《人教版 高中數(shù)學【選修 21】 創(chuàng)新應用教學案：第二章2.1合情推理與演繹推理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《人教版 高中數(shù)學【選修 21】 創(chuàng)新應用教學案：第二章2.1合情推理與演繹推理（27頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2019人教版精品教學資料·高中選修數(shù)學 第1課時　合情推理 [核心必知] 1．預習教材，問題導入 根據(jù)以下提綱，預習教材P22～P29的內(nèi)容，回答下列問題． (1)哥德巴赫提出猜想的推理過程是什么？ 提示：通過對一些偶數(shù)的驗證，他發(fā)現(xiàn)它們總可以表示成兩個奇質(zhì)數(shù)之和，而且沒出現(xiàn)反例．于是提出猜想——“任何一個不小于6的偶數(shù)都等于兩個奇質(zhì)數(shù)之和”． (2)觀察教材P24～P25的幾個實例，這幾個推理是歸納推理嗎？它們有什么共同特點？ 提示：這幾個推理不是歸納推理．它們的共同特點是兩類事物間的推理． 2．歸納總結(jié)，核心必記 (1)歸納推理 ①

2、歸納推理的定義 由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理． ②歸納推理的特征 歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理． (2)類比推理 ①類比推理的定義 由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理，稱為類比推理． ②類比推理的特征 類比推理是由特殊到特殊的推理． (3)合情推理 ①含義： 歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理． ②合情推理的過程

3、： [問題思考] (1)歸納推理和類比推理的結(jié)論一定正確嗎？ 提示：歸納推理的結(jié)論超出了前提所界定的范圍，其結(jié)論不一定正確．類比推理是從人們已經(jīng)掌握了的事物的特征，推測正在被研究中的事物的特征，所以類比推理的結(jié)果具有猜測性，不一定可靠． (2)<，<，<，… 由此猜想：<(m為正實數(shù))．上述推理是歸納推理還是類比推理？ 提示：歸納推理． (3)由平面內(nèi)平行于同一直線的兩直線平行，猜想：空間中平行于同一平面的兩個平面平行．此推理是歸納推理還是類比推理？ 提示：類比推理． [課前反思] (1)歸納推理的定義和特征各是什么？ 　 (2)類比推理

4、的定義和特征各是什么？ 　 (3)歸納推理和類比推理有什么不同？ 　 角度一：數(shù)(式)中的歸納推理 講一講 1．(1)觀察下列各式： 13＝12， 13＋23＝32， 13＋23＋33＝62， 13＋23＋33＋43＝102， …… 照此規(guī)律，第n個等式可為________． (2)(鏈接教材P23－例2)若數(shù)列{an}的通項公式an＝(n∈N*)，記f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，通過計算f(1)，f(2)，f(3)的值，推測出f(n)的表達式． [嘗試解答]　(1)左邊各項冪的底數(shù)→右邊各項冪的底數(shù) 1→1， 1,2→3，

5、 1,2,3→6， 1,2,3,4→10， 由左、右兩邊各項冪的底數(shù)之間的關系： 1＝1， 1＋2＝3， 1＋2＋3＝6， 1＋2＋3＋4＝10， 可得一般性結(jié)論： 13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2， 即13＋23＋33＋…＋n3＝2. (2)∵an＝， ∴a1＝，a2＝，a3＝. ∴f(1)＝1－a1＝， f(2)＝＝， f(3)＝××＝. ∴推測f(n)＝. [答案]　(1)13＋23＋33＋…＋n3＝2 (1)根據(jù)給出的幾個具體等式歸納其一般結(jié)論時，要注意從等式的項數(shù)、次數(shù)、分式的分子與分母各自的特點及變

6、化規(guī)律入手進行歸納，要注意等式中項數(shù)、次數(shù)等與等式序號n的關系，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，然后用含有字母的等式表示一般性結(jié)論． (2)數(shù)列中的歸納推理的方法： ①通過所給的條件求得數(shù)列中的前幾項； ②觀察數(shù)列的前幾項，尋求項與項數(shù)之間的規(guī)律，猜測數(shù)列的通項公式并加以證明． 練一練 1．觀察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， … 照此規(guī)律，第n個等式可為 ___________________． 解析：觀察規(guī)律可知，第n個式子為12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1. 答案：12－22＋

7、32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1 角度二：圖形中的歸納推理 講一講 2．(1)有兩種花色的正六邊形地面磚，按下圖的規(guī)律拼成若干個圖案，則第六個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數(shù)是(　　) A．26 B．31 C．32 D．36 (2)把1,3,6,10,15,21，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因為個數(shù)等于這些數(shù)目的點可以分別排成一個正三角形(如圖)，試求第七個三角形數(shù)是________． [嘗試解答]　(1)法一：有菱形紋的正六邊形個數(shù)如下表： 圖案 1 2 3 … 個數(shù) 6 11 16 … 由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個數(shù)依次

8、組成一個以6為首項，以5為公差的等差數(shù)列，所以第六個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數(shù)是6＋5×(6－1)＝31. 法二：由圖案的排列規(guī)律可知，除第一塊無紋正六邊形需6塊有紋正六邊形圍繞(第一個圖案)外，每增加一塊無紋正六邊形，只需增加5塊菱形紋正六邊形(每兩塊相鄰的無紋正六邊形之間有一塊“公共”的菱形紋正六邊形)，故第六個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數(shù)為：6＋5×(6－1)＝31.故選B. (2)第七個三角形數(shù)為1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28. [答案]　(1)B　(2)28 解決圖形中歸納推理的方法 解決與圖形有關的歸納推理問題常從以下兩個方面著手：

9、 (1)從圖形的數(shù)量規(guī)律入手，找到數(shù)值變化與數(shù)量的關系． (2)從圖形的結(jié)構(gòu)變化規(guī)律入手，找到圖形的結(jié)構(gòu)每發(fā)生一次變化后，與上一次比較，數(shù)值發(fā)生了怎樣的變化． 練一練 2．我們把1,4,9,16,25，…這些數(shù)稱做正方形數(shù)，這是因為個數(shù)等于這些數(shù)目的點可以分別排成一個正方形(如圖)． 則第n個正方形數(shù)是(　　) A．n(n－1) B．n(n＋1) C．n2 D．(n＋1)2 解析：選C　觀察前5個正方形數(shù)，恰好是序號的平方，所以第n個正方形數(shù)應為n2. 　 講一講 3．三角形與四面體有下列共同的性質(zhì)： (1)三角形是平面內(nèi)由線段所圍成的

10、最簡單的封閉圖形；四面體是空間中由平面三角形所圍成的最簡單的封閉圖形． (2)三角形可以看做平面上一條線段外一點與這條直線段上的各點連線所形成的圖形；四面體可以看做三角形外一點與這個三角形上各點連線所形成的圖形． 通過類比推理，根據(jù)三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)填寫下表： 三角形 四面體 三角形兩邊之和大于第三邊 三角形的中位線等于第三邊的一半并且平行于第三邊 三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點，且這個點是三角形內(nèi)切圓的圓心 三角形的面積S＝(a＋b＋c)r(r為三角形內(nèi)切圓的半徑) [嘗試解答]　三角形和四面體分別是平面圖形和空間圖形，三角形的邊對應四面體

11、的面，即平面的線類比空間的面；三角形的中位線對應四面體的中截面，三角形的內(nèi)角對應四面體的二面角，三角形的內(nèi)切圓對應四面體的內(nèi)切球．具體見下表： 三角形 四面體 三角形兩邊之和大于第三邊 四面體任意三個面的面積之和大于第四個面的面積 三角形的中位線等于第三邊的一半并且平行于第三邊 四面體的中截面的面積等于第四個面面積的，且平行于第四個面 三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點，且這個點是三角形內(nèi)切圓的圓心 四面體的六個二面角的平分面交于一點，且這個點是四面體的內(nèi)切球的球心 三角形的面積為S＝(a＋b＋c)r(r為三角形內(nèi)切圓的半徑) 四面體的體積為V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r

12、(S1、S2、S3、S4為四面體四個面的面積，r為四面體內(nèi)切球的半徑) (1)類比推理的一般步驟：①找出兩類對象之間可以確切表述的相似性(或一致性)；②用一類對象的性質(zhì)去推測另一類對象的性質(zhì)，從而得出一個明確的命題(猜想)． (2)運用類比推理的關鍵是確定類比對象，常見的類比對象有： ①平面幾何與立體幾何：能進行類比的基本元素有： ②實數(shù)相等關系與不等關系；方程與不等式的性質(zhì)． ③實數(shù)滿足的運算律與向量滿足的運算律． ④等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及性質(zhì)． ⑤圓錐曲線的定義及性質(zhì)． 練一練 3．如圖所示， 在△ABC中，射影定理可表示為a＝b

13、83;cos C＋c·cos B，其中a，b，c分別為角A，B，C的對邊，類比上述定理，寫出對空間四面體性質(zhì)的猜想． 解：如圖所示，在四面體P­ABC中，S1，S2，S3，S分別為△PAB，△PBC，△PAC，△ABC的面積，α，β，γ分別為側(cè)面PAB，側(cè)面PBC，側(cè)面PAC與底面ABC所成二面角的大小，猜想：在四面體P­ABC中，S＝S1cos α＋S2cos β＋S3cos γ. ———————————[課堂歸納——感悟提升]————————————— 1．本節(jié)課的重點是歸納推理和類比推理的應用．難點是對歸納推理、類比推理結(jié)論的真假判定．

14、 2．本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法 (1)數(shù)(式)中的歸納推理，見講1； (2)圖形中的歸納推理，見講2； (3)類比推理的應用，見講3. 課下能力提升(三) [學業(yè)水平達標練] 題組1　數(shù)(式)中的歸納推理 1．已知數(shù)列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，則數(shù)列的第k項是(　　) A．a(chǎn)k＋ak＋1＋…＋a2k B．a(chǎn)k－1＋ak＋…＋a2k－1 C．a(chǎn)k－1＋ak＋…＋a2k D．a(chǎn)k－1＋ak＋…＋a2k－2 解析：選D　利用歸納推理可知，第k項中第一個數(shù)為ak－1，且第k項中有k項，且次數(shù)連續(xù)，故第k項為ak－1＋ak＋…

15、＋a2k－2. 2．如圖所示，n個連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排列如下： 根據(jù)規(guī)律，從2 014到2 016的箭頭方向依次為(　　) A．→↑ B．↑→ C．↓→ D．→↓ 解析：選B　觀察總結(jié)規(guī)律為：以4個數(shù)為一個周期，箭頭方向重復出現(xiàn)．因此，2 014到2 016的箭頭方向和2到4的箭頭方向是一致的．故選B. 3．根據(jù)給出的等式猜測123 456×9＋7等于(　　) 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111 A．1

16、 111 110 B．1 111 111 C．1 111 112 D．1 111 113 解析：選B　由題中給出的等式猜測，應是各位數(shù)都是1的七位數(shù)，即1 111 111. 4．設函數(shù)f(x)＝(x＞0)，觀察： f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝， f3(x)＝f(f2(x))＝， f4(x)＝f(f3(x))＝， … 根據(jù)以上事實，由歸納推理可得： 當n∈N*且n≥2時，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________. 解析：根據(jù)題意知，分子都是x，分母中的常數(shù)項依次是2,4,8,16，…，可知fn(x)的分母中常數(shù)項為2n，分母中x的系數(shù)為

17、2n－1，故fn(x)＝. 答案： 題組2　圖形中的歸納推理 5．如圖為一串白黑相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排起來，那么第36顆珠子應是什么顏色(　　) A．白色 B．黑色 C．白色可能性大 D．黑色可能性大 解析：選A　由圖，知三白二黑周期性排列，36＝5×7＋1，故第36顆珠子的顏色為白色． 6．如圖所示，著色的三角形的個數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列{an}的前4項，則這個數(shù)列的一個通項公式為(　　) A．a(chǎn)n＝3n－1 B．a(chǎn)n＝3n C．a(chǎn)n＝3n－2n D．a(chǎn)n＝3n－1＋2n－3 解析：選A　∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝2

18、7， ∴猜想an＝3n－1. 7．如圖所示，在圓內(nèi)畫一條線段，將圓分成兩部分；畫兩條線段，彼此最多分割成4條線段，將圓最多分割成4部分；畫三條線段，彼此最多分割成9條線段，將圓最多分割成7部分；畫四條線段，彼此最多分割成16條線段，將圓最多分割成11部分． 猜想：在圓內(nèi)畫n(n≥2)條線段，彼此最多分割成多少條線段？將圓最多分割成多少部分？ 解：設圓內(nèi)兩兩相交的n條線段，彼此最多分割成的線段為f(n)條，將圓最多分割為g(n)部分． f(1)＝1＝12， g(1)＝2； f(2)＝4＝22， g(2)＝4＝2＋2； f(3)＝9＝32， g(3)＝7＝2＋2＋3； f

19、(4)＝16＝42， g(4)＝11＝2＋2＋3＋4； 猜想：f(n)＝n2， g(n)＝2＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋＝. 即圓內(nèi)兩兩相交的n(n≥2)條線段，彼此最多分割為n2條線段，將圓最多分割為部分． 題組3　類比推理 8．已知{bn}為等比數(shù)列，b5＝2，且b1b2b3…b9＝29.若{an}為等差數(shù)列，a5＝2，則{an}的類似結(jié)論為(　　) A．a(chǎn)1a2a3…a9＝29 B．a(chǎn)1＋a2＋…＋a9＝29 C．a(chǎn)1a2…a9＝2×9 D．a(chǎn)1＋a2＋…＋a9＝2×9 解析：選D　等比數(shù)列中的積(乘方)類比等差數(shù)列中的和(積)，得a1＋a

20、2＋…＋a9＝2×9. 9．在平面中，△ABC的∠ACB的平分線CE分△ABC面積所成的比＝，將這個結(jié)論類比到空間：在三棱錐A­BCD中，平面DEC平分二面角A­CD­B且與AB交于E，則類比的結(jié)論為________． 解析：平面中的面積類比到空間為體積， 故類比成. 平面中的線段長類比到空間為面積， 故類比成. 故有＝. 答案：＝ 10．在矩形ABCD中，對角線AC與兩鄰邊所成的角分別為α，β，則cos2α＋cos2β＝1，在立體幾何中，通過類比，給出猜想并證明． 解：如圖①，在矩形ABCD中，cos2α＋cos2 β＝2＋2＝＝

21、＝1. 于是類比到長方體中，猜想其體對角線與共頂點的三條棱所成的角分別為α，β，γ， 則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1， 證明如下： 如圖②，cos2α＋cos2β＋cos2γ ＝2＋2＋2 ＝＝＝1. [能力提升綜合練] 1．觀察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，則72 016的末兩位數(shù)字為(　　) A．01 B．43 C．07 D．49 解析：選A　因為71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401，75＝16 807,76＝117 649，…， 所以這些數(shù)的末兩位數(shù)字呈周期性出現(xiàn)，且周期T＝4.又2 016＝4

22、×504， 所以72 016的末兩位數(shù)字與74的末兩位數(shù)字相同，為01. 2．定義A*B，B*C，C*D，D*B依次對應下列4個圖形： 那么下列4個圖形中， 可以表示A*D，A*C的分別是(　　) A．(1)，(2) B．(1)，(3) C．(2)，(4) D．(1)，(4) 解析：選C　由①②③④可歸納得出：符號“*”表示圖形的疊加，字母A代表豎線，字母B代表大矩形，字母C代表橫線，字母D代表小矩形， ∴A*D是(2)，A*C是(4)． 3．古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)．比如： 他們研究過圖(1)中的1,3,6,10，…，由

23、于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖(2)中的1,4,9,16，…，這樣的數(shù)為正方形數(shù)．下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是(　　) A．289 B．1 024 C．1 225 D．1 378 解析：選C　記三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為{an}，則a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，a4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通項公式為an＝1＋2＋3＋…＋n＝. 同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的通項公式為bn＝n2. 將四個選項的數(shù)字分別代入上述兩個通項公式，使得n都為正整數(shù)的只有1 225. 4．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8

24、，S16－S12成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設等比數(shù)列{bn}的前n項積為Tn，則T4，________，________，成等比數(shù)列． 解析：等差數(shù)列類比于等比數(shù)列時，和類比于積，減法類比于除法，可得類比結(jié)論為：設等比數(shù)列{bn}的前n項積為Tn，則T4，，，成等比數(shù)列． 答案：　 5．將正整數(shù)排成下表： 1 2　　3　　　4 5 6 7　　　8　　　9 10　 11　　 12　　 13　　 14　　 15　　 16 …… 則在表中數(shù)字2 016出現(xiàn)在第________行，第________列． 解析：第n行有2n－1個數(shù)字，前n行的數(shù)字個數(shù)為1＋3＋5＋…＋(2n－

25、1)＝n2. ∵442＝1 936,452＝2 025， 且1 936＜2 016＜2 025， ∴2 016在第45行． 又2 025－2 016＝9， 且第45行有2×45－1＝89個數(shù)字， ∴2 016在第89－9＝80列． 答案：45　80 6．已知橢圓具有以下性質(zhì)：若M，N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時，kPM與kPN之積是與點P的位置無關的定值．試對雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)寫出具有類似特征的性質(zhì)，并加以證明． 解：類似的性質(zhì)為：若M，N是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)上關于

26、原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時，kPM與kPN之積是與點P的位置無關的定值． 證明如下：設點M，P的坐標分別為(m，n)，(x，y)， 則N(－m，－n)． 因為點M(m，n)在已知的雙曲線上， 所以－＝1， 得n2＝m2－b2. 同理，y2＝x2－b2，則y2－n2＝(x2－m2)． 所以kPM·kPN＝·＝＝·＝(定值)． 所以kPM與kPN之積是與點P的位置無關的定值． 7．如圖所示為m行m＋1列的士兵方陣(m∈N*，m≥2)． (1)寫出一個數(shù)列，用它表示當

27、m分別是2,3,4,5，…時，方陣中士兵的人數(shù)； (2)若把(1)中的數(shù)列記為{an}，歸納該數(shù)列的通項公式； (3)求a10，并說明a10表示的實際意義； (4)已知an＝9 900，問an是數(shù)列第幾項？ 解：(1)當m＝2時，表示一個2行3列的士兵方陣，共有6人，依次可以得到當m＝3,4,5，…時的士兵人數(shù)分別為12,20,30，….故所求數(shù)列為6,12,20,30，…. (2)因為a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，所以猜想an＝(n＋1) (n＋2)，n∈N*. (3)a10＝11×12＝132.a10表示11行12列的士兵

28、方陣的人數(shù)為132. (4)令(n＋1)(n＋2)＝9 900，所以n＝98，即an是數(shù)列的第98項，此時方陣為99行100列． 第2課時　演 繹 推 理 [核心必知] 1．預習教材，問題導入 根據(jù)以下提綱，預習教材P30～P33的內(nèi)容，回答下列問題． 閱讀教材中的5個推理(如下所示)，并回答問題： ①所有的金屬都能夠?qū)щ?，鈾是金屬，所以鈾能夠?qū)щ姡? ②太陽系的行星都以橢圓形軌道繞太陽運行，天王星是太陽系的行星，因此天王星以橢圓形軌道繞太陽運行； ③一切奇數(shù)都不能被2整除，(2100＋1)是奇數(shù)，所以(2100＋1)不能被2整除； ④三角函數(shù)都是周期函數(shù)，t

29、an α是三角函數(shù)，因此tanα是周期函數(shù)； ⑤兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補．如果∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，那么∠A＋∠B＝180°. (1)以上五個推理有什么共同特點？ 提示：都是從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論． (2)以上五個推理，都有三段，每一段在“推理”中各自名稱是什么？ 提示：第一段稱為“大前提”，第二段稱為“小前提”，第三段稱為“結(jié)論”． 2．歸納總結(jié)，核心必記 (1)演繹推理的概念 從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論的推理稱為演繹推理． 簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理． (2)三段論 “三段論”是演繹推理的一般

30、模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情況； ③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況作出的判斷． “三段論”可以表示為： 大前提：M是P. 小前提：S是M. 結(jié)論：S是P. [問題思考] (1)“三段論”就是演繹推理嗎？ 提示：不是．三段論是演繹推理的一般模式． (2)演繹推理的結(jié)論一定正確嗎？ 提示：因為演繹推理的結(jié)論不會超出前提所界定的范圍，所以在演繹推理中，只要前提和推理形式正確，其結(jié)論就一定正確． (3)如何在演繹推理中分清大前提、小前提和結(jié)論？ 提示：在演繹推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情況，結(jié)論是根

31、據(jù)一般原理對特殊情況作出的判斷．例如，平行四邊形對角線互相平分，這是一般情況；矩形是平行四邊形，這是特例；矩形對角線互相平分，這是特例具有的一般意義． [課前反思] (1)演繹推理的定義是什么？ ??； (2)“三段論”的內(nèi)容是什么？ ?。? (3)演繹推理與合情推理有什么區(qū)別？ 　 　.. 　 [思考]　如何將演繹推理寫成三段論的形式？ 名師指津：三段論由大前提、小前提和結(jié)論組成；大前提提供一般原理，小前提提供特殊情況，兩者結(jié)合起來，體現(xiàn)一般原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，在用三段論寫推理過程時，關鍵是明確命題的大、小前提． 講一講 1．把下列演繹推理寫成三段論的形

32、式． (1)在一個標準大氣壓下，水的沸點是100 ℃，所以在一個標準大氣壓下把水加熱到100 ℃時，水會沸騰； (2)一切偶數(shù)都能被2整除，256是偶數(shù)，所以256能被2整除； (3)函數(shù)y＝x＋5的圖象是一條直線． [嘗試解答]　(1)在一個標準大氣壓下，水的沸點是100 ℃，大前提 在一個標準大氣壓下把水加熱到100 ℃，小前提 水會沸騰．結(jié)論 (2)一切偶數(shù)都能被2整除，大前提 256是偶數(shù)，小前提 256能被2整除．結(jié)論 (3)因為一次函數(shù)的圖象是一條直線，大前提 y＝x＋5是一次函數(shù)，小前提 所以y＝x＋5的圖象是一條直線．結(jié)論 將演繹推理寫成三

33、段論的方法 (1)用三段論寫推理過程時，關鍵是明確大、小前提． (2)用三段論寫推理過程中，有時可省略小前提，有時甚至也可大前提與小前提都省略． (3)在尋找大前提時，可找一個使結(jié)論成立的充分條件作為大前提． 練一練 1．試將下列演繹推理寫成三段論的形式： (1)太陽系的大行星都以橢圓形軌道繞太陽運行，海王星是太陽系中的大行星，所以海王星以橢圓形軌道繞太陽運行； (2)所有導體通電時發(fā)熱，鐵是導體，所以鐵通電時發(fā)熱； (3)一次函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，函數(shù)y＝2x－1是一次函數(shù)，所以y＝2x－1是單調(diào)函數(shù)； (4)等差數(shù)列的通項公式具有an＝pn＋q(p，q是常數(shù))的形式，數(shù)列1,

34、2,3，…，n是等差數(shù)列，所以數(shù)列1,2,3，…，n的通項具有an＝pn＋q的形式． 解：(1)太陽系的大行星都以橢圓形軌道繞太陽運行， 大前提 海王星是太陽系中的大行星，小前提 海王星以橢圓形軌道繞太陽運行．結(jié)論 (2)所有導體通電時發(fā)熱，大前提 鐵是導體，小前提 鐵通電時發(fā)熱．結(jié)論 (3)一次函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)，大前提 函數(shù)y＝2x－1是一次函數(shù)，小前提 y＝2x－1是單調(diào)函數(shù)．結(jié)論 (4)等差數(shù)列的通項公式具有an＝pn＋q的形式，大前提 數(shù)列1,2,3，…，n是等差數(shù)列，小前提 數(shù)列1,2,3，…，n的通項具有an＝pn＋q的形式．結(jié)論 　 講一講

35、2．(鏈接教材P31—例6)如圖，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB上的點，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求證：ED＝AF，寫出三段論形式的演繹推理． [嘗試解答]　因為同位角相等，兩條直線平行，大前提 ∠BFD與∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提 所以FD∥AE.結(jié)論 因為兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，大前提 DE∥BA，且FD∥AE，小前提 所以四邊形AFDE為平行四邊形．結(jié)論 因為平行四邊形的對邊相等，大前提 ED和AF為平行四邊形AFDE的對邊，小前提 所以ED＝AF.結(jié)論 (1)用“三段論”證明命題的格式 (2)用“三段論”證明命題的

36、步驟 ①理清證明命題的一般思路； ②找出每一個結(jié)論得出的原因； ③把每個結(jié)論的推出過程用“三段論”表示出來． 練一練 2．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，求證：EF∥平面BCD. 證明：三角形的中位線平行于第三邊，大前提 點E、F分別是AB、AD的中點，小前提 所以EF∥BD.結(jié)論 若平面外一條直線平行于平面內(nèi)一條直線，則此直線與此平面平行，大前提 EF?平面BCD，BD?平面BCD，EF∥BD，小前提 EF∥平面BCD.結(jié)論 　 講一講 3．(鏈接教材P32—例7)已知函數(shù)f(x)＝ax＋(a＞1)，求證：函數(shù)f(

37、x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)． [嘗試解答]　對于定義域內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量x1，x2，若x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)，則f(x)在該區(qū)間上是增函數(shù)．大前提 設x1，x2是(－1，＋∞)上的任意兩實數(shù)，且x1＜x2， 則f(x1)－f(x2)＝ax1＋－ax2－＝ax1－ax2＋－＝ax1－ax2＋， ∵a＞1，且x1＜x2， ∴ax1＜ax2，x1－x2＜0. 又∵x1＞－1，x2＞－1， ∴(x1＋1)(x2＋1)＞0. ∴f(x1)－f(x2)＜0. ∴f(x1)＜f(x2)．小前提 ∴函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)．結(jié)論 使

38、用三段論應注意的問題 (1)應用三段論證明問題時，要充分挖掘題目外在和內(nèi)在條件(小前提)，根據(jù)需要引入相關的適用的定理和性質(zhì)(大前提)，并保證每一步的推理都是正確嚴密的，才能得出正確的結(jié)論． (2)證明中常見的錯誤： ①條件分析錯誤(小前提錯)． ②定理引入和應用錯誤(大前提錯)． ③推理過程錯誤等． 練一練 3．已知等差數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)且lg a1，lg a2，lg a4成等差數(shù)列，又bn＝(n＝1,2,3，…)．求證：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列． 證明：因為lg a1，lg a2，lg a4成等差數(shù)列， 所以2lg a2＝lg a1＋lg a4， 即a＝a1

39、a4. 設等差數(shù)列{an}的公差為d， 則(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，即a1d＝d2， 從而d(d－a1)＝0. ①若d＝0，數(shù)列{an}為常數(shù)列， 故數(shù)列{bn}也是常數(shù)列，此時{bn}是首項為正數(shù)、公比為1的等比數(shù)列． ②若d＝a1≠0，則a2n＝a1＋(2n－1)d＝2nd， 所以bn＝＝. 所以當n≥2時，＝＝. 所以數(shù)列{bn}是以為首項、為公比的等比數(shù)列． 綜上，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列． ———————————[課堂歸納——感悟提升]————————————— 1．本節(jié)課的重點是三段論，難點是用三段論證明有關問題． 2．本節(jié)課要重點掌握的規(guī)

40、律方法 (1)用三段論表示演繹推理，見講1； (2)用三段論證明幾何、代數(shù)問題，見講2和講3. 3．在數(shù)學問題的證明題中，每一步都包含著一般性原理，都可以分析出大前提，將一般性原理應用于特殊情況，只要推理形式準確，就能恰當準確地解決問題．在解決問題時，會涉及到數(shù)學中的一般性原理，主要是指數(shù)學中的公式、公理、定理、性質(zhì)等，這就要求我們基礎牢固，對涉及的相關知識能靈活應用，并能進行恰當?shù)牡葍r轉(zhuǎn)化． 課下能力提升(四) [學業(yè)水平達標練] 題組1　用三段論表示演繹推理 1．“所有金屬都能導電，鐵是金屬，所以鐵能導電”這種推理方法屬于(　　) A．演繹推理 B．類比推

41、理 C．合情推理 D．歸納推理 答案：A 2．“因為四邊形ABCD是矩形，所以四邊形ABCD的對角線相等”，補充以上推理的大前提是(　　) A．正方形都是對角線相等的四邊形 B．矩形都是對角線相等的四邊形 C．等腰梯形都是對角線相等的四邊形 D．矩形都是對邊平行且相等的四邊形 答案：B 3．下面幾種推理中是演繹推理的是(　　) A．因為y＝2x是指數(shù)函數(shù)，所以函數(shù)y＝2x經(jīng)過定點(0,1) B．猜想數(shù)列，，，…的通項公式為an＝(n∈N*) C．由“平面內(nèi)垂直于同一直線的兩直線平行”類比推出“空間中垂直于同一平面的兩平面平行” D．由平面直角坐標系中圓的方程為(x－

42、a)2＋(y－b)2＝r2，推測空間直角坐標系中球的方程為(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2 解析：選A　A是演繹推理，B是歸納推理，C，D是類比推理. 題組2　用三段論證明幾何問題 4．有一段演繹推理是這樣的：“若一直線平行于平面，則該直線平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線b?平面α，直線a?平面α，直線b∥平面α，則直線b∥直線a”的結(jié)論顯然是錯誤的，這是因為(　　) A．大前提錯誤 B．小前提錯誤 C．推理形式錯誤 D．非以上錯誤 解析：選A　“直線與平面平行”，不能得出“直線平行于平面內(nèi)的所有直線”，即大前提錯誤． 5．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠DAB

43、＝60°，AB＝2，AD＝4.將△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD. 求證：AB⊥DE. 證明：在△ABD中， ∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°， ∴BD＝＝2. ∴AB2＋BD2＝AD2. ∴AB⊥BD. 又平面EBD⊥平面ABD， 平面EBD∩平面ABD＝BD，AB?平面ABD， ∴AB⊥平面EBD. ∵DE?平面EBD， ∴AB⊥DE. 6．如圖所示，三棱錐A­BCD的三條側(cè)棱AB，AC，AD兩兩互相垂直，O為點A在底面BCD上的射影．求證：O為△BCD的垂心． 證明：如圖，連接BO，CO，D

44、O. ∵AB⊥AD，AC⊥AD，AB∩AC＝A， ∴AD⊥平面ABC.又BC?平面ABC， ∴AD⊥BC. ∵AO⊥平面BCD， ∴AO⊥BC， 又AD∩AO＝A， ∴BC⊥平面AOD， ∴BC⊥DO，同理可證CD⊥BO， ∴O為△BCD的垂心． 題組3　用三段論證明代數(shù)問題 7．用三段論證明命題：“任何實數(shù)的平方大于0，因為a是實數(shù)，所以a2＞0”，你認為這個推理(　　) A．大前提錯誤 B．小前提錯誤 C．推理形式錯誤 D．是正確的 解析：選A　這個三段論推理的大前提是“任何實數(shù)的平方大于0”，小前提是“a是實數(shù)”，結(jié)論是“a2＞0”．顯然結(jié)論錯誤，

45、原因是大前提錯誤． 8．已知推理：“因為△ABC的三邊長依次為3,4,5，所以△ABC是直角三角形”．若將其恢復成完整的三段論，則大前提是________． 解析：大前提：一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和的三角形是直角三角形； 小前提：△ABC的三邊長依次為3,4,5，滿足32＋42＝52； 結(jié)論：△ABC是直角三角形． 答案：一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和的三角形是直角三角形 9．已知函數(shù)f(x)對任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且當x＞0時，f(x)＜0，f(1)＝－2. (1)求證：f(x)為奇函數(shù)； (2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最

46、小值． 解：(1)證明：因為x，y∈R時，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， 所以令x＝y(tǒng)＝0得，f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)， 所以f(0)＝0. 令y＝－x，則f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0， 所以f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)為奇函數(shù)． (2)設x1，x2∈R，且x1＜x2， f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)， 因為當x＞0時，f(x)＜0， 所以f(x2－x1)＜0， 即f(x2)－f(x1)＜0， 所以f(x)為減函數(shù)， 所以f(x)在[－3,3]上的最大值為f(－3)，最小值為f(3)． 因為

47、f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6， f(－3)＝－f(3)＝6， 所以函數(shù)f(x)在[－3,3]上的最大值為6，最小值為－6. [能力提升綜合練] 1．下面幾種推理過程是演繹推理的是(　　) A．兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補，如果∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則∠A＋∠B＝180° B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人數(shù)超過50人 C．由三角形的性質(zhì)，推測四面體的性質(zhì) D．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，由此歸納出an的通項公式 解析：選A　B項是歸納推理，C項是類比推理，D項是歸納推理．

48、 2．“所有9的倍數(shù)(M)都是3的倍數(shù)(P)，某奇數(shù)(S)是9的倍數(shù)(M)，故該奇數(shù)(S)是3的倍數(shù)(P)．”上述推理是(　　) A．小前提錯誤　　　　　B．結(jié)論錯誤 C．正確的 D．大前提錯誤 答案：C A．直角梯形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 4．設⊕是R內(nèi)的一個運算，A是R的非空子集．若對于任意a，b∈A，有a⊕b∈A，則稱A對運算⊕封閉．下列數(shù)集對加法、減法、乘法和除法(除數(shù)不等于零)四則運算都封閉的是(　　) A．自然數(shù)集 B．整數(shù)集 C．有理數(shù)集 D．無理數(shù)集 解析：選C　A錯：因為自然數(shù)集對減法和除法不封閉；B錯：因

49、為整數(shù)集對除法不封閉；C對：因為任意兩個有理數(shù)的和、差、積、商都是有理數(shù)，故有理數(shù)集對加、減、乘、除法(除數(shù)不等于零)四則運算都封閉；D錯：因為無理數(shù)集對加、減、乘、除法都不封閉． 5．設函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且y＝f(x)的圖象關于直線x＝對稱，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________. 解析：由題意，知f(0)＝0， f(1)＝f(0)＝0， f(2)＝f(－1)＝0， f(3)＝f(－2)＝0， f(4)＝f(－3)＝0， f(5)＝f(－4)＝0， 故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0. 答案：0 6．關于函

50、數(shù)f(x)＝lg(x≠0)，有下列命題： ①其圖象關于y軸對稱； ②當x＞0時，f(x)是增函數(shù)；當x＜0時，f(x)為減函數(shù)； ③f(x)的最小值是lg 2; ④當－1＜x＜0或x＞1時，f(x)是增函數(shù)； ⑤f(x)無最大值，也無最小值． 其中所有正確結(jié)論的序號是________． 解析：∵f(x)是偶函數(shù)， ∴①正確； 當x＞0時，f(x)＝lg＝lg≥lg 2， 當且僅當x＝1時取等號， ∴0＜x＜1時，f(x)為減函數(shù)； x＞1時，f(x)為增函數(shù)．x＝1時取得最小值lg 2. 又f(x)為偶函數(shù)， ∴－1＜x＜0時，f(x)為增函數(shù)； x＜－1時，f

51、(x)為減函數(shù)．x＝－1時取得最小值lg 2. ∴③④也正確． 答案：①③④ 7．已知2sin2α＋sin2β＝3sin α，求sin2α＋sin2β的取值范圍． 解：由2sin2α＋sin2β＝3sin α， 得sin2α＋sin2β＝－sin2α＋3sin α＝－2＋，且sin α ≥0， ∵0≤sin2β ≤1，sin2β ＝3sin α－2sin2α， ∴0≤3sin α－2sin2α≤1. 解得sin α＝1或0≤sin α ≤. 令y＝sin2α＋sin2β， 當sin α＝1時，y＝2; 當0≤sin α≤時，0≤y≤， ∴sin2α＋sin2β的取值范

52、圍是∪{2}． 8．已知a，b，c是實數(shù)，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b.當－1≤x≤1時，|f(x)|≤1. (1)求證：|c|≤1； (2)當－1≤x≤1時，求證：－2≤g(x)≤2. 證明：(1)因為x＝0滿足－1≤x≤1的條件， 所以|f(0)|≤1.而f(0)＝c， 所以|c|≤1. (2)當a＞0時，g(x)在[－1,1]上是增函數(shù)， 所以g(－1)≤g(x)≤g(1)． 又g(1)＝a＋b＝f(1)－c， g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c， 所以－f(－1)＋c≤g(x)≤f(1)－c， 又－1≤f(－1)≤1，－1≤f(1)≤1，－1≤c≤1， 所以－f(－1)＋c≥－2，f(1)－c≤2， 所以－2≤g(x)≤2. 當a＜0時，可用類似的方法，證得－2≤g(x)≤2. 當a＝0時，g(x)＝b，f(x)＝bx＋c， g(x)＝f(1)－c， 所以－2≤g(x)≤2. 綜上所述，－2≤g(x)≤2.