 C.212 D.215
(3)(2013江西高考)設(shè)函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)可導(dǎo),且f(ex)=x+ex,則f′(1)=________.
[自主解答] (1)∵f(x)=2xf′(1)+ln x,∴f′(
5、x)=′+(ln x)′=2f′(1)+,
∴f′(1)=2f′(1)+1,即f′(1)=-1.
(2)因?yàn)閒′(x)=x′+′x=(x-a1)(x-a2)…(x-a8)+′x,所以f′(0)=(0-a1)(0-a2)…(0-a8)+0=a1a2…a8.因?yàn)閿?shù)列{an}為等比數(shù)列,所以a2a7=a3a6=a4a5=a1a8=8,所以f′(0)=84=212.
(3)令t=ex,故x=ln t,所以f(t)=ln t+t,即f(x)=ln x+x,所以f′(x)=+1,所以f′(1)=2.
[答案] (1)B (2)C (3)2
【方法規(guī)律】
導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的兩個(gè)技巧
(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
6、要準(zhǔn)確地把函數(shù)分解為基本初等函數(shù)的和、差、積、商,再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù).
(2)在求導(dǎo)過程中,要仔細(xì)分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征,緊扣法則,記準(zhǔn)公式,預(yù)防犯運(yùn)算錯(cuò)誤.
1.若函數(shù)f(x)=cos x+2xf′,則f與f的大小關(guān)系是( )
A.f=f B.f>f[來源:]
C.ff.
2.(2014臺(tái)州模擬)已知f1(x)=sinx+cosx,fn+1(x)是
7、fn(x)的導(dǎo)函數(shù),即f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N*,則f2 014(x)等于( )
A.-sin x-cos x B.sin x-cos x
C.-sin x+cos x D.sin x+cos x
解析:選C f1(x)=sin x+cos x,f2(x)=f1′(x)=(sin x+cos x)′=cos x-sin x,
f3(x)=f2′(x)=(cos x-sin x)′=-sin x-cos x,f4(x)=f3′(x)=sin x-cos x,
f5(x)=f4′(x)=sin
8、x+cos x.故fn(x)是以4為周期的周期函數(shù),又2 014=5034+2,
∴f2 014(x)=f2(x)=-sin x+cos x.
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)二 導(dǎo)數(shù)的幾何意義
1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義是每年高考的必考內(nèi)容,考查題型既有選擇題、填空題,也常出現(xiàn)在解答題的第(1)問中,難度偏小,屬中低檔題.
2.高考對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義的考查主要有以下幾個(gè)命題角度:
(1)已知切點(diǎn)求切線方程;
(2)已知切線方程(或斜率)求切點(diǎn)或曲線方程;
(3)已知曲線求切線傾斜角的取值范圍.
[例3] (1)(2012新課標(biāo)全國卷)曲線y=x(3lnx+1)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程
9、為________________.
(2)(2013廣東高考)若曲線y=ax2-ln x在點(diǎn)(1,a)處的切線平行于x軸,則a=________.
(3)(2013江西高考)若曲線y=xα+1(α∈R)在點(diǎn)(1,2)處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),則α=________.[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
(4)(2014南京模擬)已知點(diǎn)P在曲線y=上,α為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角,則α的取值范圍是________.
[自主解答] (1)y′=3ln x+1+x=3ln x+4,k=y(tǒng)′|x=1=4,故切線方程為y-1=4(x-1),即y=4x-3.
(2)∵f(x)=ax2-ln x,則f′(x)=2a
10、x-,∴f′(1)=2a-1=0,得a=.
(3)求導(dǎo)得y′=αxα-1,切線的斜率k=α,由點(diǎn)斜式得切線方程為y-2=α(x-1).
∵切線經(jīng)過原點(diǎn)(0,0),∴-2=α(-1),α=2.(4)∵y=,∴y′===.∵ex>0,∴ex+≥2,∴y′∈[-1,0),∴tan α∈[-1,0).又α∈[0,π),∴α∈.
[答案] (1)y=4x-3 (2) (3)2 (4)
與導(dǎo)數(shù)幾何意義有關(guān)問題的常見類型及解題策略
(1)已知切點(diǎn)求切線方程.解決此類問題的步驟為:①求出函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù),即曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處切線的斜率;
②由點(diǎn)斜式
11、求得切線方程為y-y0=f′(x0)(x-x0).
(2)已知斜率求切點(diǎn).已知斜率k,求切點(diǎn)(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k.
(3)求切線傾斜角的取值范圍.先求導(dǎo)數(shù)的取值范圍,即確定切線斜率的取值范圍,然后利用正切函數(shù)的單調(diào)性解決.
1.已知直線y=kx+b與曲線y=x3+ax+1相切于點(diǎn)(2,3),則b的值為( )
A.-3 B.9 C.-15 D.-7
解析:選C 將點(diǎn)(2,3)分別代入曲線y=x3+ax+1和直線y=kx+b,得a=-3,2k+b=3.又k=y(tǒng)′|x=2=(3x2-3)|x=2=9,∴b=3-2k=3-18=
12、-15.
2.已知a為常數(shù),若曲線y=ax2+3x-ln x存在與直線x+y-1=0垂直的切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析:選A 由題意知曲線上存在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為1,所以y′=2ax+3-=1有正根,
即2ax2+2x-1=0有正根.當(dāng)a≥0時(shí),顯然滿足題意;當(dāng)a<0時(shí),需滿足Δ≥0,解得-≤a<0.綜上,a≥-.
3.若點(diǎn)P是曲線y=x2-ln x上任意一點(diǎn),則點(diǎn)P到直線y=x-2的最小距離為________.
解析:設(shè)P(x0,y0)到直線y=x-2的距離最小,則y′|x=x0=2x
13、0-=1,得x0=1或x0=-(舍).∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1).∴P到直線y=x-2的距離d==.
答案:
————————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
1個(gè)區(qū)別——“過某點(diǎn)”與“在某點(diǎn)”的區(qū)別
曲線y=f(x)“在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線”與“過點(diǎn)P(x0,y0)的切線”的區(qū)別:前者P(x0,y0)為切點(diǎn),而后者P(x0,y0)不一定為切點(diǎn).[來源:]
4個(gè)注意點(diǎn)——導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及切線的理解應(yīng)注意的問題
(1)利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號(hào),防止與乘法公式混淆.
(2)利用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)數(shù)時(shí),只要根據(jù)幾種基本函數(shù)的定義,判斷原函數(shù)是哪類基本函數(shù),再套用相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)公式求解,切不可因判斷函數(shù)類型失誤而出錯(cuò).
(3)直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì),直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),直線不一定是曲線的切線,同樣,直線是曲線的切線,則直線與曲線可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn).
(4)曲線未必在其切線的同側(cè),如曲線y=x3在其過(0,0)點(diǎn)的切線y=0的兩側(cè).
高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品
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