《高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版文科： 第8章 平面解析幾何 熱點(diǎn)探究課5 平面解析幾何中的高考熱點(diǎn)問題學(xué)案 文 北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版文科： 第8章 平面解析幾何 熱點(diǎn)探究課5 平面解析幾何中的高考熱點(diǎn)問題學(xué)案 文 北師大版（9頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 熱點(diǎn)探究課(五)　平面解析幾何中的高考熱點(diǎn)問題 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第128頁) [命題解讀]　圓錐曲線是平面解析幾何的核心內(nèi)容，每年高考必考一道解答題，常以求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、位置關(guān)系、定點(diǎn)、定值、最值、范圍、探索性問題為主．這些試題的命制有一個(gè)共同的特點(diǎn)，就是起點(diǎn)低，但在第(2)問或第(3)問中一般都伴有較為復(fù)雜的運(yùn)算，對(duì)考生解決問題的能力要求較高，通常作為壓軸題的形式出現(xiàn)． 熱點(diǎn)1　圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì) 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程在高考中占有十分重要的地位．一般地，求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是作為解答題中考查“直線與圓錐曲線”的第一小題，最常用的方法是定義法與待定系數(shù)法．離心率是高考

2、對(duì)圓錐曲線考查的另一重點(diǎn)，涉及a，b，c三者之間的關(guān)系．另外拋物線的準(zhǔn)線，雙曲線的漸近線也是命題的熱點(diǎn)． 　(20xx太原模擬)如圖1，橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且PQ⊥PF1. 圖1 (1)若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若|PF1|＝|PQ|，求橢圓的離心率e. [解]　(1)由橢圓的定義， 2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋)＋(2－)＝4，故a＝2. 設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知PF1⊥PF2， 因此2c＝|F1F2|＝ ＝＝2. 3分 即c＝，從而b＝

3、＝1， 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1. 5分 (2)連接F1Q，如圖，由橢圓的定義知|PF1|＋|PF2|＝2a， |QF1|＋|QF2|＝2a， 又|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|＝(2a－|PF1|)＋(2a－|QF1|)， 可得|QF1|＝4a－2|PF1|. ① 又因?yàn)镻F1⊥PQ且|PF1|＝|PQ|， 所以|QF1|＝|PF1|.　② 8分 由①②可得|PF1|＝(4－2)a， 從而|PF2|＝2a－|PF1|＝(2－2)A． 由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 即(4－2)2a2＋(

4、2－2)2a2＝4c2， 10分 可得(9－6)a2＝c2，即＝9－6， 因此e＝＝＝－. 12分 [規(guī)律方法]　1.用定義法求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是常用的方法，同時(shí)應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 2．圓錐曲線的離心率刻畫曲線的扁平程度，只需明確a，b，c中任意兩量的關(guān)系都可求出離心率，但一定注意不同曲線離心率取值范圍的限制． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1]　已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，它的一個(gè)頂點(diǎn)為拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)． (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若直線y＝x－1與拋物線相切于點(diǎn)A，求以A為圓心且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：0009030

5、6】 [解]　(1)橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上． 設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)， 因?yàn)閽佄锞€x2＝4y的焦點(diǎn)為(0,1)， 所以b＝1. 2分 由離心率e＝＝，a2＝b2＋c2＝1＋c2， 從而得a＝，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1. 5分 (2)由解得所以點(diǎn)A(2,1). 8分 因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為y＝－1， 所以圓的半徑r＝1－(－1)＝2， 所以圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4. 12分 熱點(diǎn)2　圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題 定點(diǎn)、定值問題一般涉及曲線過定點(diǎn)、與曲線上的動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的定值問題以及與圓錐曲線有關(guān)的弦長(zhǎng)、面積、橫(縱

6、)坐標(biāo)等的定值問題． 角度1　圓錐曲線的定值問題 　(20xx全國卷Ⅲ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y＝x2＋mx－2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1)．當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問題： (1)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說明理由； (2)證明過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090307】 [解]　(1)不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況．理由如下： 設(shè)A(x1,0)，B(x2,0)，則x1，x2滿足x2＋mx－2＝0， 所以x1x2＝－2. 2分 又點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1)， 故AC的斜率與BC的斜率之積為＝－， 所以不能出現(xiàn)AC⊥B

7、C的情況. 4分 (2)證明：BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為，可得BC的中垂線方程為y－＝x2. 5分 由(1)可得x1＋x2＝－m， 所以AB的中垂線方程為x＝－. 6分 聯(lián)立 又x＋mx2－2＝0，可得 8分 所以過A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑r＝.10分 故圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為2＝3， 即過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值. 12分 [規(guī)律方法]　1.求定值問題的常用方法： (1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)． (2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值． 2．定值問題就是在運(yùn)動(dòng)變化中

8、尋找不變量的問題，基本思路是使用參數(shù)表示要解決的問題，證明要解決的問題與參數(shù)無關(guān)．在這類問題中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的． 角度2　圓錐曲線中的定點(diǎn)問題 　設(shè)橢圓E：＋＝1(a>b>0)的離心率為e＝，且過點(diǎn). (1)求橢圓E的方程； (2)設(shè)橢圓E的左頂點(diǎn)是A，若直線l：x－my－t＝0與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)M，N(M，N與A均不重合)，若以MN為直徑的圓過點(diǎn)A，試判定直線l是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)． [解]　(1)由e2＝＝＝，可得a2＝2b2， 2分 橢圓方程為＋＝1， 代入點(diǎn)可得b2＝2，a2＝4， 故橢圓E的方程為＋＝1. 5分 (

9、2)由x－my－t＝0得x＝my＋t， 把它代入E的方程得(m2＋2)y2＋2mty＋t2－4＝0， 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則 y1＋y2＝－，y1y2＝， x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2t＝， x1x2＝(my1＋t)(my2＋t) ＝m2y1y2＋tm(y1＋y2)＋t2＝. 8分 因?yàn)橐訫N為直徑的圓過點(diǎn)A， 所以AM⊥AN， 所以＝(x1＋2，y1)(x2＋2，y2) ＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2 ＝＋2＋4＋ ＝＝＝0. 10分 因?yàn)镸，N與A均不重合，所以t≠－2， 所以t＝－，直線l的方程

10、是x＝my－，直線l過定點(diǎn)T， 由于點(diǎn)T在橢圓內(nèi)部，故滿足判別式大于0， 所以直線l過定點(diǎn)T. 12分 [規(guī)律方法]　1.假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線系方程，而該方程與參數(shù)無關(guān)，故得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即所求定點(diǎn)． 2．從特殊位置入手，找出定點(diǎn)，再證明該點(diǎn)適合題意． 熱點(diǎn)3　圓錐曲線中的最值、范圍問題 圓錐曲線中的最值問題大致可分為兩類：一是涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題；二是求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)求解與之有關(guān)的一些問題． 　已知橢圓＋y2＝1上兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B關(guān)于直

11、線y＝mx＋對(duì)稱． 圖2 (1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍； (2)求△AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn))． [解]　(1)由題意知m≠0， 可設(shè)直線AB的方程為y＝－x＋B． 由消去y，得 x2－x＋b2－1＝0. 2分 因?yàn)橹本€y＝－x＋b與橢圓＋y2＝1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以Δ＝－2b2＋2＋>0. ① 將線段AB中點(diǎn)M代入直線方程y＝mx＋，解得b＝－. ② 由①②得m<－或m>. 故m的取值范圍是∪. 5分 (2)令t＝∈∪， 則|AB|＝， 且O到直線AB的距離為d＝. 7分 設(shè)△AOB的面積為S(t)， 所以

12、S(t)＝|AB|d＝≤， 當(dāng)且僅當(dāng)t2＝， 即m＝時(shí)，等號(hào)成立． 故△AOB面積的最大值為. 12分 [規(guī)律方法]　范圍(最值)問題的主要求解方法： (1)幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決． (2)代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標(biāo)函數(shù)或等量關(guān)系，利用判別式、基本不等式、函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)法進(jìn)行求解． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2]　已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的焦距為4，且過點(diǎn)(，－2)． (1)求橢圓C的方程； (2)過橢圓焦點(diǎn)的直線l與橢圓C分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，求的取值范圍． [解]　

13、(1)由橢圓C：＋＝1(a>b>0)的焦距為4. 得曲線C的焦點(diǎn)F1(0，－2)，F(xiàn)2(0,2). 2分 又點(diǎn)(，－2)在橢圓C上， 2a＝＋＝4， 所以a＝2，b＝2， 即橢圓C的方程是＋＝1. 5分 (2)若直線l垂直于x軸， ①則點(diǎn)E(0,2)，F(xiàn)(0，－2)，＝－8. ②若直線l不垂直于x軸， 設(shè)l的方程為y＝kx＋2，點(diǎn)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，將直線l的方程代入橢圓C的方程得到： (2＋k2)x2＋4kx－4＝0， 則x1＋x2＝，x1x2＝， 8分 所以＝x1x2＋y1y2 ＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x

14、2)＋4 ＝＋＋4＝－8. 10分 因?yàn)?<≤10，所以－8<≤2. 綜上可知，的取值范圍是(－8,2]. 12分 熱點(diǎn)4　圓錐曲線中的探索性問題(答題模板) 圓錐曲線中的探索性問題主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)探索點(diǎn)是否存在；(2)探索曲線是否存在；(3)探索命題是否成立．涉及這類命題的求解主要是研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題． 　(本小題滿分12分)(20xx全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：y＝與直線l：y＝kx＋a(a＞0)交于M，N兩點(diǎn)． (1)當(dāng)k＝0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程； (2)y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM＝∠

15、OPN？說明理由. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090308】 [規(guī)范解答]　(1)由題設(shè)可得M(2，a)，N(－2，a)，或M(－2，a)，N(2，a). 1分 又y′＝，故y＝在x＝2處的導(dǎo)數(shù)值為，C在點(diǎn)(2，a)處的切線方程為y－a＝(x－2)， 即x－y－a＝0. 3分 y＝在x＝－2處的導(dǎo)數(shù)值為－，C在點(diǎn)(－2，a)處的切線方程為y－a＝－(x＋2)， 即x＋y＋a＝0. 5分 故所求切線方程為x－y－a＝0或x＋y＋a＝0. 6分 (2)存在符合題意的點(diǎn)．證明如下： 設(shè)P(0，b)為符合題意的點(diǎn)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線PM，PN的斜率分

16、別為k1，k2. 7分 將y＝kx＋a代入C的方程，得x2－4kx－4a＝0. 故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4A． 8分 從而k1＋k2＝＋ ＝＝. 10分 當(dāng)b＝－a時(shí)，有k1＋k2＝0，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ)， 故∠OPM＝∠OPN，所以點(diǎn)P(0，－a)符合題意. 12分 [答題模板]　第一步：分別求出曲線y＝在M點(diǎn)，N點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)． 第二步：利用點(diǎn)斜式分別寫出在M點(diǎn)、N點(diǎn)的切線方程． 第三步：聯(lián)立直線y＝kx＋a與拋物線y＝，并寫出根與系數(shù)的關(guān)系式． 第四步：由kPM＋kPN＝0，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系式，探索點(diǎn)P的坐標(biāo)．

17、 第五步：檢驗(yàn)反思，查關(guān)鍵點(diǎn)，規(guī)范步驟． [溫馨提示]　1.(1)在第(2)問中，不能把條件∠OPM＝∠OPN適當(dāng)轉(zhuǎn)化為k1＋k2＝0，找不到解題的思路和方法，而不能得分． (2)運(yùn)算能力差或運(yùn)算不細(xì)心，導(dǎo)致運(yùn)算結(jié)果錯(cuò)誤而扣分或者不得分． 2．?dāng)?shù)學(xué)閱卷時(shí)，主要看關(guān)鍵步驟、關(guān)鍵點(diǎn)，有則得分，無則扣分，所以解題時(shí)要寫全關(guān)鍵步驟． (1)本題的關(guān)鍵點(diǎn)一是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，二是把條件中轉(zhuǎn)化為只需直線PM，PN的斜率之和為0. (2)解析幾何對(duì)運(yùn)算能力要求較高，解題時(shí)一定要細(xì)心準(zhǔn)確，否則可能是思路正確，但是運(yùn)算結(jié)果錯(cuò)誤，而不得分． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3]　如圖3，橢圓E：＋＝1

18、(a>b>0)的離心率是，點(diǎn)P(0,1)在短軸CD上，且＝－1. 圖3 (1)求橢圓E的方程； (2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P的動(dòng)直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．是否存在常數(shù)λ，使得＋λ為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由． [解]　(1)由已知，點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為(0，－b)，(0，b)． 又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1)，且＝－1， 于是 解得a＝2，b＝. 4分 所以橢圓E的方程為＋＝1. 5分 (2)當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋1，A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)． 聯(lián)立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0. 8分 其判別式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)>0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝－. 從而，＋λ ＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1 ＝＝－－λ－2. 所以，當(dāng)λ＝1時(shí)，－－λ－2＝－3. 10分 此時(shí)，＋λ＝－3為定值． 當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，直線AB即為直線CD． 此時(shí)，＋λ＝＋＝－2－1＝－3. 故存在常數(shù)λ＝1，使得＋λ為定值－3. 12分