《高考數(shù)學 一輪復習學案訓練課件北師大版文科: 第8章 平面解析幾何 第6節(jié) 拋物線學案 文 北師大版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《高考數(shù)學 一輪復習學案訓練課件北師大版文科: 第8章 平面解析幾何 第6節(jié) 拋物線學案 文 北師大版(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第六節(jié) 拋物線
[考綱傳真] 1.了解拋物線的實際背影,了解拋物線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.了解拋物線的定義、幾何圖形和標準方程,知道其簡單的幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率、準線方程).3.理解數(shù)形結合的思想.4.了解拋物線的簡單應用.
(對應學生用書第123頁)
[基礎知識填充]
1.拋物線的概念
平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)距離相等的點的集合叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點,直線l叫做拋物線的準線.
2.拋物線的標準方程與幾何性質
標準方程
y2=2px
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
2、
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
p的幾何意義:焦點F到準線l的距離
圖形
頂點
O(0,0)
對稱軸
y=0
x=0
焦點
F
F
F
F
離心率
e=1
準線方程
x=-
x=
y=-
y=
范圍
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
焦半徑|PF|
x0+
-x0+
y0+
-y0+
[知識拓展]
1.拋物線y2=2px(p>0)上一點P(x0,y0)到焦點F的距離|PF|=x0+,也稱為拋物線的焦半徑.
2.y2=ax的焦點坐標為,準線方程為x=-.
3.設
3、AB是過拋物線y2=2px(p>0)焦點F的弦,
若A(x1,y1),B(x2,y2),則
(1)x1x2=,y1y2=-p2.
(2)弦長|AB|=x1+x2+p=(α為弦AB的傾斜角).
(3)以弦AB為直徑的圓與準線相切.
(4)通徑:過焦點垂直于對稱軸的弦,長等于2p,通徑是過焦點最短的弦.
[基本能力自測]
1.(思考辨析)判斷下列結論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“”)
(1)平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的集合一定是拋物線.( )
(2)方程y=ax2(a≠0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線,且其焦點坐標是,準線方程是x=-
4、.( )
(3)拋物線既是中心對稱圖形,又是軸對稱圖形.( )
(4)AB為拋物線y2=2px(p>0)的過焦點F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2=,y1y2=-p2,弦長|AB|=x1+x2+p.( )
[答案] (1) (2) (3) (4)√
2.(教材改編)若拋物線y=4x2上的一點M到焦點的距離為1,則點M的縱坐標是( )
A. B.
C. D.0
B [M到準線的距離等于M到焦點的距離,又準線方程為y=-,設M(x,y),則y+=1,∴y=.]
3.拋物線y=x2的準線方程是( )
A.y=-1
5、 B.y=-2
C.x=-1 D.x=-2
A [∵y=x2,∴x2=4y,∴準線方程為y=-1.]
4.(20xx大同模擬)已知拋物線y2=2px(p>0)的準線經(jīng)過點(-1,1),則該拋物線焦點坐標為( )
A.(-1,0) B.(1,0)
C.(0,-1) D.(0,1)
B [拋物線y2=2px(p>0)的準線為x=-且過點(-1,1),故-=-1,解得p=2,所以拋物線的焦點坐標為(1,0).]
5.(20xx浙江高考)若拋物線y2=4x上的點M到焦點的距離為10,則M到y(tǒng)軸的距離是________.
9 [設點M的橫坐標為x0,則點M到準線x=-1的距
6、離為x0+1,由拋物線的定義知x0+1=10,∴x0=9,
∴點M到y(tǒng)軸的距離為9.]
(對應學生用書第124頁)
拋物線的定義及應用
(1)(20xx全國卷Ⅰ)已知拋物線C:y2=x的焦點為F,點A(x0,y0)是C上一點,|AF|=x0,則x0=( )
A.1 B.2
C.4 D.8
(2)已知拋物線y2=4x,過焦點F的直線與拋物線交于A,B兩點,過A,B分別作y軸的垂線,垂足分別為C,D,則|AC|+|BD|的最小值為__________.
【導學號:00090304】
(1)A (2)2 [(1)由y2=x,知2p=1,即p
7、=,
因此焦點F,準線l的方程為x=-.
設點A(x0,y0)到準線l的距離為d,則由拋物線的定義可知d=|AF|.
從而x0+=x0,解得x0=1.
(2)由y2=4x,知p=2,焦點F(1,0),準線x=-1.
根據(jù)拋物線的定義,|AF|=|AC|+1,|BF|=|BD|+1.
因此|AC|+|BD|=|AF|+|BF|-2=|AB|-2.
所以|AC|+|BD|取到最小值,當且僅當|AB|取得最小值,
又|AB|=2p=4為最小值.
故|AC|+|BD|的最小值為4-2=2.]
[規(guī)律方法] 1.凡涉及拋物線上的點到焦點距離,一般運用定義轉化為到
8、準線的距離處理.如本例充分運用拋物線定義實施轉化,使解答簡捷、明快.
2.若P(x0,y0)為拋物線y2=2px(p>0)上一點,由定義易得|PF|=x0+;若過焦點的弦AB的端點坐標為A(x1,y1),B(x2,y2),則弦長為|AB|=x1+x2+p,x1+x2可由根與系數(shù)的關系整體求出.
[變式訓練1] (1)設P是拋物線y2=4x上的一個動點,則點P到點A(-1,1)的距離與點P到直線x=-1的距離之和的最小值為__________.
(2)若拋物線y2=2x的焦點是F,點P是拋物線上的動點,又有點A(3,2),則|PA|+|PF|取最小值時點P的坐標為________.
9、 (1) (2)(2,2)[(1)如圖,易知拋物線的焦點為F(1,0),準線是x=-1,由拋物線的定義知:點P到直線x=-1的距離等于點P到F的距離.于是,問題轉化為在拋物線上求一點P,使點P到點A(-1,1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和最小.
連接AF交拋物線于點P,此時最小值為
|AF|==.
(2)將x=3代入拋物線方程y2=2x,得y=.
∵>2,∴A在拋物線內部,如圖.
設拋物線上點P到準線l:x=-的距離為d,由定義知|PA|+|PF|=|PA|+d,當PA⊥l時,|PA|+d最小,最小值為,此時P點縱坐標為2,代入y2=2x,得x=2,∴點P的
10、坐標為(2,2).]
拋物線的標準方程與幾何性質
(1)點M(5,3)到拋物線y=ax2的準線的距離為6,那么拋物線的標準方程是( )
A.x2=y(tǒng) B.x2=y(tǒng)或x2=-y
C.x2=-y D.x2=12y或x2=-36y
(2)設F為拋物線C:y2=4x的焦點,曲線y=(k>0)與C交于點P,PF⊥x軸,則k=( )
A. B.1
C. D.2
(1)D (2)D [(1)將y=ax2化為x2=y(tǒng).
當a>0時,準線y=-,則3+=6,∴a=.
當a<0時,準線y=-,則=6,∴a=-.
∴拋物線方程為x2=12y或x2=-36y.
(
11、2)由拋物線C:y2=4x知p=2.
∴焦點F(1,0).
又曲線y=(k>0)與曲線C交于點P,且PF⊥x軸.
∴P(1,2),
將點P(1,2)代入y=,得k=2]
[規(guī)律方法] 1.求拋物線的標準方程的方法:
(1)求拋物線的標準方程常用待定系數(shù)法,因為未知數(shù)只有p,所以只需一個條件確定p值即可.
(2)拋物線方程有四種標準形式,因此求拋物線方程時,需先定位,再定量.
2.由拋物線的方程可以確定拋物線的開口方向、焦點位置、焦點到準線的距離,從而進一步確定拋物線的焦點坐標及準線方程.
[變式訓練2] (1)(20xx鄭州模擬)拋物線y2=2px(p>0)的
12、焦點為F,O為坐標原點,M為拋物線上一點,且|MF|=4|OF|,△MFO的面積為4,則拋物線的方程為 ( ) 【導學號:00090305】
A.y2=6x B.y2=8x
C.y2=16x D.y2=
(20xx西安模擬)過拋物線y2=4x的焦點F的直線交該拋物線于A,B兩點,O為坐標原點.若|AF|=3,則△AOB的面積為________.
(1)B (2) [(1)設M(x,y),因為|OF|=,|MF|=4|OF|,所以|MF|=2p,
由拋物線定義知x+=2p,所以x=p,
所以y=p.
又△MFO的面積為4,
所以p=4,解得p=4(p=-4舍去)
13、.
所以拋物線的方程為y2=8x.
(2)如圖,由題意知,拋物線的焦點F的坐標為(1,0),又|AF|=3,由拋物線定義知,點A到準線x=-1的距離為3,所以點A的橫坐標為2,將x=2代入y2=4x得y2=8,由圖知點A的縱坐標為y=2,所以A(2,2),所以直線AF的方程為y=2(x-1),
聯(lián)立直線與拋物線的方程
解得或由圖知B,
所以S△AOB=1|yA-yB|=.]
直線與拋物線的位置關系
角度1 直線與拋物線的交點問題
(20xx全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中,直線l:y=t(t≠0)交y軸于點M,交拋物線C:y2=2px(p>0)于點P,M關于點P的
14、對稱點為N,連接ON并延長交C于點H.
(1)求;
(2)除H以外,直線MH與C是否有其他公共點?說明理由.
[解] (1)如圖,由已知得M(0,t),P.
又N為M關于點P的對稱點,故N, 2分
故直線ON的方程為y=x,
將其代入y2=2px,整理得px2-2t2x=0,
解得x1=0,x2=.因此H.
所以N為OH的中點,即=2. 5分
(2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點.理由如下:
直線MH的方程為y-t=x,即x=(y-t). 8分
代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y(tǒng)2=2t,
即直線MH與C只
15、有一個公共點,
所以除H以外,直線MH與C沒有其他公共點. 12分
[規(guī)律方法] 1.(1)本題求解的關鍵是求出點N,H的坐標.(2)第(2)問將直線MH的方程與拋物線C的方程聯(lián)立,根據(jù)方程組的解的個數(shù)進行判斷.
2.(1)判斷直線與圓錐曲線的交點個數(shù)時,可直接求解相應方程組得到交點坐標,也可利用消元后的一元二次方程的判別式來確定,需注意利用判別式的前提是二次項系數(shù)不為0.(2)解題時注意應用根與系數(shù)的關系及設而不求、整體代換的技巧.
角度2 與拋物線弦長或中點有關的問題
(20xx泰安模擬)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,拋物線C與直線l1:y=-x的一個
16、交點的橫坐標為8.
(1)求拋物線C的方程;
(2)不過原點的直線l2與l1的垂直,且與拋物線交于不同的兩點A,B,若線段AB的中點為P,且|OP|=|PB|,求△FAB的面積.
[解] (1)易知直線與拋物線的交點坐標為(8,-8), 2分
∴(-8)2=2p8,∴2p=8,∴拋物線方程為y2=8x. 5分
(2)直線l2與l1垂直,故可設直線l2:x=y(tǒng)+m,A(x1,y1),B(x2,y2),且直線l2與x軸的交點為M. 6分
由得y2-8y-8m=0,Δ=64+32m>0,∴m>-2.
y1+y2=8,y1y2=-8m,∴x1x2==m2. 8分
由題意可知OA⊥OB,
即x1x2+y1y2=m2-8m=0,
∴m=8或m=0(舍),∴直線l2:x=y(tǒng)+8,M(8,0). 10分
故S△FAB=S△FMB+S△FMA=|FM||y1-y2|
=3=24. 12分
[規(guī)律方法] 1.拋物線的弦長問題,要注意直線是否過拋物線的焦點,若過拋物線的焦點,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不過焦點,則必須用一般弦長公式.
2.涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時,一般利用根與系數(shù)的關系采用“設而不求”“整體代入”等方法.
3.涉及弦的中點、斜率時,一般用“點差法”求解.