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高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科: 專題探究課5 平面解析幾何中的高考熱點(diǎn)問題 理 北師大版

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1、 五) 平面解析幾何中的高考熱點(diǎn)問題 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第153頁) [命題解讀] 圓錐曲線是平面解析幾何的核心內(nèi)容,每年高考必考一道解答題,常以求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、位置關(guān)系、定點(diǎn)、定值、最值、范圍、探索性問題為主.這些試題的命制有一個(gè)共同的特點(diǎn),就是起點(diǎn)低,但在第(2)問或第(3)問中一般都伴有較為復(fù)雜的運(yùn)算,對(duì)運(yùn)算能力,分析問題解決問題的能力要求較高,難度較大,常以壓軸題的形式出現(xiàn). 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì) 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程在高考中占有十分重要的地位.一般地,求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是作為解答題中考查“直線與圓錐曲線”的第一小題,最常用的方法是定義法與待定系數(shù)法.離心

2、率是高考對(duì)圓錐曲線考查的又一重點(diǎn),涉及a,b,c三者之間的關(guān)系.另外拋物線的準(zhǔn)線,雙曲線的漸近線也是命題的熱點(diǎn).  (20xx石家莊質(zhì)檢)如圖1,橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,過F2的直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn),且PQ⊥PF1. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140313】 圖1 (1)若|PF1|=2+,|PF2|=2-,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)若|PF1|=|PQ|,求橢圓的離心率e. [解] (1)由橢圓的定義, 2a=|PF1|+|PF2|=(2+)+(2-)=4,故a=2. 設(shè)橢圓的半焦距為c,由已知PF1⊥PF2, 因此2c=|F1F2|= ==2.

3、 即c=,從而b==1, 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1. (2)連接F1Q,如圖,由橢圓的定義知|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a, 又|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2| =(2a-|PF1|)+(2a-|QF1|), 可得|QF1|=4a-2|PF1|.① 又因?yàn)镻F1⊥PQ且|PF1|=|PQ|,所以|QF1|=|PF1|.② 由①②可得|PF1|=(4-2)a, 從而|PF2|=2a-|PF1|=(2-2)a. 由PF1⊥PF2知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, 即(4-2)2a2+(2-2)2a2=4c2,

4、可得(9-6)a2=c2, 即=9-6, 因此e===-. [規(guī)律方法] 1.用定義法求圓錐曲線的方程是常用的方法,同時(shí)應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 2.圓錐曲線的離心率刻畫曲線的扁平程度,只要明確a,b,c中任意兩量的等量關(guān)系都可求出離心率,但一定注意不同曲線離心率取值范圍的限制. [跟蹤訓(xùn)練] (20xx河南3月適應(yīng)性測(cè)試)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)F在y軸正半軸上,過點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),線段AB的長是8,AB的中點(diǎn)到x軸的距離是3. (1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)設(shè)直線m在y軸上的截距為6,且與拋物線交于P,Q兩點(diǎn).連接QF并延長交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)R,當(dāng)直

5、線PR恰與拋物線相切時(shí),求直線m的方程. [解] (1)設(shè)拋物線的方程是x2=2py(p>0),A(x1,y1),B(x2,y2),由拋物線定義可知y1+y2+p=8, 又AB的中點(diǎn)到x軸的距離為3,∴y1+y2=6,∴p=2, ∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=4y. (2)由題意知,直線m的斜率存在,設(shè)直線m:y=kx+6(k≠0),P(x3,y3),Q(x4,y4), 由消去y得x2-4kx-24=0, ∴(*) 易知拋物線在點(diǎn)P處的切線方程為y-=(x-x3), 令y=-1,得x=,∴R, 又Q,F(xiàn),R三點(diǎn)共線,∴kQF=kFR,又F(0,1),∴=, 即(x-4)(x-4

6、)+16x3x4=0, 整理得(x3x4)2-4[(x3+x4)2-2x3x4]+16+16x3x4=0, 將(*)式代入上式得k2=,∴k=, ∴直線m的方程為y=x+6. 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題(答題模板) 定點(diǎn)、定值問題一般涉及曲線過定點(diǎn)、與曲線上的動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的定值問題以及與圓錐曲線有關(guān)的弦長、面積、橫(縱)坐標(biāo)等的定值問題.  (本小題滿分12分)(20xx全國卷Ⅰ)已知橢圓C:+=1(a>b>0),四點(diǎn)P1(1,1),P2(0,1),① 中.② (1)求C的方程; (2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和

7、為-1,③證明:l過定點(diǎn). [審題指導(dǎo)] 題眼 挖掘關(guān)鍵信息 ①② 根據(jù)橢圓的對(duì)稱性,以及所給四點(diǎn)中P3、P4關(guān)于y軸對(duì)稱,可知P3、P4在橢圓上,進(jìn)而判斷P2在橢圓上,求出其方程 ③ 欲證直線l過定點(diǎn),只需求出l的方程,分析l與x軸的位置關(guān)系,結(jié)合直線P2A與直線P2B斜率的和為-1,聯(lián)立l與橢圓的方程求解,并注意“設(shè)而不求,整體代入”方法的運(yùn)用 [規(guī)范解答] (1)由于P3,P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱,故由題設(shè)知橢圓C經(jīng)過P3,P4兩點(diǎn). 又由+>+知,橢圓C不經(jīng)過點(diǎn)P1, 所以點(diǎn)P2在橢圓C上. 2分 因此解得故橢圓C的方程為+y2=1. 4分 (2)證明:設(shè)直線P2A

8、與直線P2B的斜率分別為k1,k2. 如果l與x軸垂直,設(shè)l:x=t,由題設(shè)知t≠0,且|t|<2,可得A,B的坐標(biāo)分別為,,則k1+k2=-=-1,得t=2,不符合題設(shè). 6分 從而可設(shè)l:y=kx+m(m≠1). 將y=kx+m代入+y2=1得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0. 由題設(shè)可知Δ=16(4k2-m2+1)>0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-,x1x2=. 8分 而k1+k2=+ =+ =. 由題設(shè)k1+k2=-1, 故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0. 10分 即(2k+1)+(m-1)=0,解得k=

9、-. 當(dāng)且僅當(dāng)m>-1時(shí),Δ>0, 于是l:y=-x+m, 即y+1=-(x-2), 所以l過定點(diǎn)(2,-1). 12分 [閱卷者說] 易錯(cuò)點(diǎn) 防范措施 不會(huì)判斷四點(diǎn)中哪三點(diǎn)在橢圓上 可畫出四點(diǎn),數(shù)形給合進(jìn)行判斷 忽視直線l斜率不存在的情況 應(yīng)樹立分類討論的意識(shí),求直線方程,應(yīng)以直線斜率是否存在為標(biāo)準(zhǔn)分類求解 [規(guī)律方法] 定點(diǎn)問題的常見解法 (1)根據(jù)題意選擇參數(shù),建立一個(gè)含參數(shù)的直線系或曲線系方程,經(jīng)過分析、整理,對(duì)方程進(jìn)行等價(jià)變形,以找出適合方程且與參數(shù)無關(guān)的坐標(biāo)(該坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)即為所求定點(diǎn)). (2)從特殊位置入手,找出定點(diǎn),再證明該點(diǎn)符合題意. [跟

10、蹤訓(xùn)練] (20xx北京高考)已知橢圓C:+=1過A(2,0),B(0,1)兩點(diǎn). (1)求橢圓C的方程及離心率; (2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上,直線PA與y軸交于點(diǎn)M,直線PB與x軸交于點(diǎn)N,求證:四邊形ABNM的面積為定值. [解] (1)由題意得a=2,b=1, 所以橢圓C的方程為+y2=1. 又c==,所以離心率e==. (2)證明:設(shè)P(x0,y0)(x0<0,y0<0),則x+4y=4. 又A(2,0),B(0,1), 所以直線PA的方程為y=(x-2). 令x=0,得yM=-,從而|BM|=1-yM=1+. 直線PB的方程為y=x+1. 令y=0,

11、得xN=-,從而|AN|=2-xN=2+. 所以四邊形ABNM的面積S=|AN||BM| = = ==2. 從而四邊形ABNM的面積為定值. 圓錐曲線中的最值、范圍問題 圓錐曲線中的最值問題大致可分為兩類:一是涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題;二是求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)求解與之有關(guān)的一些問題.  (20xx石家莊質(zhì)檢(二))已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,且長軸長為8,T為橢圓上一點(diǎn),直線TA,TB的斜率之積為-. (1)求橢圓C的方程; (2)設(shè)O為原點(diǎn),過點(diǎn)M(0,2)的動(dòng)直線與橢圓C交于P

12、,Q兩點(diǎn),求+的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140314】 [解] (1)設(shè)T(x,y),則直線TA的斜率為k1=, 直線TB的斜率為k2=. 于是由k1k2=-,得=-, 整理得+=1. (2)當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí),設(shè)直線PQ的方程為y=kx+2,點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),直線PQ與橢圓方程聯(lián)立得(4k2+3)x2+16kx-32=0, 所以x1+x2=-,x1x2=-. 從而,+ =x1x2+y1y2+[x1x2+(y1-2)(y2-2)] =2(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4 ==-20+. -20<+≤-. 當(dāng)直線PQ斜

13、率不存在時(shí), 易得P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2),(0,-2), 所以+的值為-20. 綜上所述,+的取值范圍為. [規(guī)律方法] 范圍(最值)問題的主要求解方法 (1)幾何法,若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來解決. (2)代數(shù)法,若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,則可先建立起目標(biāo)函數(shù)或等量關(guān)系,利用判別式、基本不等式、函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)法進(jìn)行求解. [跟蹤訓(xùn)練] (20xx廣東六校聯(lián)盟聯(lián)考)已知點(diǎn)P是圓O:x2+y2=1上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P作PQ⊥y軸于點(diǎn)Q,延長QP到點(diǎn)M,使=. (1)求點(diǎn)M的軌跡E的方程; (2)過點(diǎn)C(m,0)作圓O

14、的切線l,交(1)中的曲線E于A,B兩點(diǎn),求△AOB面積的最大值. [解] (1)設(shè)點(diǎn)M(x,y),∵=,∴P為QM的中點(diǎn),又有PQ⊥y軸, ∴P,∵點(diǎn)P是圓:x2+y2=1上的點(diǎn), ∴+y2=1. 即點(diǎn)M的軌跡E的方程為+y2=1. (2)由題意可知直線l與y軸不垂直,故可設(shè)l:x=ty+m,t∈R,A(x1,y1),B(x2,y2), ∵l與圓O:x2+y2=1相切, ∴=1,即m2=t2+1, ① 由消去x, 并整理得(t2+4)y2+2mty+m2-4=0, 其中Δ=4m2t2-4(t2+4)(m2-4)=48>0, 則y1+y2=,y1y2=. ② ∴|AB|

15、= =, 將①②代入上式得|AB|==,|m|≥1, ∴S△AOB=|AB|1==≤=1, 當(dāng)且僅當(dāng)|m|=,即m=時(shí),等號(hào)成立, ∴(S△AOB)max=1. 圓錐曲線中的探索性問題 圓錐曲線中的探索性問題主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面:(1)探索點(diǎn)是否存在;(2)探索曲線是否存在;(3)探索命題是否成立.涉及這類命題的求解主要是研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題.  (20xx鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知橢圓x2+2y2=m(m>0),以橢圓內(nèi)一點(diǎn)M(2,1)為中點(diǎn)作弦AB,設(shè)線段AB的中垂線與橢圓相交于C,D兩點(diǎn). (1)求橢圓的離心率; (2)試判斷是否存在這樣的m

16、,使得A,B,C,D在同一個(gè)圓上,并說明理由. [解] (1)將橢圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程+=1(m>0), e==. (2)由題意,直線AB的斜率存在, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4), 設(shè)AB的方程為y=k(x-2)+1,聯(lián)立x2+2y2=m(m>0), 得(1+2k2)x2+4k(1-2k)x+2(2k-1)2-m=0(m>0). x1+x2==4,k=-1, 此時(shí)由Δ>0,得m>6. 則AB的方程為x+y-3=0, 則CD的方程為x-y-1=0. 聯(lián)立得3y2+2y+1-m=0,y3+y4=-, 故CD的中點(diǎn)N為. 由弦長公式可

17、得 |AB|=|x1-x2|=, |CD|=|y3-y4|=>|AB|, 若存在符合題意的圓,則圓心在CD上, CD的中點(diǎn)N到直線AB的距離為=. |NA|2=|NB|2=+=. 又==, 所以存在m>6,使得A,B,C,D在同一個(gè)圓上. [規(guī)律方法] 探索性問題的求解方法 (1)探索性問題通常采用“肯定順推法”.其步驟如下:假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在,列出與該元素相關(guān)的方程(組),若方程(組)有實(shí)數(shù)解,則元素存在,否則,元素不存在. (2)反證法與驗(yàn)證法也是求解探索性問題的常用方法. [跟蹤訓(xùn)練] (20xx湖北武漢調(diào)研)已知直線y=k(x-2)與拋

18、物線Г:y2=x相交于A,B兩點(diǎn),M是線段AB的中點(diǎn),過M作y軸的垂線交Г于點(diǎn)N. (1)證明:拋物線Г在點(diǎn)N處的切線與直線AB平行; (2)是否存在實(shí)數(shù)k使=0?若存在,求k的值;若不存在,說明理由. [解] (1)證明:由消去y并整理,得2k2x2-(8k2+1)x+8k2=0, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=, x1x2=4, ∴xM==, 則yM=k(xM-2)=k=, 由題設(shè)條件可知,yN=y(tǒng)M=,則xN=2y=, ∴N, 設(shè)拋物線在點(diǎn)N處的切線方程為y-=m, 將x=2y2代入上式,得2my2-y+-=0, ∵直線與拋物線相切, ∴Δ=12-42m==0, ∴m=k,即拋物線Г在點(diǎn)N處的切線與直線AB平行. (2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)k,使=0,則NA⊥NB, ∵M(jìn)是AB的中點(diǎn),∴|MN|=|AB|, 由(1)得|AB|=|x1-x2|===, ∵M(jìn)N⊥y軸,∴|MN|=|xM-xN|=-=, ∴=,解得k=,故存在k=,使=0.

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