浙江省中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第七單元圖形的變化第28課時尺規(guī)作圖含近9年中考真題試題
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1、△+△數(shù)學(xué)中考教學(xué)資料2019年編△+△ 第一部分 考點研究 第七單元 圖形的變化 第28課時 尺規(guī)作圖 浙江近9年中考真題精選 命題點1 五種基本尺規(guī)作圖 類型一 五種基本尺規(guī)作圖的作法(杭州2013.17,臺州2016.7,紹興2016.8) 1. (2017衢州7題3分)下列四種基本尺規(guī)作圖分別表示:①作一個角等于已知角;②作一個角的平分線;③作一條線段的垂直平分線;④過直線外一點P作已知直線的垂線,則對應(yīng)選項中作法錯誤的是( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 2. (2015嘉興9題4分)數(shù)學(xué)活動課上,四位同學(xué)圍繞作圖問題:“如
2、圖,已知直線l和l外一點P, 第2題圖 用直尺和圓規(guī)作直線PQ,使PQ⊥l于點Q.”分別作出了下列四個圖形,其中作法錯誤的是( ) 3. (2016麗水9題3分)用直尺和圓規(guī)作Rt△ABC斜邊AB上的高線CD,以下四個作圖中,作法錯誤的是( ) 4. (2016紹興8題4分)如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°.以點A為圓心,BC長為半徑畫弧交AB于點D,分別以點A,D為圓心,AB長為半徑畫弧,兩弧交于點E,連接AE,DE,則∠EAD的余弦值是( ) 第4題圖 A. B. C. D. 5. (2013杭州17題
3、6分)如圖,四邊形ABCD是矩形,用直尺和圓規(guī)作出∠A的平分線與BC邊的垂直平分線的交點Q(不寫作法,保留作圖痕跡).連接QD,在新圖形中,你發(fā)現(xiàn)了什么?請寫出一條. 第5題圖 6. (2010杭州18題6分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A(0,8),點B(6,8). (1)只用直尺(沒有刻度)和圓規(guī),求作一點P,使點P同時滿足下列兩個條件(要求保留作圖痕跡,不必寫出作法): ①點P到A,B兩點的距離相等; ②點P到∠xOy的兩邊的距離相等. (2)在(1)作出點P后,寫出點P的坐標(biāo). 第6題圖 類型二 五種基本尺規(guī)作圖的相關(guān)計算(紹興2考) 7.
4、(2017紹興15題5分)以Rt△ABC的銳角頂點A為圓心,適當(dāng)長為半徑作弧,與邊AB,AC各相交于一點,再分別以這兩個交點為圓心,適當(dāng)長為半徑作弧,過兩弧的交點與點A作直線,與邊BC交于點D.若∠ADB=60°,點D到AC的距離為2,則AB的長為________. 8. (2016湖州13題4分)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,AC=8.分別以點A,B為圓心,大于線段AB長度一半的長為半徑作弧,相交于點E,F(xiàn).過點E,F(xiàn)作直線EF,交AB于點D,連接CD,則CD的長是________. 第8題圖 9. (2015麗水19題6分)如圖,已知△
5、ABC,∠C=90°,AC<BC,D為BC上一點,且到A,B兩點的距離相等. (1)用直尺和圓規(guī),作出點D的位置(不寫作法,保留作圖痕跡); (2)連接AD,若∠B=37°,求∠CAD的度數(shù). 第9題圖 10. (2012紹興18題8分)如圖,AB∥CD,以點A為圓心,小于AC長為半徑作圓弧,分別交AB,AC于E,F(xiàn)兩點,再分別以E,F(xiàn)為圓心,大于EF長為半徑作圓弧,兩條圓弧交于點P,作射線AP,交CD于點M. (1)若∠ACD=114°,求∠MAB的度數(shù); (2)若CN⊥AM,垂足為N,求證:△ACN≌△MCN. 第10題圖 命題點2 三
6、角形的作法及計算(杭州3考,紹興2考) 11. (2015衢州7題3分)數(shù)學(xué)課上,老師讓學(xué)生尺規(guī)作圖畫Rt△ABC,使其斜邊AB=c,一條直角邊BC=a,小明的作法如圖所示,你認(rèn)為這種作法中判斷∠ACB是直角的依據(jù)是( ) A. 勾股定理 B. 直徑所對的圓周角是直角 C. 勾股定理的逆定理 D. 90°的圓周角所對的弦是直徑 第11題圖 12. (2012紹興7題4分)如圖,AD為⊙O的直徑,作⊙O的內(nèi)接正三角形ABC,甲、乙兩人的作法分別如下: 第12題圖 甲:1.作OD的中垂線,交⊙O于B,C兩點; 2.連接AB,AC.△ABC即為所求作的三角形.
7、 乙:1.以D為圓心,OD長為半徑作圓弧,交⊙O于B,C兩點; 2.連接AB,BC,CA,△ABC即為所求作的三角形. 對于甲、乙兩人的作法,可判斷( ) A. 甲、乙均正確 B. 甲、乙均錯誤 C. 甲正確,乙錯誤 D. 甲錯誤,乙正確 13. (2014紹興14題5分)用直尺和圓規(guī)作△ABC,使BC=a,AC=b,∠B=35°,若這樣的三角形只能作一個,則a,b間滿足的關(guān)系式是________. 14. (2009杭州20題8分)如圖,已知線段a. (1)只用直尺(沒有刻度的尺)和圓規(guī),求作一個直角三角形ABC,以AB和BC分別為兩條直角邊,使AB
8、=a,BC=a(要求保留作圖痕跡,不必寫出作法); (2)若在(1)作出的Rt△ABC中,AB=4 cm,求AC邊上的高. 第14題圖 15. (2012杭州19題8分)如圖是數(shù)軸的一部分,其單位長度為a,已知△ABC中,AB=3a,BC=4a,AC=5a. (1)用直尺和圓規(guī)作出△ABC(要求:使點A,C在數(shù)軸上,保留作圖痕跡,不必寫出作法); (2)記△ABC的外接圓的面積為S圓,△ABC的面積為S△,試說明>π. 第15題圖 16. (2015杭州21題10分)“綜合與實踐”學(xué)習(xí)活動準(zhǔn)備制作一組三角形,記這些三角形的三邊分別為a,b,c,并且這些三角形三邊的長度為大
9、于1且小于5的整數(shù)個單位長度. (1)用記號(a,b,c)(a≤b≤c)表示一個滿足條件的三角形,如(2,3,3)表示邊長分別為2,3,3個單位長度的一個三角形,請列舉出所有滿足條件的三角形; (2)用直尺和圓規(guī)作出三邊滿足a<b<c的三角形(用給定的單位長度,不寫作法,保留作圖痕跡). 第16題圖 17. (2014杭州20題10分)把一條12個單位長度的線段分成三條線段,其中一條線段長為4個單位長度,另兩條線段長都是單位長度的整數(shù)倍. (1)不同分法得到的三條線段能組成多少個不全等的三角形?用直尺和圓規(guī)作出這些三角形(用給定的單位長度,不寫作法,保留作圖痕跡); (2)求出
10、(1)中所作三角形外接圓的周長. 第17題圖 命題點3 其他尺規(guī)作圖的作法及相關(guān)計算(紹興2013.9) 18. (2013紹興9題4分)小敏在作⊙O的內(nèi)接正五邊形時,先做了如下幾個步驟: (1)作⊙O的兩條互相垂直的直徑,再作OA的垂直平分線交OA于點M,如圖①; (2)以點M為圓心,BM長為半徑作圓弧,交CA于點D,連接BD,如圖②. 若⊙O的半徑為1,則由以上作圖得到的關(guān)于正五邊形邊長BD的等式正確的是( ) 第18題圖 A. BD2=OD B. BD2=OD C. BD2=OD D. BD2=OD 19. (2017嘉興19題6分)如圖,已知△ABC,
11、∠B=40°. (1)在圖中,用尺規(guī)作出△ABC的內(nèi)切圓O,并標(biāo)出⊙O與邊AB,BC,AC的切點D,E,F(xiàn)(保留痕跡,不必寫作法); (2)連接EF,DF,求∠EFD的度數(shù). 第19題圖 答案 1. C 【解析】③根據(jù)其作法確定的點只有一個,而必須是兩點才能確定一條直線,因此③是錯誤的. 2. A 3. D 4. B 【解析】如解圖所示:設(shè)BC=x,∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,∴AC=2BC=2x,AB=BC=x,根據(jù)題意得:AD=BC=x,AE=DE=AB=x,作EM⊥AD于M,則AM=AD=x,在Rt△AEM中,cos∠E
12、AD===. 第4題解圖 5. 解:如解圖: 第5題解圖 (4分) 【作法提示】1.以點A為圓心,任意長為半徑作弧,分別交AD,AB于點E,F(xiàn);2.分別以點E,F(xiàn)為圓心,以大于EF長為半徑作弧,兩弧交于點G;3.作射線AG,則射線AG為∠A的平分線.4.分別以點B,C為圓心,以大于BC長為半徑作弧,兩弧交于N,M兩點;2.作直線MN交AG于點Q,則Q點為∠A的平分線與BC邊的垂直平分線的交點. 圖中發(fā)現(xiàn)以下結(jié)論: (1)∵M(jìn)N是BC的中垂線,矩形ABCD中,AD∥BC,且AD=BC, ∴MN是AD的中垂線, ∴QA=QD; (2)∵AQ是∠A的角平分線, ∴∠
13、QAD=45°, ∴△AQD是等腰直角三角形. (答案不唯一,寫出一條即可.)(6分) 6. 解:(1)如解圖,點P即為所求作的點; 第6題解圖 (4分) (2)設(shè)AB的中垂線交AB于E,交x軸于F,由作圖可得,EF⊥AB,EF⊥x軸,且OF=3, ∵OP是∠xOy的角平分線, ∴P(3,3).(6分) 7. 2 【解析】根據(jù)題意作圖,可得一個一角為30°的特殊直角三角形,較短直角邊長度為2,AB為較長直角邊,所以AB=2. 8. 5 【解析】由作圖可得EF垂直平分AB,∴點D是AB的中點,∵∠ACB=90°,∴CD為斜邊AB的中線,∴C
14、D=AB.∵BC=6,AC=8,∴AB===10,∴CD=5. 9. 解:(1)點D的位置如解圖所示,D為線段AB的垂直平分線與BC的交點;(2分) 第9題解圖 (2)∵在Rt△ABC中,∠B=37°, ∴∠CAB=53°.(3分) 由(1)知AD=BD, ∴∠BAD=∠B=37°,(4分) ∴∠CAD=∠CAB-∠BAD=53°-37°=16°.(6分) 10. (1)解:∵AB∥CD, ∴∠ACD+∠CAB=180°, ∵∠ACD=114°, ∴∠CAB=66°. 由作
15、法知,AM是∠CAB的平分線, ∴∠MAB=∠CAB=33°.(4分) (2)證明:由作法知,AM平分∠CAB, ∴∠CAM=∠MAB. ∵AB∥CD, ∴∠MAB=∠CMA, ∴∠CAM=∠CMA, 又∵CN⊥AM,CN=CN, ∴△ACN≌△MCN.(8分) 11. B 【解析】從圖中可以看出∠ACB是直徑AB所對的圓周角,是直角. 12. A 【解析】根據(jù)甲的思路,作圖如解圖①,連接OB,∵BC垂直平分OD,∴E為OD的中點,且OD⊥BC,∴OE=DE=DO,又∵OB=OD,在Rt△OBE中,OE=OB,∴∠OBE=30°,又∵∠OEB=90
16、76;,∴∠BOE=60°,∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA,又∵∠BOE為△AOB的外角,∴∠OAB=∠OBA=30°,∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60°,同理∠C=60°,∴∠BAC=60°,∴∠ABC=∠BAC=∠C,∴△ABC為等邊三角形,故甲作法正確;根據(jù)乙的思路作圖如解圖②,連接OB,DB,∵OD=BD,OD=OB,∴OD=BD=OB,∴△BOD為等邊三角形,∴∠OBD=∠BOD=60°,又BC垂直平分OD,∴OM=DM,∴BM為∠OBD的平分線,∴∠OBM=∠DBM=30°,又∵OA=OB,且∠BOD為△
17、AOB的外角,∴∠BAO=∠ABO=30°,∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°,同理∠ACB=60°,∴∠ABC=∠ACB=∠BAC,∴△ABC為等邊三角形,故乙作法正確,故選A. 第12題解圖 13. sin35°=或b≥a 【解析】如解圖所示,先畫BC=a,再以B為頂點,作∠ABC=35°,然后再以C為圓心,b為半徑畫弧交AB于點A,然后連接AC即可.若這樣的三角形只能作一個,則a,b間滿足的關(guān)系式是:①當(dāng)AC⊥AB時,即sin35°=;②滿足b≥a. 第13題解圖 14. 解:(1)作圖如解圖,△ABC即為所
18、求的直角三角形;(4分) 第14題解圖 (2)由勾股定理得,AC=2 cm, 設(shè)斜邊AC上的高為h, △ABC面積等于×4×2=×2×h,(6分) 所以h=.(8分) 15. 解:(1)如解圖①所示; 第15題解圖① (4分) (2)如解圖②所示,∵△ABC的外接圓的面積為S圓, 第15題解圖② ∴S圓=π×()2=π,(6分) △ABC的面積S△=×3a×4a=6a2,(7分) ∴==π>π.(8分) 16. (1)解:∵三邊的長度都是大于1且小于5的整數(shù)個單位長度,且任意三角形
19、都滿足兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊, ∴滿足條件的三角形有(2,2,2)、(2,2,3)、(2,3,3)、(2,3,4)、(2,4,4)、(3,3,3)、(3,3,4)、(3,4,4)、(4,4,4).(6分) (2)解:∵a<b<c, ∴(2,3,4)符合題意,(8分) 作圖如解圖,△ABC即為所求三角形. 第16題解圖 (10分) 17. 解:(1)作圖如解圖①, 第17題解圖① (6分) 【解法提示】①分12個單位長度的線段,已知一條線段的長度為4個單位長度,則另兩條線段和為8個單位長度,又由于所分線段的長度為已知單位長度的整數(shù)倍,故采用一般列舉
20、法:(1,7)、(2,6)、(3,5)、(4,4)、(5,3)、(6,2)、(7,1),由于所分線段要構(gòu)成三角形,則需要滿足兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊,故可選的只能為(3,5)、(4,4)、(5,3),由于不全等,即可構(gòu)成的三角形可能選擇(3,5)、(4,4)兩種情況;②利用已知三邊作三角形,可先作一條已知線段為邊,再分別用另兩條線段為半徑,已知線段兩端點為圓心畫弧,兩弧交點為第三個頂點,分別連線即可. (2)當(dāng)三角形三邊長為3,4,5時,由勾股定理逆定理可知,三角形為直角三角形,則外接圓的直徑為5,則周長為:C=2πr=2π×=5π;(8分) 當(dāng)三角形三邊長為4,4
21、,4,則三角形為等邊三角形,如解圖②,令A(yù)B為一邊,O為外接圓圓心,作OH⊥AB于點H,連接OA,OB,則OA,OB為三角形外接圓半徑,且∠AOB==120°,∠AOH=60°,AH=2,sin∠AOH=,即=,∴OA=, ∴C=2πr=2π×=π.(10分) 第17題解圖② 18. C 【解析】如解圖,連接BM, 第18題解圖 根據(jù)題意得:OB=OA=1,AD⊥OB,BM=DM,∵OA的垂直平分線交OA于點M,∴OM=AM=OA=,∴BM==,∴DM=,∴OD=DM-OM=-=,∴BD2=OD2+OB2===OD. 19. 解:(1)如解圖,⊙O即為所求; 第19題解圖 (3分) (2)連接OD,則OD⊥AB,OE⊥BC, ∴∠ODB=∠OEB=90°, 又∵∠B=40°, ∴∠DOE=140°, ∴∠EFD=70°.(6分)
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