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1、
第63練 橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程
訓(xùn)練目標(biāo)
(1)理解橢圓的定義,能利用定義求方程;(2)會(huì)依據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程用待定系數(shù)法求橢圓方程.
訓(xùn)練題型
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)橢圓定義的應(yīng)用;(3)求參數(shù)值.
解題策略
(1)定義法求方程;(2)待定系數(shù)法求方程;(3)根據(jù)橢圓定義及a、b、c之間的關(guān)系列方程求參數(shù)值.
一、選擇題
1.設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓+=1的左,右焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),M是F1P的中點(diǎn),|OM|=3,則P點(diǎn)到橢圓左焦點(diǎn)的距離為( )
A.4 B.3
C.2 D.5
2.(20xx·天津紅橋區(qū)一模)已知橢圓C的焦點(diǎn)在y軸
2、上,焦距等于4,離心率為,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
3.(20xx·蘭州質(zhì)檢)已知橢圓+=1(a>b>0)的左,右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P在橢圓上,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若|OP|=|F1F2|,且|PF1||PF2|=a2,則該橢圓的離心率為( )
A. B.
C. D.
4.(20xx·衡水模擬)已知F1、F2是橢圓+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn),則使|PF1|·|PF2|取最大值的點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )
A.(-2,0) B.(0,1)
C.(2,0) D.(0
3、,1)或(0,-1)
5.(20xx·三明模擬)設(shè)F1,F(xiàn)2是橢圓+=1的兩個(gè)焦點(diǎn),P是橢圓上的點(diǎn),且|PF1|∶|PF2|=4∶3,則△PF1F2的面積為( )
A.30 B.25
C.24 D.40
6.(20xx·煙臺(tái)質(zhì)檢)一個(gè)橢圓中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2在x軸上,P(2,)是橢圓上一點(diǎn),且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數(shù)列,則橢圓的方程為( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
7.(20xx·衡水冀州中學(xué)月考)若橢圓+=1(a>b>0)的離心率e=,右焦點(diǎn)為F(c,0),方程ax
4、2+2bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是x1,x2,則點(diǎn)P(x1,x2)到原點(diǎn)的距離為 ( )
A. B.
C.2 D.
8.已知A(-1,0),B是圓F:x2-2x+y2-11=0(F為圓心)上一動(dòng)點(diǎn),線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)交BF于點(diǎn)P,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為( )
A.+=1 B.-=1
C.-=1 D.+=1
二、填空題
9.(20xx·池州模擬)已知M(,0),橢圓+y2=1與直線(xiàn)y=k(x+)交于點(diǎn)A,B,則△ABM的周長(zhǎng)為_(kāi)_______.
10.(20xx·豫北六校聯(lián)考)如圖所示,A,B是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn),C是AB的中點(diǎn),F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)
5、,OC的延長(zhǎng)線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)M,且|OF|=,若MF⊥OA,則橢圓的方程為_(kāi)___________.
11.(教材改編)已知點(diǎn)P(x,y)在曲線(xiàn)+=1(b>0)上,則x2+2y的最大值f(b)=__________________.(用含b的代數(shù)式表示)
12.(20xx·合肥一模)若橢圓+=1的焦點(diǎn)在x軸上,過(guò)點(diǎn)(1,)作圓x2+y2=1的切線(xiàn),切點(diǎn)分別為A,B,直線(xiàn)AB恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn),則橢圓的方程是________________.
答案精析
1.A [由題意知|OM|=|PF2|=3,∴|PF2|=6,
∴|PF1|=2a-|PF2|=1
6、0-6=4.]
2.C [由題意可得2c=4,故c=2,又e==,解得a=2,
故b==2,因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上,故選C.]
3.C [由|OP|=|F1F2|,且|PF1||PF2|=a2,可得點(diǎn)P是橢圓的短軸端點(diǎn),
即P(0,±b),故b=×2c=c,
故a=c,即離心率e==,故選C.]
4.D [由橢圓定義得|PF1|+|PF2|=2a=4,
所以|PF1|·|PF2|≤2=4,
當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|=2,
即P(0,-1)或P(0,1)時(shí),取“=”.]
5.C [∵|PF1|+|PF2|=14,
又|PF1|∶|PF2|=4∶
7、3,
∴|PF1|=8,|PF2|=6.
∵|F1F2|=10,∴PF1⊥PF2.
∴S△PF1F2=|PF1|·|PF2|=×8×6=24.]
6.A [設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0).由點(diǎn)P(2,)在橢圓上知+=1.又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數(shù)列,則|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即2a=2·2c,=,又c2=a2-b2,
聯(lián)立得a2=8,b2=6.]
7.A [由e==,得a=2c,所以b==c,
則方程ax2+2bx+c=0為2x2+2x+1=0,所以x1+x2=-,x1x2=,
則點(diǎn)
8、P(x1,x2)到原點(diǎn)的距離為
d====,故選A.]
8.D [圓F的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程得,(x-1)2+y2=12?F(1,0),半徑r=2,由已知可得|FB|=|PF|+|PB|=|PF|+|PA|=2>2=|AF|?動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A、F為焦點(diǎn)的橢圓?a=,c=1?b2=a2-c2=2?動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是+=1,故選D.]
9.8
解析 依題意得,a=2,M(,0)與F(-,0)是橢圓的焦點(diǎn),則直線(xiàn)AB過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F(-,0),且|AB|=|AF|+|BF|,△ABM的周長(zhǎng)等于|AB|+|AM|+|BM|=(|AF|+|AM|)+(|BF|+|BM|)=4a=8.
1
9、0.+=1
解析 設(shè)所求的橢圓方程為+=1(a>b>0),則A(a,0),B(0,b),
C,F(xiàn)(,0),
依題意,得=,所以M,
由于O,C,M三點(diǎn)共線(xiàn),所以=,
即a2-2=2,所以a2=4,b2=2,所以所求的橢圓的方程為+=1.
11.
解析 由+=1,得x2=4,令T=x2+2y,將其代入得T=4-+2y.
即T=-2++4(-b≤y≤b).當(dāng)≤b,即0<b≤4,y=時(shí),f(b)=+4;
當(dāng)>b,即b>4,y=b時(shí),f(b)=2b.
所以f(b)=
12.+=1
解析 由題意可設(shè)斜率存在的切線(xiàn)的方程為y-=k(x-1)(k為切線(xiàn)的斜率),
即2kx-2y-2k+1=0,由=1,解得k=-,
所以圓x2+y2=1的一條切線(xiàn)方程為3x+4y-5=0,求得切點(diǎn)A(,),
易知另一切點(diǎn)為B(1,0),
則直線(xiàn)AB的方程為y=-2x+2.
令y=0得右焦點(diǎn)為(1,0),即c=1,
令x=0得上頂點(diǎn)為(0,2),即b=2,
所以a2=b2+c2=5,
故所求橢圓的方程為+=1.