《高考數(shù)學 一輪復習學案訓練課件北師大版理科： 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第11節(jié) 第1課時 導數(shù)與函數(shù)的單調性學案 理 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數(shù)學 一輪復習學案訓練課件北師大版理科： 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第11節(jié) 第1課時 導數(shù)與函數(shù)的單調性學案 理 北師大版（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第十一節(jié)　導數(shù)的應用 [考綱傳真]　(教師用書獨具)1.了解函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，會求函數(shù)的單調區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)；2.了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)；3.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極(最)值，并會解決與之有關的方程(不等式)問題；4.會利用導數(shù)解決某些簡單的實際問題． (對應學生用書第34頁) [基礎知識填充] 1．函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系 函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間內可導，則：

2、 (1)如果f′(x)＞0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內是增加的； (2)如果f′(x)＜0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內是減少的； (3)如果f′(x)＝0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內是常數(shù)函數(shù)． 2．函數(shù)的極值與導數(shù) (1)極值點與極值 設函數(shù)f(x)在點x0及附近有定義，且在x0兩側的單調性相反或導數(shù)值異號，則x0為函數(shù)f(x)的極值點，f(x0)為函數(shù)的極值． (2)極大值點與極小值點 ①若先增后減(導數(shù)值先正后負)，則x0為極大值點； ②若先減后增(導數(shù)值先負后正)，則x0為極小值點． (3)可求導函數(shù)極值的步驟： ①求f′(x)； ②解方程f′

3、(x)＝0； ③檢查f′(x)在方程f′(x)＝0的解x0的左右兩側的符號．如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值．如果f′(x)在x0兩側的符號相同，則x0不是極值點． 3．函數(shù)的最值與導數(shù) (1)函數(shù)f(x)在[a，b]上有最值的條件 如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖像是連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值． (2)設函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)且在(a，b)內可導，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟如下： ①求f(x)在(a，b)內的極值； ②將f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較，其中

4、最大的一個是最大值，最小的一個是最小值． [知識拓展] 1．在某區(qū)間內f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件． 2．可導函數(shù)f(x)在(a，b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是：對任意x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子區(qū)間內都不恒為零． 3．對于可導函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0是函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值的必要不充分條件． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調遞增，那么在區(qū)間(a，b)上

5、一定有f′(x)>0.(　　) (2)如果函數(shù)在某個區(qū)間內恒有f′(x)＝0，則函數(shù)f(x)在此區(qū)間上沒有單調性．(　　) (3)函數(shù)的極大值不一定比極小值大．(　　) (4)對可導函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0是x0為極值點的充要條件．(　　) (5)函數(shù)的最大值不一定是極大值，函數(shù)的最小值也不一定是極小值．(　　) (6)若實際問題中函數(shù)定義域是開區(qū)間，則不存在最優(yōu)解．(　　) [答案]　(1)　(2)√　(3)√　(4)　(5)√　(6) 2．(教材改編)f(x)＝x3－6x2的單調遞減區(qū)間為(　　) A．(0,4)　　　　　　 B．(0,2) C．(4，＋∞) D．(

6、－∞，0) A　[f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)＜0，得0＜x＜4， 所以單調遞減區(qū)間為(0,4)．] 3．如圖2111所示是函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖像，則下列判斷中正確的是(　　) 圖2111 A．函數(shù)f(x)在區(qū)間(－3,0)上是減函數(shù) B．函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上是減函數(shù) C．函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)上是減函數(shù) D．函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,4)上是增函數(shù) A　[當x∈(－3,0)時，f′(x)＜0，則f(x)在(－3,0)上是減函數(shù)．其他判斷均不正確．] 4．函數(shù)y＝2x3－2x2在區(qū)間[－1,2]上的最大值是____

7、____． 8　[y′＝6x2－4x，令y′＝0， 得x＝0或x＝. ∵f(－1)＝－4，f(0)＝0，f＝－， f(2)＝8，∴最大值為8.] 5．函數(shù)f(x)＝x－aln x(a＞0)的極小值為________． a－aln a　[f(x)的定義域為(0，＋∞)， 易知f′(x)＝1－. 由f′(x)＝0，解得x＝a(a＞0)． 又當x∈(0，a)時，f′(x)＜0； 當x∈(a，＋∞)時，f′(x)＞0， 所以函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值，且極小值為f(a)＝a－aln a．] 第1課時　導數(shù)與函數(shù)的單調性 (對應學生用書第35頁) 利用用導數(shù)

8、法判斷或證明函數(shù)的單調性 　(20xx全國卷Ⅰ節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝ex(ex－a)－a2x.討論f(x)的單調性． [解]　函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，＋∞)， f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)． ①若a＝0，則f(x)＝e2x在(－∞，＋∞)上單調遞增． ②若a＞0，則由f′(x)＝0得x＝ln a. 當x∈(－∞，ln a)時，f′(x)＜0； 當x∈(ln a，＋∞)時，f′(x)＞0. 故f(x)在(－∞，ln a)上單調遞減， 在(ln a，＋∞)上單調遞增． ③若a<0，則由f′(x)＝0得x＝ln. 當x∈時，f′(x

9、)＜0； 當x∈時，f′(x)＞0. 故f(x)在上單調遞減， 在上單調遞增． [規(guī)律方法]　用導數(shù)證明函數(shù)f(x)在(a，b)內的單調性的步驟 一求：求f′(x)； 二定：確定f′(x)在(a，b)內的符號； 三結論：作出結論：f′(x)＞0時為增函數(shù)；f′(x)＜0時為減函數(shù). 易錯警示：研究含參數(shù)函數(shù)的單調性時，需注意依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進行分類討論. (1)討論分以下四個方面 ①二次項系數(shù)討論，②根的有無討論，③根的大小討論，④根在不在定義域內討論. (2)討論時要根據(jù)上面四種情況，找準參數(shù)討論的分點. (3)討論完必須寫綜述. [跟蹤訓練]　(20

10、xx四川高考節(jié)選)設函數(shù)f(x)＝ax2－a－ln x，g(x)＝－，其中a∈R，e＝2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)． (1)討論f(x)的單調性； (2)證明：當x>1時，g(x)>0. [解]　(1)由題意得f′(x)＝2ax－＝(x>0)． 當a≤0時，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)內單調遞減． 當a>0時，由f′(x)＝0有x＝， 當x∈時，f′(x)<0，f(x)單調遞減； 當x∈時，f′(x)>0，f(x)單調遞增． (2)證明：令s(x)＝ex－1－x，則s′(x)＝ex－1－1. 當x>1時，s′(x)>0，又s(1)＝0，有s(x)＞0， 所以ex－

11、1>x， 從而g(x)＝－>0. 利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間 　設函數(shù)f(x)＝xea－x＋bx，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為y＝(e－1)x＋4. (1)求a，b的值； (2)求f(x)的單調區(qū)間. 【導學號：79140076】 [解]　(1)因為f(x)＝xea－x＋bx， 所以f′(x)＝(1－x)ea－x＋b. 依題設，即 解得 (2)由(1)知f(x)＝xe2－x＋ex. 由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x＞0知，f′(x)與1－x＋ex－1同號． 令g(x)＝1－x＋ex－1，則g′(x)＝－1＋ex－1

12、. 所以，當x∈(－∞，1)時，g′(x)<0，g(x)在區(qū)間(－∞，1)上單調遞減； 當x∈(1，＋∞)時，g′(x)>0，g(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調遞增． 故g(1)＝1是g(x)在區(qū)間(－∞，＋∞)上的最小值， 從而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞)． 綜上可知，f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，故f(x)的單調遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)． [規(guī)律方法]　利用導數(shù)求函數(shù)單調區(qū)間的步驟 (1)確定函數(shù)f(x)的定義域. (2)求f′(x). (3)在定義域內解不等式f′(x)＞0，得單調遞增區(qū)間. (4)在定義域內解不等式f′(x)＜0，得單調遞減區(qū)間. 易錯警示

13、：解不等式f′(x)＞0(＜0)時不加“＝”號. [跟蹤訓練]　(20xx合肥第二次質檢節(jié)選)已知f(x)＝ln(x＋m)－mx.求f(x)的單調區(qū)間． [解]　由已知可得函數(shù)定義域為(－m，＋∞)． ∵f(x)＝ln(x＋m)－mx，∴f′(x)＝－m. 當m≤0時，f′(x)＝－m＞0， 即f(x)的單調遞增區(qū)間為(－m，＋∞)，無單調遞減區(qū)間； 當m＞0時，f′(x)＝－m＝， 由f′(x)＝0，得x＝－m∈(－m，＋∞)， 當x∈時，f′(x)＞0， 當x∈時，f′(x)＜0， ∴當m＞0時，易知f(x)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為. 已知函數(shù)單調性求

14、參數(shù)的取值范圍 　已知函數(shù)f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)． (1)若函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)存在單調遞減區(qū)間，求a的取值范圍； (2)若函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上單調遞減，求a的取值范圍． [解]　(1)h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)， 所以h′(x)＝－ax－2，由于h(x)在(0，＋∞)上存在單調遞減區(qū)間， 所以當x∈(0，＋∞)時，－ax－2＜0有解， 即a＞－有解． 設G(x)＝－，所以只要a＞G(x)min即可． 而G(x)＝－1，所以G(x)min＝－1. 所以a＞－1，即a的取值范圍為(

15、－1，＋∞)． (2)由h(x)在[1,4]上單調遞減得， 當x∈[1,4]時，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立， 即a≥－恒成立． 所以a≥G(x)max，而G(x)＝2－1， 因為x∈[1,4]，所以∈， 所以G(x)max＝－(此時x＝4)， 所以a≥－，即a的取值范圍是. 1．本例(2)中，若函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上單調遞增，求a的取值范圍． [解]　由h(x)在[1,4]上單調遞增得， 當x∈[1,4]時，h′(x)≥0恒成立， ∴當x∈[1,4]時，a≤－恒成立， 又當x∈[1,4]時，min＝－1(此時x＝1)， ∴a≤－1，即

16、a的取值范圍是(－∞，－1]． 2．本例(2)中，若h(x)在[1,4]上存在單調遞減區(qū)間，求a的取值范圍． [解]　h(x)在[1,4]上存在單調遞減區(qū)間， 則h′(x)＜0在[1,4]上有解， ∴當x∈[1,4]時，a＞－有解， 又當x∈[1,4]時，min＝－1， ∴a＞－1，即a的取值范圍是(－1，＋∞)． [規(guī)律方法]　根據(jù)函數(shù)單調性求參數(shù)的一般方法 (1)利用集合間的包含關系處理：y＝f(x)在(a，b)上單調，則區(qū)間(a，b)是相應單調區(qū)間的子集. (2)轉化為不等式的恒成立問題，即“若函數(shù)單調遞增，則f′(x)≥0；若函數(shù)單調遞減，則f′(x)≤0”來求解.

17、 易錯警示：f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0，且在(a，b)內的任一非空子區(qū)間上f′(x)不恒為0.應注意此時式子中的等號不能省略，否則漏解. [跟蹤訓練]　(1)(20xx四川樂山一中期末)f(x)＝x2－aln x在(1，＋∞)上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A．a＜1 B．a≤1 C．a＜2 D．a≤2 (2)函數(shù)f(x)＝x3－x2＋ax－5在區(qū)間[－1,2]上不單調，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) 【導學號：79140077】 A．(－∞，－3] B．(－3,1) C．[1，＋∞) D．(－∞，－3]∪[1，＋∞) (1)

18、D　(2)B　(1)由f(x)＝x2－aln x，得f′(x)＝2x－，∵f(x)在(1，＋∞)上單調遞增， ∴2x－≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≤2x2在(1，＋∞)上恒成立， ∵x∈(1，＋∞)時，2x2＞2，∴a≤2.故選D． (2)因為f(x)＝x3－x2＋ax－5， 所以f′(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1， 如果函數(shù)f(x)＝x3－x2＋ax－5在區(qū)間[－1,2]上單調，那么a－1≥0或解得a≥1或a≤－3，于是滿足條件的a∈(－3,1)． 函數(shù)不單調問題求參數(shù)的取值范圍 　f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1在(2,3)上不單調，求a的取值

19、范圍． [解]　f′(x)＝3x2－6ax＋3，∵f(x)在(2,3)上不單調． ∴3x2－6ax＋3＝0在(2,3)上有解． ∴a＝＋，當2＜x＜3時，＜a＜. [規(guī)律方法]　f(x)在(a，b)上不單調?f(x)在(a，b)上有極值?f′(x)＝0在(a，b)上有解且無重根. [跟蹤訓練]　f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b在(－1,1)上不單調，求a的取值范圍． [解]　f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝(3x＋a＋2)(x－a)， ∵f(x)在(－1,1)上不單調，∴f′(x)＝0在(－1,1)上有解． ∴a＝－3x－2或a＝x，有－1＜x＜1得－5＜a＜1， 又Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＝(2a＋1)2＞0，∴a≠－， ∴a的取值范圍為－5＜a＜－或－＜a＜1.