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數(shù)學(xué)中考:專題提升(十三) 以圓為背景的相似三角形的計(jì)算與證明

  • 資源ID:41610370       資源大?。?span id="mzebxcnn0" class="font-tahoma">1.26MB        全文頁數(shù):10頁
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數(shù)學(xué)中考:專題提升(十三) 以圓為背景的相似三角形的計(jì)算與證明

▼▼▼2019屆數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)資料▼▼▼ 專題提升(十三) 以圓為背景的相似三角形的計(jì)算與 證明 【經(jīng)典母題】 如圖Z13-1,DB為半圓的直徑,A為BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),AC切半圓于點(diǎn)E,BC⊥AC于點(diǎn)C,交半圓于點(diǎn)F.已知AC=12,BC=9,求AO的長(zhǎng). 圖Z13-1       經(jīng)典母題答圖 解:如答圖,連結(jié)OE,設(shè)⊙O的半徑是R,則OE=OB=R. 在Rt△ACB中,由勾股定理,得 AB==15. ∵AC切半圓O于點(diǎn)E,∴OE⊥AC, ∴∠OEA=90=∠C,∴OE∥BC, ∴△AEO∽△ACB, ∴=,∴=,解得R=, ∴AO=AB-OB=15-R=. 【思想方法】 利用圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑構(gòu)造直角三角形,從而得到相似三角形,利用比例線段求AO的長(zhǎng). 【中考變形】 圖Z13-2 1.如圖Z13-2,在Rt△ACB中,∠ACB=90,O是AC邊上的一點(diǎn),以O(shè)為圓心,OC為半徑的圓與AB相切于點(diǎn)D,連結(jié)OD. (1)求證:△ADO∽△ACB; (2)若⊙O的半徑為1,求證:AC=ADBC. 證明:(1)∵AB是⊙O的切線,∴OD⊥AB, ∴∠C=∠ADO=90,∵∠A=∠A, ∴△ADO∽△ACB; (2)由(1)知,△ADO∽△ACB.∴=, ∴ADBC=ACOD,∵OD=1,∴AC=ADBC. 2.[2017德州]如圖Z13-3,已知Rt△ABC,∠C=90,D為BC的中點(diǎn),以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)E. (1)求證:DE是⊙O的切線; (2)若AE∶EB=1∶2,BC=6,求AE的長(zhǎng). 圖Z13-3    中考變形2答圖 解:(1)證明:如答圖,連結(jié)OE,EC,∵AC是⊙O的直徑, ∴∠AEC=∠BEC=90,∵D為BC的中點(diǎn), ∴ED=DC=BD,∴∠1=∠2, ∵OE=OC,∴∠3=∠4, ∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACB, ∵∠ACB=90,∴∠OED=90,∴DE是⊙O的切線; (2)由(1)知∠BEC=90, ∵在Rt△BEC與Rt△BCA中,∠B=∠B,∠BEC=∠BCA, ∴△BEC∽△BCA,∴=, ∴BC2=BEBA,∵AE∶EB=1∶2, 設(shè)AE=x,則BE=2x,BA=3x, ∵BC=6,∴62=2x3x,解得x= ,即AE= . 3.如圖Z13-4,已知AB是⊙O的直徑,BC⊥AB,連結(jié)OC,弦AD∥OC,直線CD交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E. (1)求證:直線CD是⊙O的切線; (2)若DE=2BC,求AD∶OC的值. 圖Z13-4 中考變形3答圖 解:(1)證明:如答圖,連結(jié)DO. ∵AD∥OC, ∴∠DAO=∠COB,∠ADO=∠COD. ∵OA=OD,∴∠DAO=∠ADO, ∴∠COD=∠COB. 又∵CO=CO,OD=OB,∴△COD≌△COB(SAS), ∴∠CDO=∠CBO=90,即OD⊥CD. 又∵點(diǎn)D在⊙O上,∴直線CD是⊙O的切線; (2)由(1)知,△COD≌△COB,∴CD=CB. ∵DE=2BC,∴DE=2CD.∵AD∥OC, ∴△EDA∽△ECO,∴===. 4.[2016廣東]如圖Z13-5,⊙O是△ABC的外接圓,BC是⊙O的直徑,∠ABC=30.過點(diǎn)B作⊙O的切線BD,與CA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D,與半徑AO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.過點(diǎn)A作⊙O的切線AF,與直徑BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F. (1)求證:△ACF∽△DAE; (2)若S△AOC=,求DE的長(zhǎng); (3)連結(jié)EF,求證:EF是⊙O的切線. 圖Z13-5 中考變形4答圖 解:(1)證明:∵BC為⊙O的直徑,∴∠BAC=90, 又∵∠ABC=30,∴∠ACB=60, 又∵OA=OC, ∴△OAC為等邊三角形,即∠OAC=∠AOC=60, ∵AF為⊙O的切線,∴∠OAF=90, ∴∠CAF=∠AFC=30, ∵DE為⊙O的切線,∴∠DBC=∠OBE=90, ∴∠D=∠DEA=30,∴∠D=∠CAF,∠DEA=∠AFC, ∴△ACF∽△DAE; (2)∵△AOC為等邊三角形,∴S△AOC=OA2=, ∴OA=1,BC=2,OB=1,又∵∠D=∠BEO=30, ∴BD=2,BE=,∴DE=3; (3)證明:如答圖,過點(diǎn)O作OM⊥EF于點(diǎn)M, ∵OA=OB,∠OAF=∠OBE=90,∠BOE=∠AOF, ∴△OAF≌△OBE(SAS),∴OE=OF, ∵∠EOF=120,∴∠OEM=∠OFM=30, ∴∠OEB=∠OEM=30,即OE平分∠BEF, 又∵∠OBE=∠OME=90, ∴OM=OB,∴EF為⊙O的切線. 5.[2017株洲]如圖Z13-6,AB為⊙O的一條弦,點(diǎn)C為劣弧AB的中點(diǎn),E為優(yōu)弧AB上一點(diǎn),點(diǎn)F在AE的延長(zhǎng)線上,且BE=EF,線段CE交弦AB于點(diǎn)D. (1)求證:CE∥BF; (2)若BD=2,且EA∶EB∶EC=3∶1∶,求△BCD的面積. 圖Z13-6 中考變形5答圖 解:(1)證明:如答圖,連結(jié)AC,BE,作直線OC, ∵BE=EF, ∴∠F=∠EBF, ∵∠AEB=∠EBF+∠F, ∴∠F= ∠AEB, ∵C是的中點(diǎn),∴=, ∴∠AEC=∠BEC,∵∠AEB=∠AEC+∠BEC, ∴∠AEC=∠AEB,∴∠AEC=∠F,∴CE∥BF; (2)∵∠DAE=∠DCB,∠AED=∠CEB, ∴△ADE∽△CBE,∴=,即=, ∵∠CBD=∠CEB,∠BCD=∠ECB, ∴△CBE∽△CDB, ∴=,即=, ∴CB=2,∴AD=6,∴AB=8, ∵點(diǎn)C為劣弧AB的中點(diǎn), ∴OC⊥AB,設(shè)垂足為G,則AG=BG=AB=4, ∴CG==2, ∴S△BCD=BDCG=22=2. 6.如圖Z13-7,AB是⊙O的直徑,C為⊙O上一點(diǎn),AE和過點(diǎn)C的切線互相垂直,垂足為E,AE交⊙O于點(diǎn)D,直線EC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,連結(jié)AC,BC,PB∶PC=1∶2. (1)求證:AC平分∠BAD; (2)探究線段PB,AB之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由. 圖Z13-7   中考變形6答圖 解:(1)證明:如答圖,連結(jié)OC. ∵PE是⊙O的切線,∴OC⊥PE, ∵AE⊥PE,∴OC∥AE, ∴∠DAC=∠OCA, ∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC, ∴∠DAC=∠OAC, ∴AC平分∠BAD; (2)線段PB,AB之間的數(shù)量關(guān)系為AB=3PB.理由: ∵AB是⊙O的直徑, ∴∠ACB=90,∴∠BAC+∠ABC=90, ∵OB=OC,∴∠OCB=∠ABC, ∵∠PCB+∠OCB=90,∴∠PCB=∠PAC, ∵∠P是公共角,∴△PCB∽△PAC, ∴=,∴PC2=PBPA, ∵PB∶PC=1∶2,∴PC=2PB, ∴PA=4PB,∴AB=3PB. 7.[2016棗莊]如圖Z13-8,AC是⊙O的直徑,BC是⊙O的弦,P是⊙O外一點(diǎn),連結(jié)PA,PB,AB,已知∠PBA=∠C. (1)求證:PB是⊙O的切線; (2)連結(jié)OP,若OP∥BC,且OP=8,⊙O的半徑為2,求BC的長(zhǎng). 圖Z13-8    中考變形7答圖 解:(1)證明:如答圖,連結(jié)OB, ∵AC是⊙O的直徑, ∴∠ABC=90,∠C+∠BAC=90. ∵OA=OB,∴∠BAC=∠OBA, ∵∠PBA=∠C, ∴∠PBA+∠OBA=90,即PB⊥OB. ∴PB是⊙O的切線; (2)⊙O的半徑為2,∴OB=2,AC=4, ∵OP∥BC,∴∠BOP=∠OBC=∠C, 又∵∠ABC=∠PBO=90,∴△ABC∽△PBO, ∴=,即=,∴BC=2. 8.[2017聊城]如圖Z13-9,⊙O是△ABC的外接圓,O點(diǎn)在BC邊上,∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D,連結(jié)BD,CD,過點(diǎn)D作BC的平行線,與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P. (1)求證:PD是⊙O的切線; (2)求證:△PBD∽△DCA; (3)當(dāng)AB=6,AC=8時(shí),求線段PB的長(zhǎng). 圖Z13-9     中考變形8答圖 解:(1)證明:∵圓心O在BC上, ∴BC是⊙O的直徑, ∴∠BAC=90,如答圖,連結(jié)OD, ∵AD平分∠BAC, ∴∠BAC=2∠DAC, ∵∠DOC=2∠DAC, ∴∠DOC=∠BAC=90,即OD⊥BC, ∵PD∥BC,∴OD⊥PD,∵OD為⊙O的半徑, ∴PD是⊙O的切線; (2)證明:∵PD∥BC,∴∠P=∠ABC, ∵∠ABC=∠ADC,∴∠P=∠ADC, ∵∠PBD+∠ABD=180,∠ACD+∠ABD=180, ∴∠PBD=∠ACD,∴△PBD∽△DCA; (3)∵△ABC為直角三角形, ∴BC2=AB2+AC2=62+82=100,∴BC=10, ∵OD垂直平分BC,∴DB=DC, ∵BC為⊙O的直徑,∴∠BDC=90, 在Rt△DBC中,DB2+DC2=BC2,即2DC2=BC2=100, ∴DC=DB=5,∵△PBD∽△DCA, ∴=,即PB===. 【中考預(yù)測(cè)】 [2017黃岡模擬]如圖Z13-10,AB為⊙O的直徑,CD與⊙O相切于點(diǎn)C,且OD⊥BC,垂足為F,OD交⊙O于點(diǎn)E.證明: (1)∠D=∠AEC; (2)OA2=ODOF. 圖Z13-10    中考預(yù)測(cè)答圖 證明:(1)如答圖,連結(jié)OC, ∵CD與⊙O相切于點(diǎn)C, ∴∠OCD=90. ∴∠OCB+∠DCF=90. ∵∠D+∠DCF=90,∴∠OCB=∠D, ∵OB=OC,∴∠OCB=∠B, ∵∠B=∠AEC,∴∠D=∠AEC; (2)∵∠B=∠AEC,∴∠D=∠B, ∵OD⊥BC,∴∠BFO=∠OCD=90, ∴△BOF∽△DOC,∴=,即=, ∴OA2=ODOF.

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