2019人教版精品教學(xué)資料·高中選修數(shù)學(xué) 課時(shí)作業(yè)36 一、選擇題 1．命題“對(duì)于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的證明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”，其過(guò)程應(yīng)用了(　　) A．分析法 B．綜合法 C．綜合法、分析法綜合使用 D．間接證法 解析：從證明過(guò)程來(lái)看，是從已知條件入手，經(jīng)過(guò)推導(dǎo)得出結(jié)論，符合綜合法的證明思路． 答案：B 2．欲證－<－成立，只需證(　　) A. (－)2<(－)2 B. (－)2<(－)2 C. (＋)2<(＋)2 D. (－－)2<(－)2 解析：A中，－<0，－<0平方后不等價(jià)；B、D與A情況一樣；只有C項(xiàng)，－<－?＋<＋?(＋)2<(＋)2.故選C. 答案：C 3．在△ABC中，A>B是cos2B>cos2A的(　　) A．既不充分也不必要條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．必要不充分條件 解析：∵A>B?a>b?sinA>sinB(由正弦定理得)，又cos2B>cos2A?1－2sin2B>1－2sin2A?sin2B<sin2A?sinB<sinA. ∴A>B?cos2B>cos2A.故選C. 答案：C 4．已知a、b、c、d為正實(shí)數(shù)，且<，則(　　) A. <<　 B. << C. <<　 D. 以上均可能 解析：先取特值檢驗(yàn)，∵<， 可取a＝1，b＝3，c＝1，d＝2， 則＝，滿足<<. ∴B、C不正確． 要證<，∵a、b、c、d為正實(shí)數(shù)， ∴只需證a(b＋d)<b(a＋c)，即證ad<bc. 只需證<.而<成立， ∴<.同理可證<. 故A正確，D不正確． 答案：A 二、填空題 5．設(shè)n∈N，a＝－，b＝－，則a，b的大小關(guān)系是________． 解析：要比較－與－的大小，即判斷(－)－(－) ＝(＋)－(＋)的符號(hào)， ∵(＋)2－(＋)2 ＝2[－] ＝2(－)<0， ∴－<－. 答案：a<b 6．已知p＝a＋(a>2)，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，則p與q的大小關(guān)系是________． 解析：p＝a－2＋＋2≥2＋2＝4， －a2＋4a－2＝2－(a－2)2<2， ∴q<22＝4≤p. 答案：p>q 7．若不等式(－1)na<2＋對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a<2－，而2－≥2－＝，∴a<. 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a>－2－，而－2－<－2， ∴a≥－2.綜上可得－2≤a<. 答案：[－2，) 三、解答題 8．設(shè)a，b>0，且a≠b，求證：a3＋b3>a2b＋ab2. 證明：綜合法 a≠b?a－b≠0?(a－b)2>0 ?a2－2ab＋b2>0?a2－ab＋b2>ab. 注意到a，b∈R＋，a＋b>0，由上式即得 (a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)． ∴a3＋b3>a2b＋ab2. 9．證明：若a>b>c且a＋b＋c＝0，則<. 證明：∵a>b>c且a＋b＋c＝0，∴a>0，c<0. 要證<， 只需證<a， 即證b2－ac<3a2. 因?yàn)閎＝－a－c， 故只需證(a＋c)2－ac<3a2， 即證2a2－ac－c2>0， 即證(2a＋c)(a－c)>0. ∵2a＋c>a＋b＋c＝0，a－c>0， ∴(2a＋c)(a－c)>0成立． ∴原不等式成立．