《中考數(shù)學(xué)真題類編 知識(shí)點(diǎn)025等腰三角形、等邊三角形》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《中考數(shù)學(xué)真題類編 知識(shí)點(diǎn)025等腰三角形、等邊三角形（22頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、▼▼▼2019屆數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)資料▼▼▼ 一、選擇題 1. ．（2016廣東省廣州市，13，3分）如圖，△ABC中，AB=AC，BC=12cm，點(diǎn)D在AC上，DC=4cm，將線段DC沿CB方向平移7cm得到線段EF，點(diǎn)E，F(xiàn)分別落在邊AB，BC上，則△EBF的周長(zhǎng)為 cm． A B C E D F 【答案】13 【逐步提示】利用平移的性質(zhì)可以求得EF與FC的長(zhǎng)，進(jìn)而可得BF的長(zhǎng)；再根據(jù)等腰三角形的判定可得BE=EF，這樣求得了△EBF的三邊長(zhǎng)，其和即為△EBF的周長(zhǎng)． 【詳細(xì)解答】解：根據(jù)平移的性質(zhì)，將線段DC沿著

2、CB的方向平移7cm得到線段EF，則EF=DC=4cm，F(xiàn)C=7cm，∠EFB=∠C．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠BFE，∴BE=EF=4cm．又BF=BC－FC=12－7=5cm，∴△EBF的周長(zhǎng)=4+4+5=13（cm）．故答案為13． 【解后反思】圖形平移后，對(duì)應(yīng)線段平行（或在同一條直線上）且相等，這樣往往存在平行四邊形與全等三角形或等腰三角形，給我解決問(wèn)題提供了重要途徑． 【關(guān)鍵詞】平移的性質(zhì)；等腰三角形的判定 2. （ 2016河北省，16，2分）如圖，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若點(diǎn)M，N分別在OA，OB上，且△PMN為等邊三角形，則

3、滿足上述條件的△PMN有（ ） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．3個(gè)以上 【答案】D 【逐步提示】先找出符合要求的特殊點(diǎn)，如點(diǎn)M與點(diǎn)O重合，點(diǎn)N與點(diǎn)O重合等，不難發(fā)現(xiàn)以上特殊情形都滿足OM+ON=2，再研究一般情形下△PMN是否為等邊三角形，問(wèn)題得解. 【詳細(xì)解答】解：如圖，在OA上截取OC=OP=2，∵∠AOP=60°，∴△OCP是等邊三角形，∴CP=OP，∠OCP=∠CPO=60°.在線段OC任取一點(diǎn)M，在OB上截取ON，使ON+OM=2，連接MN，PM，PN.∵M(jìn)C+OM=2，∴CM=ON.在△MCP和△NOP中，∵CM=ON,∠MCP=∠NOP

4、=60°，CP=OP，∴△MCP≌△NOP（SAS），∴PM=PN，∠MPC=∠NPO，∴∠MPC+∠MPO=∠NPO+∠MPO，即∠CPO=∠MPN，∴∠MPN=60°，∴△PMN是等邊三角形.故滿足條件的△PMN有無(wú)數(shù)個(gè)，答案為選項(xiàng)D. 【解后反思】如圖所示，本題是含有60°內(nèi)角的菱形問(wèn)題的變式，掌握其中等邊三角形和全等三角形的判定有助于我們解決此題. 【關(guān)鍵詞】等邊三角形的判定和性質(zhì)；全等三角形的判定；存在性問(wèn)題 3. （ 2016湖南省懷化市，8，4分）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4cm和8cm，則它的周長(zhǎng)為（ ） A. 16cm

5、B. 17cm C. 20cm D. 16cm或20cm 【答案】C. 【逐步提示】此題考查等腰三角形的定義和三角形三邊的關(guān)系.題中給出了等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)，而沒(méi)有明確其腰長(zhǎng)或底邊長(zhǎng)，因此需要分腰為4cm長(zhǎng)或腰為8cm長(zhǎng)兩種情況討論等腰三角形的周長(zhǎng)即可. 【詳細(xì)解答】解：若4cm的邊長(zhǎng)為腰，8cm的邊長(zhǎng)為底，4＋4＝8，由三角形三邊的關(guān)系知，該等腰三角形不存在；若8cm的邊長(zhǎng)為腰，4cm的邊長(zhǎng)為底，則等腰三角形的周長(zhǎng)為20cm，故選擇C. 【解后反思】此題考查等腰三角形的定義和三角形三邊的關(guān)系，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)題意，考慮到需要分類討論等腰三角形的周長(zhǎng).此題的易錯(cuò)點(diǎn)是

6、審題不認(rèn)真，忽略分類討論. 【關(guān)鍵詞】等腰三角形的定義；三角形三邊的關(guān)系 4. （2016湖南湘西，14，4分）一個(gè)等腰三角形一邊長(zhǎng)為4cm，另一邊長(zhǎng)為5cm，那么這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是 A.13cm B .14cm C. 13 cm或14cm D.以上都不對(duì) 【答案】C 【逐步提示】本題考查了三角形的三邊關(guān)系及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是應(yīng)用三角形三邊關(guān)系定理討論．分4cm為等腰三角形的腰和5cm為等腰三角形的腰，先判斷符合不符合三邊關(guān)系，再求出周長(zhǎng)． 【詳細(xì)解答】解：①當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?，底為5時(shí)，等腰三角形的周長(zhǎng)為2×

7、4＋5=13；②當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?，底為4時(shí)，等腰三角形的周長(zhǎng)為2×5＋4=14，∴這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是13 cm或14cm，故選擇C . 【解后反思】在解有關(guān)等腰三角形邊長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)，通常要進(jìn)行討論，注意分類討論后一定要運(yùn)用三邊關(guān)系檢驗(yàn)，所求的結(jié)果若能夠組成三角形后，才能繼續(xù)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算. 【關(guān)鍵詞】三角形三邊的關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì) 5. （2016山東濱州6，3分）如圖，△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，則∠CDE的度數(shù)為（ ） A．50° B．51°

8、 C．51.5° D．52.5° 【答案】D． 【逐步提示】先根據(jù)AC=CD，∠A=50°，計(jì)算出∠ADC的度數(shù)，再由CD=BD，可知∠B=∠BCD，從而求出∠B的度數(shù)，BD=BE，∠BDE=∠BED，求出∠BDE的度數(shù)，最后根據(jù)∠ADC +∠CDE +∠BDE =180°，計(jì)算出∠CDE的度數(shù)． 【詳細(xì)解答】解：∵AC=CD，∴∠ADC=∠A=50°，又∵CD=BD，∴∠B=∠BCD，∠ADC=∠B+∠BCD，∴∠B=25°，∵BD=BE，∠BDE=∠BED=77.5°，∠ADC +∠CDE +∠B

9、DE =180°，∴∠CDE=52.5°． 【解后反思】根據(jù)“等腰三角形兩底角相等”得到角的度數(shù)，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的2個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之和． 【關(guān)鍵詞】等腰三角形 三角形的外角和定理 6.（2016江蘇省揚(yáng)州市，8，3分）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=6．將該矩形紙片剪去3個(gè)等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面積的最小值是 ( ) A．6 B．3 C．2．5 D．2 【答案】C 【逐步提示】本題考查了操作活動(dòng)中的估算和大小比較，解題的關(guān)鍵是合理構(gòu)造等腰直角三角形，使得剩余部分

10、面積的最小，此時(shí)每次都要考慮以最大邊做斜邊才使得剪去的等腰直角三角形面積最大． 【詳細(xì)解答】解：如圖所示，剩余三角形的面積為24———=2．5，故選擇C． 【解后反思】本題屬于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的簡(jiǎn)單類的問(wèn)題，在構(gòu)造等腰直角三角形時(shí)，學(xué)生可能會(huì)構(gòu)造出如圖所示的方法，剩余三角形的面積為24———=3，錯(cuò)選答案B． 【關(guān)鍵詞】 三角形；等腰三角形與直角三角形；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；四邊形；特殊的平行四邊形；矩形的性質(zhì)；面積最小化；化歸思想 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22

11、. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 二、填空題 1. （ 2016甘肅省武威市、白銀市、定西市、平?jīng)鍪?、酒泉市、臨夏州、張掖市等9市，17，4分）將一張矩形紙片折疊成如圖所示的圖形，若AB=6cm，則AC=_____________cm． 第17題圖 【答案】6 【逐步提示】本題考查軸對(duì)稱變換的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是畫出折疊之前的矩形紙片，畫出折疊之前的矩形紙片之后，一目了然，通過(guò)角度之間代換得到△ABC是等腰三角形，得解． 【詳細(xì)解答】解：由

12、折疊得∠1=∠2，再由矩形紙片對(duì)邊平行得到∠1=∠3，從而得到∠2=∠3，所以△ABC是等腰三角形且AB=AC=6cm，故答案為6. 【解后反思】折疊也就是翻折或軸對(duì)稱，它連同平移、旋轉(zhuǎn)一樣是全等變換，即不改變圖形的形狀和大小，所以看到折疊就要想到全等，進(jìn)一步得到對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等為進(jìn)一步解題提供條件． 【關(guān)鍵詞】 折疊；矩形的性質(zhì)；等腰三角形的判定； 2. （ 2016河北省，19，4分）如圖，已知∠AOB=7°，一條光線從點(diǎn)A出發(fā)后射向OB邊.若光線與OB邊垂直，則光線沿原路返回到點(diǎn)A，此時(shí)∠A=90°-7°=83°. 當(dāng)∠A&l

13、t;83°時(shí)，光線射到OB邊上的點(diǎn)A1后，經(jīng)OB反射到線段AO上的點(diǎn)A2，易知∠1=∠2.若A1A2⊥AO，光線又會(huì)沿A2→A1→A原路返回到點(diǎn)A，此時(shí)∠A=_____°. …… 若光線從點(diǎn)A發(fā)出后，經(jīng)若干次反射能沿原路返回到點(diǎn)A，則銳角∠A的最小值=_______°.[來(lái) 【答案】76 6 【逐步提示】本題屬于規(guī)律探究題，對(duì)于（1）先在Rt△A1A2O中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠2的度數(shù)，由此得到∠1和∠AA1A2的度數(shù)，再在△AA1A2中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A的度數(shù)；（2）由（1）可知當(dāng)光線垂直于OA時(shí)光線會(huì)沿原路返回，畫出符合題意的圖形，分別

14、求出有公共頂點(diǎn)的光線夾角的度數(shù)，從而找出夾角變化的規(guī)律，問(wèn)題可解. 【詳細(xì)解答】解：（1）∵A1A2⊥AO，∴∠A1A2A=∠A1A2O=90°.在Rt△A1A2O中，∠O=7°，∴∠2=90°－7°=83°，∴∠1=83°，∴∠AA1A2=180°－2×83°=14°.在Rt△AA1A2中，∴∠A=90°－14°=76°.（2）如圖，當(dāng)An－1An⊥OA時(shí)，易求得∠AnAn-1An-2=14°=1×14°，∠An-1An-2An-3

15、=28°=2×14°,∠An-2An-3An-4=42°=3×14°，……，由此可知當(dāng)∠A1AC=12×14°=168°時(shí)，∠A1AO=×（180°－168°）=6°，且此時(shí)∠A1AO最小. 【解后反思】對(duì)于規(guī)律探究題，解決問(wèn)題的一般思路是從特殊情形中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，進(jìn)而應(yīng)用一般規(guī)律求解. 【關(guān)鍵詞】 規(guī)律探究題 3. （ 2016湖北省黃岡市，12，3分）如圖，⊙O是ΔABC的外接圓，∠AOB=700，AB=AC,則∠ABC= 。 【答案

16、】350 【逐步提示】本題考查了圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握“同弧所對(duì)的圓心角和圓周角之間的關(guān)系。要求∠ABC的度數(shù)，由條件AB=AC知，轉(zhuǎn)化為求∠ACB的度數(shù)，而∠ACB和∠AOB分別是所對(duì)的圓周角和圓心角，根據(jù)圓周角定理問(wèn)題就可解決。 【詳細(xì)解答】解：∵圓心角∠AOB=700，∴圓周角∠ACB=∠AOB=350， 又∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB=350. ，故答案為 350 . 【解后反思】圓周角定理能有效地把圓心角與圓周角聯(lián)系起來(lái)，即在同圓或等圓中圓周角的度數(shù)等于同弧或等弧所對(duì)的圓心角的一半. 【關(guān)鍵詞】圓周角定理；等腰三角形的性質(zhì)。

17、 4. （ 2016湖北省黃岡市，14，3分）如圖，已知ΔABC,ΔDCE,ΔFEG,ΔHGI是四個(gè)全等的等腰三角形，底邊BC,CE,EG,GI在同一直線上，且AB=2，BC=1，連接AI,交FG于點(diǎn)Q,則QI= 。 【答案】 【逐步提示】本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵就是掌握三角形相似的判定方法，并能運(yùn)用三角形相似的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)。由四個(gè)三角形全等可知∠ACB=∠FGE,則GQ∥AC,所以,GI和CI的長(zhǎng)度已知，只要求出AI的長(zhǎng)度即可。求AI的長(zhǎng)可以通過(guò)判定ΔABC和ΔIBC相似來(lái)解決. 【詳細(xì)解答】解：∵ ΔABC,ΔDCE,ΔFEG,ΔHGI是四個(gè)全等的等

18、腰三角形， ∴GI=EG=CE=BC=1， ∴BI=4， ∵AB=2， ∴， ∴ΔABC∽ΔIAB, ∴, ∴AI=4. ∵∠ACB=∠FGE, ∴GQ∥AC. ∴, ∴ 故答案為 . 【解后反思】相似三角形的判定：①平行法②三組對(duì)應(yīng)邊的比相等(類似于三角形全等判定“SSS”)③兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，且夾角相等(類似于三角形全等判定“SAS”)④兩角對(duì)應(yīng)相等(AA) 【關(guān)鍵詞】相似三角形的判定 ；相似三角形的性質(zhì)；全等三角形的性質(zhì)。 5. （ 2016湖北省黃石市，13，3分）如圖所示，一艘海輪位于燈塔P的北偏東30°方向，距離燈塔4海里的A處，該海輪沿南

19、偏東30°方向航行________海里后，到達(dá)位于燈塔P的正東方向的B處． 【答案】4． 【逐步提示】本題考查了方向角、平行線的性質(zhì)、等邊三角形的判定方法．解題的關(guān)鍵求出∠PAB＝∠APB＝60°，得到△PAB是等邊三角形，所以AB＝AP＝4（海里）． 【詳細(xì)解答】解：如圖標(biāo)注．由題意，得∠MPA＝30°，∠MPB＝90°，所以∠APB＝90°－30°＝60°．因?yàn)镸P∥AN，所以∠PAN＝∠MPA＝30°．又由題意得∠NAB＝30°，所以∠PAB＝30°＋30°＝60

20、76;，所以∠PAB＝∠APB＝60°，所以△PAN是等邊三角形，于是AB＝AP＝4，故答案為4． 【解后反思】（1）方向角是實(shí)際生活使用較多的角，要熟悉方向角的意義．（2）等邊三角形的判方法有：①三邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；③有兩個(gè)角都等于60°的三角形是等邊三角形；④有一個(gè)等于60°的等腰三角形是等邊三角形． 【關(guān)鍵詞】平行線的性質(zhì)；等邊三角形． 6.（ 2016江蘇省淮安市，16，3分）已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和4，則該等腰三角形的周長(zhǎng)是　　　　　　． 【答案】10． 【逐步提示】本題考查了等腰

21、三角形周長(zhǎng)的計(jì)算，掌握分類討論的思想解題的關(guān)鍵． 【詳細(xì)解答】解：(1)若三條線段的長(zhǎng)分別為2，2，4，∵2＋2＝4，∴它們不能構(gòu)成三角形，即此種情況不存在；(2)若三條線段的長(zhǎng)分別為2，4，4，此時(shí)能構(gòu)成三角形，且周長(zhǎng)為10． 綜上所述，該等腰三角形的周長(zhǎng)為10，故答案為10 ． 【解后反思】本題有兩個(gè)需要注意的地方：一是由于等腰三角形的邊長(zhǎng)不確定時(shí)，需要分底是多少腰是多少來(lái)分情形討論；第二個(gè)需要注意的是在解題過(guò)程中需要判斷每種情形下的三邊是否能構(gòu)成三角形． 【關(guān)鍵詞】等腰三角形 ；分類討論；三角形三邊之間的關(guān)系 7. （2016江蘇泰州，12，3分）如圖，已知直線l1∥l2，將

22、等邊三角形如圖放置，若∠α=40°，則∠β等于 °. l1 （第12題圖） β α l2 B A C l1 （第12題答圖） β α l2 D 【答案】20 【逐步提示】本題考查了平行線的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助線發(fā)現(xiàn)∠α、∠β和∠ABC三者之間的關(guān)系．如圖，通過(guò)構(gòu)造平行線將∠α和∠β，集中到得∠ABC處，再根據(jù)等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角都是60°得解。 【詳細(xì)解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BD∥l2，∵直線l1∥l2，∴BD∥l1，∴∠ABD=∠α=40°， ∵△A

23、BC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∴∠DBC=20°，∵BD∥l2，∴∠β=∠DBC=20° ，故答案為20° . 【解后反思】此類問(wèn)題容易出錯(cuò)的地方是不知如何運(yùn)用條件“l(fā)1∥l2”，應(yīng)構(gòu)造平行線，利用三線八角之間的數(shù)量關(guān)系解題. 【關(guān)鍵詞】平行線；三線八角；等邊三角形的性質(zhì) 8. （2016江蘇省宿遷市，16，3分）如圖，在矩形ABCD中，AD=4，點(diǎn)P是直線AD上一動(dòng)點(diǎn)，若滿足△PBC是等腰三角形的點(diǎn)P有且只有3個(gè)，則AB的長(zhǎng)為 ． （第16題圖） 【答案】4或 【逐步提

24、示】由于△PBC是等腰三角形沒(méi)有明確哪兩邊相等，因此本題需要分類討論解決，頂點(diǎn)P、B、C都可以作為頂角的頂點(diǎn)，因此分三種情況分別畫出圖形，觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)，改變AB的長(zhǎng)，以B、C為圓心的的圓與直線AD的交點(diǎn)情況會(huì)發(fā)生變化，從而引起交點(diǎn)個(gè)數(shù)的變化；仔細(xì)分析圖形，即可分析特殊的狀況，進(jìn)而求出AB的長(zhǎng)． 【詳細(xì)解答】 解：當(dāng)BC=BP時(shí)，以B為圓心，BC為半徑畫圓，該圓與直線AD的交點(diǎn)即為P； 當(dāng)CB=CP時(shí)，以C為圓心，CB為半徑畫圓，該圓與直線AD的交點(diǎn)即為P； 當(dāng)PB=PC時(shí)，作BC的垂直平分線，該線與直線AD的交點(diǎn)即為P． 綜上分析，如圖1，在直線AD上最多

25、有5個(gè)滿足題意的點(diǎn)P． 觀察這個(gè)圖形會(huì)發(fā)現(xiàn)，改變AB的長(zhǎng)，兩個(gè)圓與直線AD的交點(diǎn)個(gè)數(shù)會(huì)發(fā)生變化，且交點(diǎn)間有可能還會(huì)重合，因此，要是使點(diǎn)P有三個(gè)，有這兩的兩種可能圖形出現(xiàn)： 情形一：兩圓均與直線AD相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)只有三個(gè)點(diǎn)P滿足題意，所以AB=4 ， 情形二：兩圓的交點(diǎn)P2、P3、P5三個(gè)點(diǎn)會(huì)重合為一個(gè)點(diǎn)時(shí)，此時(shí)也只有三個(gè)點(diǎn)P滿足題意，因?yàn)锽P=BC，CP=BC， 所以△PBC為等邊三角形，AB=2， 故答案為 4或． 【解后反思】當(dāng)?shù)妊切沃兄淮_定兩個(gè)點(diǎn)，第三個(gè)點(diǎn)的位置不確定時(shí)，這時(shí)需要分類討論解決．在討論時(shí)，一般按等腰三角形的頂角的頂點(diǎn)是哪個(gè)點(diǎn)來(lái)分類，比如

26、：△ABC是等腰三角形，則有三種可能：（1）以A為頂角的頂點(diǎn)，則AB=AC；（2）以B為頂角的頂點(diǎn)，則BA=BC；（3）以C為頂角的頂點(diǎn)，則CA=CB． 【關(guān)鍵詞】 等腰三角形的性質(zhì)；直線與圓的位置關(guān)系；分類討論；； 9.（2016 鎮(zhèn)江，12,2分）有一張等腰三角形紙片，AB=AC=5，BC=3，小明將它沿虛線PQ剪開，得到△AQP和四邊形BCPQ兩張紙片（如圖所示），且滿足∠BQP=∠B，則下列五個(gè)數(shù)據(jù)，3，，2，中可以作為線段AQ長(zhǎng)的有 個(gè). 【答案】 3. 【逐步提示】①本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是PQ通過(guò)特殊點(diǎn)C確定AQ的

27、取值范圍.②先考慮點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，利用相似三角形求出BQ的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AQ的長(zhǎng)，再回到沿虛線PQ剪開，得到△AQP和四邊形BCPQ兩張紙片的情況，即此時(shí)AQ實(shí)際長(zhǎng)小于所求的AQ長(zhǎng)度，即可比較得到滿足條件的數(shù)值個(gè)數(shù). 【詳細(xì)解答】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，設(shè)QB=x.因?yàn)锳B=AC，所以∠ABC=∠ACB，又∠BQP=∠B，所以△BCQ∽△BAC，所以，因?yàn)锳B=AC=5，BC=3，所以，解得x=，所以AQ=5-=，所以AQ＜=3.2，即AQ＜3.2.因?yàn)椋?.2，3＜3.2，=3.2，2＜3.2，＜3.2，所以作為線段AQ的長(zhǎng)有3個(gè).故答案為3. 【解后反思】在求解本問(wèn)題時(shí)，利用

28、了特殊的情況確定AQ的取值；另外的解法是將每個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)合題意，利用相似三角形及等腰三角形進(jìn)行驗(yàn)證.此類問(wèn)題容易出錯(cuò)的地方是沒(méi)有注意到特殊情況，而運(yùn)用分類的數(shù)學(xué)思想去計(jì)算，從而不容易求出相關(guān)結(jié)果. 【關(guān)鍵詞】 等腰三角形；相似三角形 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 三、解答題 1. （2016廣東省廣州市，18，9分）如圖，矩

29、形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，若AB=AO，求∠ABD的度數(shù)． A B C D O 【逐步提示】由條件AB=AO，聯(lián)想到矩形對(duì)角線的性質(zhì)AO=BO，故可得△AOB是等邊三角形，于是得其內(nèi)角∠ABD的度數(shù)． 【詳細(xì)解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AO=AC，BO=BD，AC=BD，∴AO=BO．又∵AB=AO，∴AB=AO=BO，∴△AOB是等邊三角形，∴∠ABD=60°． 【解后反思】矩形的對(duì)角線互相平分且相等，故此矩形的兩條對(duì)角線把矩形分成了四個(gè)小等腰三角形．另外，每條對(duì)角線所分得的兩個(gè)直角三角形都全等． 【關(guān)鍵詞

30、】矩形的性質(zhì)；等邊三角形的判定和性質(zhì) 2. (2016湖南省永州市，27，12分)問(wèn)題探究： 1．新知學(xué)習(xí) 若把將一個(gè)平面圖形分成面積相等的兩個(gè)部分的直線叫做該平面圖形的“面線”，其“面線”被該平面圖形截得的線段叫做該平面圖形的“面徑”(例如圓的直徑就是圓的“面徑”) 2．問(wèn)題解決 已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2． (1)如圖一，若AD⊥BC，垂足為D，試說(shuō)明AD是△ABC的一條面徑，并求AD的長(zhǎng)； (2)如圖二，若ME∥BC，且ME是△ABC的一條面徑，求面徑ME的長(zhǎng)； (3)如圖三，已

31、知D為BC的中點(diǎn)，連接AD，M為AB上的一點(diǎn)(0<AM<1)，E是DC上的一點(diǎn)，連接ME，ME與AD交于點(diǎn)O，且S△MOA=S△DOE． ①求證：ME是△ABC的面徑； ②連接AE，求證：MD∥AE； (4)請(qǐng)你猜測(cè)等邊三角形ABC面徑長(zhǎng)l的取值范圍(直接寫出結(jié)果)． 【逐步提示】本題綜合考查了與等邊三角形有關(guān)的新定義，解題的關(guān)鍵在于正確理解“面徑”的概念．(1)根據(jù)等邊三角形的對(duì)稱性知，△ABD≌△ACD，從而S△ABD=S△ACD，因此AD是△ABC的一條面徑，再根據(jù)∠C的正弦值可求得AD的長(zhǎng)．(2)根

32、據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計(jì)算即可．(3)①由D為BC的中點(diǎn)，可得S△ABD=S△ACD．再由S△MOA=S△DOE，可得S四邊形BDOM+ S△DOE =S四邊形ACEO+ S△MOA．即S△BME=S四邊形ACEM，從而ME是△ABC的面徑． ②根據(jù)等量加等量和相等，得S△AMD=S△EMD．這兩個(gè)三角形底相同，則高相等，從而MD∥AE．(4)先找出面徑的最小值和最大值兩種情況，再確定面徑的范圍． 【詳細(xì)解答】解：(1)∵三角形ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分線．則有△ABD≌△ACD，所以S△ABD=S△ACD，因此AD是△ABC的一條面徑，AD=AC&

33、#183;sin60°=2×=． (2)ME∥BC，且ME是△ABC的一條面徑，則有，，解得ME=．(3) ①∵D為BC的中點(diǎn)，∴S△ABD=S△ACD．即S四邊形BDOM+S△MOA=S四邊形ACEO+S△DOE．又S△MOA=S△DOE，∴S四邊形BDOM+ S△DOE =S四邊形ACEO+ S△MOA．即S△BME=S四邊形ACEM，∴ME是△ABC的面徑． ②∵S△MOA=S△DOE．∴S△MOA+ S△DOM=S△DOE+ S△DOM．即S△AMD=S△EMD．△AMD與△EMD的底邊MD公共，則MD上的高相等，即點(diǎn)A到MD的距離與點(diǎn)E到MD的距離相等，∴MD∥A

34、E．(4)面徑的最小值為圖二所示情況，面徑的最大值為圖一所示情況，所以． 【解后反思】1．理解新定義是解題的關(guān)鍵．2．利用圖形中的面積相等關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)，常根據(jù)等量加等量和相等或等量減等量差相等．3．確定線段長(zhǎng)度的范圍，應(yīng)先找出最小值與最大值． 【關(guān)鍵詞】新定義題型；等邊三角形；相似三角形的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)； 3. （ 2016江蘇省淮安市，28，14分）問(wèn)題背景：如圖①，在四邊形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究線段AC、BC、CD之間的數(shù)量關(guān)系． 小吳同學(xué)探究此問(wèn)題的思路是：將ΔBCD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到ΔAED處，點(diǎn)B、C分別落

35、在點(diǎn)A、E處（如圖②），易證點(diǎn)C、A、E在同一條直線上，并且ΔCDE是等腰直角三角形，所以CE＝CD，從而得出結(jié)論：AC+BC＝CD． 圖① 圖②　　　　　　　　　　　圖③ 　簡(jiǎn)單應(yīng)用： （1）在圖①中，若AC＝，BC＝2，則CD＝　　　?。? （2）如圖③，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，弧AD＝弧BD，若AB＝13，BC＝12，求CD的長(zhǎng)． 拓展延伸： （3）如圖④，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若AC＝m，BC＝n（m<n），求CD的長(zhǎng)（用含m，n的代數(shù)式表示）． 　圖④ （

36、4）如圖⑤，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，若點(diǎn)E滿足AE＝AC，CE＝CA，點(diǎn)Q為AE的中點(diǎn)，則線段PQ與AC的數(shù)量關(guān)系是　　　　　　?。? 圖⑤ 【逐步提示】本題以等腰直角三角形為背景考查了三條線段之間關(guān)系的證明和計(jì)算，把未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題是解題的關(guān)鍵． （1）由題意可知： AC+BC=CD，所以將AC與BC的長(zhǎng)度代入即可得出CD的長(zhǎng)度； （2）連接AC、BD、AD即可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為第（1）問(wèn)的問(wèn)題，利用題目所給出的證明思路即可求出CD的長(zhǎng)度； （3）以AB為直徑作⊙O，連接OD并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D1，由（2）問(wèn)題可知：AC+BC=CD1；又因?yàn)镃D1

37、=D1D，所以利用勾股定理即可求出CD的長(zhǎng)度； （4）根據(jù)題意可知：點(diǎn)E的位置有兩種，分別是當(dāng)點(diǎn)E在直線AC的右側(cè)和當(dāng)點(diǎn)E在直線AC的左側(cè)時(shí)，連接CQ、CP后，利用（2）和（3）問(wèn)的結(jié)論進(jìn)行解答． 【詳細(xì)解答】解：（1）3． 根據(jù)AC+BC=，代入AC＝，BC＝2，得CD=3． （2）∵弧AD＝弧BD，∴AD=BD ∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90° ∵AB=13，BC=12，由勾股定理得：AC=， 由（1）中的結(jié)論，有AC+BC=CD，∴5+12=CD ∴CD=． 圖③ （3）取AB的中點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑畫圓，則點(diǎn)C在⊙O上

38、． 作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE，BE，則∠AEB=90°，AE=BE， 由（1）可知：CE=． 而DE2=AB2= ∴CD2=DE2-CE2= ∴CD= 圖④ （4）PQ與AC的數(shù)量關(guān)系是：或． 當(dāng)點(diǎn)E在直線AC的左側(cè)時(shí)，如圖⑤， 連接CQ，PC， ∵AC=BC，∠ACB=90°， 點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)， ∴AP=CP，∠APC=90°， 又∵CA=CE，點(diǎn)Q是AE的中點(diǎn)， ∴∠CQA=90°， 設(shè)AC=a， ∵AE=AC， ∴AE=a， ∴AQ=AE=a， 由勾股定理可求得：CQ=

39、a， 由（2）的證明過(guò)程可知：AQ+CQ=PQ， ∴PQ=a+a， ∴； 當(dāng)點(diǎn)E在直線AC的右側(cè)時(shí)，如圖⑥， 連接CQ、CP， 同理可知：∠AQC=∠APC=90°， 設(shè)AC=a， ∴AQ=AE=， 由勾股定理可求得：CQ=a， 由（3）的結(jié)論可知：PQ=（CQ﹣AQ）， ∴． 綜上所述，線段PQ與AC的數(shù)量關(guān)系是:或． 【解后反思】本題的重點(diǎn)是前面每小題都為后面一小題做了鋪墊，而后面每一小題都可以創(chuàng)造條件轉(zhuǎn)化為前面一小題的結(jié)構(gòu)，也就是說(shuō)通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃慰梢灾苯永们懊嬉恍☆}的結(jié)論，從而使問(wèn)題順利解決．如果我們解題時(shí)不注意前后圖形的聯(lián)系，不把未知結(jié)構(gòu)的圖形

40、轉(zhuǎn)化為已知圖形的結(jié)構(gòu)，其證明和解題過(guò)程會(huì)很麻煩，也很復(fù)雜． 【關(guān)鍵詞】等腰直角三角形 ；圓；旋轉(zhuǎn)；轉(zhuǎn)化的思想； 4. （ 2016江蘇省連云港市，27，14分）我們知道：光反射時(shí)，反射光線、入射光線和法線在同一平面內(nèi)，反射光線、入射光線分別在法線兩側(cè)，反射角等于入射角．如右圖，為入射光線，入射點(diǎn)為，為法線（過(guò)入射點(diǎn)且垂直于鏡面的直線），為反射光線，此時(shí)反射角等于入射角． 問(wèn)題思考： （1）如圖1，一束光線從點(diǎn)處入射到平面鏡上，反射后恰好過(guò)點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中確定平面鏡上的入射點(diǎn)，保留作圖痕跡，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由； （2）如圖2，兩平面鏡、相交于點(diǎn)，且，一束光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)平面鏡反射后，恰好經(jīng)過(guò)

41、點(diǎn)．小昕說(shuō)，光線可以只經(jīng)過(guò)平面鏡反射后過(guò)點(diǎn)，也可以只經(jīng)過(guò)平面鏡反射后過(guò)點(diǎn)．除了小昕的兩種做法外，你還有其它做法嗎？如果有，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出光線的行進(jìn)路線，保留作圖痕跡，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由； （圖1） （圖2） 問(wèn)題拓展： （3）如圖3，兩平面鏡、相交于點(diǎn)，且，一束光線從點(diǎn)出發(fā)，且平行于平面鏡，第一次在點(diǎn)處反射，經(jīng)過(guò)若干次反射后又回到了點(diǎn)，如果和的長(zhǎng)均為，求這束光線經(jīng)過(guò)的路程； （4）如圖4，兩平面鏡、相交于點(diǎn)，且，一束光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)若干次反射后，最后反射出去時(shí)，光線平行于平面鏡．設(shè)光線出發(fā)時(shí)與射線的夾角為，請(qǐng)直接寫出滿

42、足條件的所有的度數(shù)（注：、足夠長(zhǎng)）． （圖3） （圖4） 【逐步提示】本考查了與物理學(xué)中光的反射有關(guān)的作圖和計(jì)算，把光的反射與軸對(duì)稱統(tǒng)一起來(lái)是解題的關(guān)鍵． （1）要解決反射角等于入射角，就是作點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作A點(diǎn)關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交CD于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是平面的入射點(diǎn)；（2）分別作點(diǎn)A和B關(guān)于OM和ON的對(duì)稱點(diǎn)，然后連接兩對(duì)稱點(diǎn)即可；（3）按題目條件進(jìn)行作圖，當(dāng)入射角為0°時(shí)，它的反射角也是0°，這時(shí)反射光線沿原路返回，利用特殊角三角函數(shù)值可求出光線經(jīng)過(guò)的路程；（

43、4）按光線經(jīng)過(guò)ON反射的次數(shù)反過(guò)來(lái)推算的度數(shù)即可． 【詳細(xì)解答】解：（1）如圖點(diǎn)P就是平面的入射點(diǎn)． 圖1 作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交CD于點(diǎn)P， 則PA=PA′，PE⊥AA′，∴∠A′PE=∠APE=∠DPB 過(guò)點(diǎn)P作PF⊥CD，∴∠CPF=∠DPF ∴∠APF=∠BPF，即反射角等于入射角 ∴AP是 入射光線，PB是反射光線，P為入射點(diǎn)． （2）作點(diǎn)B關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)B′，作點(diǎn)A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B′，交OM，ON于點(diǎn)C和D，連接AD，DC，CB即可． 光線由ACDB． 圖2 （3）如圖3，∵AS

44、∥OM，∴∠NAS=30° ， 根據(jù)反射定律，可知∠BAO=∠NAS=30°， 而∠ABM=∠COB=∠BAO+∠O=60° ∴∠OCB=90°， 所以光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)S反射后沿CB，BA，AS方向返回S點(diǎn) 圖3 ∵∠O=∠BAO，∴BA=BO，∴AC=OC= ∴AB=OB=，BC=AB= ∴這束光線經(jīng)過(guò)的路程為：2AS+2AB+2BC=2++=2+ （4）的度數(shù)為30°，60°，90°，120°，150°． 如果經(jīng)過(guò)ON一次反射，如圖4，光線AB∥PM，則∠NAB=∠O=1

45、5° 而∠OAP=∠NAB=15°，∴∠APM=30° 圖4 如果經(jīng)過(guò)ON兩次反射，如圖5，光線CD∥OM，則∠DCN=∠O=15° ∴∠BCA=∠DCN=15°，∴∠CBM=30°=∠ABP ∴∠CAB=45°=∠OAP ∴∠APB=60°． 圖5 如果經(jīng)過(guò)ON三次反射，如圖6，光線EF∥OM 可求得∠APM=90° 圖6 如果經(jīng)過(guò)ON四次反射，如圖7，光線GH∥OM 可求得∠APM=120°

46、 圖7 如果經(jīng)過(guò)ON五次反射，如圖8，光線JK∥OM 可求得∠APM=150° 圖8 【解后反思】本題解題的難點(diǎn)之一，是如何把光的反射與圖形的對(duì)稱性結(jié)合在一起，如果想不到點(diǎn)的對(duì)稱具有光的反射定律的規(guī)律，題目就無(wú)從下手；本題的第二難點(diǎn)是通過(guò)兩面鏡子兩次反射后的光線經(jīng)過(guò)的路徑，解決的關(guān)鍵也是作點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)；本題的第三個(gè)難點(diǎn)是最后一問(wèn)，解決這個(gè)問(wèn)題需要反過(guò)來(lái)進(jìn)行推理計(jì)算，經(jīng)過(guò)ON一次反射，兩次反射以及n次反射后，AP與PM之間的夾角是多少． 【關(guān)鍵詞】閱讀理解 ；光的反射定律； 5. （2016江蘇省宿遷市，

47、21，6分）如圖，已知BD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC．求證：BE=CF （第21題圖） 【逐步提示】由已知條件可以判定四邊形DEFC為平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)可以知道DE=CF，再根據(jù)角平分線和平行線可以推導(dǎo)出DE=BE，等量代換從而得到證明． 【詳細(xì)解答】 證明：∵DE∥BC，EF∥AC ∴四邊形DEFC是平行四邊形 ∴DE=CF 又∵BD平分∠ABC ∴∠ABD=∠CBD ∵DE∥BC ∴∠EDB=∠DBC ∴EB=ED ∴BE=CF 【解后反思】常見的證明兩條線段相等的方法有：全等、特殊圖形（特殊三角形

48、、特殊四邊形）的性質(zhì)、等量代換等；本題考查了一個(gè)常見的幾何模型：角平分線+平行線→等腰三角形． 【關(guān)鍵詞】 等腰三角形的判定；平行四邊形的判定； 6.（2016江蘇省宿遷市，25，10分）已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（A、B兩點(diǎn)除外），將△CAD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α得到△CEF，其中點(diǎn)E是點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)F是點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)． （1）如圖1，當(dāng)α=90°時(shí)，G是邊AB上一點(diǎn)，且BG=AD，連接GF．求證：GF∥AC； （2）如圖2，當(dāng)90°≤α≤180°時(shí)，AE與DF相交于點(diǎn)M． ①當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C、D不重合時(shí)，連接CM

49、，求∠CMD的度數(shù)； ②設(shè)D為邊AB的中點(diǎn)，當(dāng)α從90°變化到180°時(shí)，求點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)． （第25題圖1） （第25題圖2） 【逐步提示】（1）本題證明兩直線平行可以根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”來(lái)說(shuō)明，即只要說(shuō)明∠BGF=45°即可，又容易知道BF=BG，所以只要證明∠FBG=90°問(wèn)題即可得證；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以知道，△ACE與△DCF相似，可以得到∠CFM=∠CEM，所以C、M、E、F四點(diǎn)共圓，進(jìn)而有∠CEF=∠CMF=45°，問(wèn)題獲解；（3）由（2）知道∠CMD的大小不隨

50、D點(diǎn)位置變化而變化，所以點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路線是一條弧，在分別畫出兩個(gè)特殊情況下的圖形，即可發(fā)現(xiàn)弧的圓心的位置和弧所對(duì)圓心角的大小，利用弧長(zhǎng)公式即可求出M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)， 【詳細(xì)解答】 解：（1）∵AC=BC，且∠ACB=90° ∴∠A=∠ABC=45° 又∵△ACD≌△BCF ∴BF=AD，∠A=∠CBF=45° ∵AD=BG ∴BG=BF 又∵∠FBG=∠FBC+∠CBA=90° ∴∠FGB=45° ∴∠

51、A=∠FGB ∴AC∥FG （2）∵△CFE是由△CAD旋轉(zhuǎn)α得到， ∴AC=CE，CD=CF，∠ACE=∠DCF=α ∴△ACE∽△DCF ∴∠CFM=∠CEM ∴C、M、E、F四點(diǎn)共圓， ∴∠CEF=∠CMF=45° ∴∠CMD=135° （3）當(dāng)D為AB的中點(diǎn)，α=90°時(shí)，DF與AE的交點(diǎn)M與D重合； α=180°時(shí)，DF與AE的交點(diǎn)M與

52、C重合． 由（2）知道∠CMD=135°是一個(gè)定值， ∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑是一段弧，且弧的圓心是AC的中點(diǎn) ∴點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為 【解后反思】（1）證明兩直線的平行關(guān)系通常是轉(zhuǎn)化為找同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系，有時(shí)也會(huì)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)來(lái)得到；（2）旋轉(zhuǎn)型相似是相似中的基本圖示，是近幾年的高頻考點(diǎn)，抓住其中的對(duì)應(yīng)關(guān)系是突破點(diǎn)。（3）當(dāng)兩個(gè)等角經(jīng)過(guò)兩個(gè)兩個(gè)點(diǎn)時(shí)，那么這四個(gè)點(diǎn)一定共圓，四點(diǎn)共圓能幫助我們巧妙轉(zhuǎn)化圓中的等角；（4）求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑問(wèn)題，關(guān)鍵是弄清點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路線，

53、初中階段主要考查的一般地就兩種：①線段；②弧。解決問(wèn)題的策略是首先可以先通過(guò)畫圖（一般要畫出起始點(diǎn)、中間若干關(guān)鍵點(diǎn)和結(jié)束點(diǎn)）來(lái)判斷路徑和范圍；其次是結(jié)合已知條件的特點(diǎn)運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)方法說(shuō)明自己的判斷是正確的；比如本題中M點(diǎn)位置的變化，但∠CMD保持不變，此時(shí)點(diǎn)M一定是在一段弧上運(yùn)動(dòng)或，如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離始終不變，那么這個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑也一定是?。詈蟀磁袛嗟穆窂筋愋图胺秶鷣?lái)計(jì)算路徑長(zhǎng)． 【關(guān)鍵詞】 平行線的判定；圓的內(nèi)接四邊形及性質(zhì)；軌跡問(wèn)題；幾何變換；動(dòng)面題型； 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39.