高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程章末檢測 新人教A版選修11
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1、(人教版)精品數(shù)學教學資料高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程章末檢測 新人教 A 版選修 1-1一、選擇題(本大題共 10 小題,每小題 5 分,共 50 分)1(2014青島質檢)雙曲線x24y251 的漸近線方程為(B)Ay54xBy52xCy55xDy2 55x解析:由題意得雙曲線x24y251 的漸近線方程為x24y250,即y52x,故選 B.2已知雙曲線x2a2y2b21 的一條漸近線方程為y43x,則雙曲線的離心率為(A)A.53B.43C.54D.32解析:由ba43,得b43a.平方得b2169a2.又b2c2a2.代入,解得ca53.3(2014浙江質檢)橢圓x2my21 的
2、焦點在y軸上,長軸長是短軸長的兩倍,則m的值為(A)A.14B.12C2D4解析:由橢圓x2my21,得x2y21m1,焦點在y軸上,長軸長是短軸長的兩倍,21m1,解得m14.4若拋物線y22px的焦點與橢圓x216y2121 的左焦點重合,則p的值為(D)A2B2C4D6解析:橢圓的左焦點為(2,0),拋物線的焦點為p2,0,p23,p6.5設O為坐標原點,F(xiàn)為拋物線y24x的焦點,A是拋物線上一點,若OAAF4,則點A的坐標是(B)A(2,2 2)B(1,2)C(1,2)D(2,2 2)解析:F(1,0),設A(x0,y0)是拋物線上一點,則有y204x0.又OAAF4,(x0,y0)(
3、1x0,y0)4,化簡得,x203x040.解得x01,x04(舍去)將x01 代入拋物線方程,得y02.6曲線x210my26m1(m6)與曲線x25my29m1(5m9)的(A)A焦距相等B離心率相等C焦點相同D準線相同解析:m6,曲線x210my26m1 為焦點在x軸上的橢圓c2(10m)(6m)4,c2,2c4.又 5m9,曲線x25my29m1 為焦點在y軸上的雙曲線,即y29mx2m51.c2(9m)(m5)4,c2,2c4.7(2014東三省四市聯(lián)考)以橢圓x28y251 的焦點為頂點,以橢圓的頂點為焦點的雙曲線的漸近線方程為(D)Ay35xBy53xCy155xDy153x解析
4、:依題意得雙曲線的實軸為 2a2 852 3,焦距 2c2 84 2,bc2a283 5,因此該雙曲線漸近線方程是ybax153x,故選 D.8雙曲線mx2y21 的虛軸長是實軸長的 2 倍,則m為(A)A14B4C4D.14解析:將雙曲線方程化為標準形式,得y21x21m1.a21,b21m.根據(jù)題意,得 2b22a.即 21m4.m14.9已知兩點M(2,0)、N(2,0),點P為坐標平面內的動點,滿足|MN|MP|MNPN0,則動點P(x,y)的軌跡方程為(B)Ay28xBy28xCy24xDy24x解析:設點P(x,y),|MN|4,|MP| (x2)2y2,又MNPN(4,0)(2x
5、,y)4(2x),4 (x2)2y24(2x),化簡得,y28x.10已知雙曲線x2a2y2b21(a0,b0)的右焦點為F,若過點F且傾斜角為 60的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則此雙曲線離心率的取值范圍是(C)A(1,2)B(1,2)C2,)D(2,)解析:雙曲線的漸近線方程為ybax,又傾斜角為 60的直線的斜率為 3,所以根據(jù)題意,得ba 3,即b 3a.兩邊平方得,b23a2.又b2c2a2,ca2.二、填空題(本大題共 4 小題,每小題 5 分,共 20 分)11已知雙曲線中心在原點,一個焦點的坐標為(3,0),且焦距與虛軸長之比為 54,則雙曲線的標準方程是_解析:可知焦
6、點在x軸上,c3,又 2c2b54,5b4c12,b125.根據(jù)a2c2b2912528125,故所求的雙曲線方程為x28125y2144251.答案:x28125y214425112已知拋物線C的頂點為原點,焦點在x軸上,直線yx與拋物線C交于A,B兩點,若P(2,2)為AB的中點,則拋物線C的方程為_解析:設拋物線為y2kx,與yx聯(lián)立方程組,消去y,得:x2kx0,x1x2k22,故y24x.答案:y24x13(2014郴州二監(jiān))過拋物線y24x焦點的直線交拋物線于A,B兩點,若|AB|10,則AB的中點P到y(tǒng)軸的距離等于_解析:拋物線y24x焦點為E(1,0),準線為x1,過點A,B,
7、P分別作準線的垂線,垂足分別為點C,D,F(xiàn),PF交y軸于點H,如圖所示,則PF為直角梯形ABCD的中位線,|PF|AC|BD|2|AE|BE|2|AB|25,故|PH|PF|14,即AB的中點P到y(tǒng)軸的距離等于4.14.ax2by21 與直線yx1 交于A、B兩點,過原點與線段AB中點的直線斜率為22,則ab_解析:設A(x1,y1),B(x2,y2),則ax21by211,ax22by221,可得:a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0,從而得ab(y1y2)(y1y2)(x1x2)(x1x2)(1)2222.答案:22三、解答題(本大題共 6 小題,共 80 分)15.(1
8、2 分)已知A(2,0)、定圓M:(x2)2y225,P是圓上的動點,線段AP的垂直平分線交MP于Q,求Q的軌跡方程解析:如圖,|QP|QA|,|QM|QA|QM|QP|MP|5.動點Q的軌跡是橢圓,又2a5,c2,b2a2c294,Q的軌跡方程為x2254y2941.16(12 分)已知拋物線的頂點在原點,它的準線過雙曲線x2a2y2b21(a0,b0)的一個焦點,并且這條準線與雙曲線的兩焦點的連線垂直,拋物線與雙曲線交于點P32, 6,求拋物線的方程和雙曲線的方程解析:依題意,設拋物線的方程為y22px(p0),點P32, 6在拋物線上62p32.p2,所求拋物線的方程為y24x.雙曲線的
9、左焦點在拋物線的準線x1 上,c1,即a2b21,又點P32, 6在雙曲線上,94a26b21,解方程組a2b21,94a26b21,得a214,b234,或a29b28,(舍去)所求雙曲線的方程為 4x243y21.17 (14 分)已知拋物線方程為y22x, 在y軸上截距為 2 的直線l與拋物線交于M,N兩點,O為坐標原點若OMON,求直線l的方程解析:設直線l的方程為ykx2,由y22x,ykx2,消去x得ky22y40.直線l與拋物線相交,k0,416k0,解得k14且k0.設M(x1,y1),N(x2,y2),則y1y24k,從而x1x2y212y2224k2.OMON,x1x2y1
10、y20,即4k24k0,解得k1 符合題意,直線l的方程為yx2.18(14 分)已知橢圓x24y291 及直線l:y32xm,(1)當直線l與該橢圓有公共點時,求實數(shù)m的取值范圍;(2)求直線l被此橢圓截得的弦長的最大值解析:(1)由y32xm,x24y291,消去y,并整理得9x26mx2m280.上面方程的判別式36m236(2m28)36(m28)直線l與橢圓有公共點,0,據(jù)此可解得2 2m2 2.故所求實數(shù)m的取值范圍為2 2,2 2(2)設直線l與橢圓的交點為A(x1,y1),B(x2,y2),由得:x1x26m9,x1x22m289,故|AB| 1k2(x1x2)24x1x213
11、226m9242m289133m28.當m0 時,直線l被橢圓截得的弦長的最大值為2 263.19(2014海淀二模)(14 分)已知橢圓G的離心率為22,其短軸兩端點為A(0,1),B(0,1)(1)求橢圓G的方程;(2)若C、D是橢圓G上關于y軸對稱的兩個不同點,直線AC,BD與x軸分別交于點M,N,判斷以MN為直徑的圓是否過點A,并說明理由解析:(1)由已知可設橢圓G的方程為x2a2y211(a1)由e22得e2a21a212,解得a22,所以橢圓的標準方程為x22y211.(2)設C(x0,y0),且x00,則D(x0,y0)因為A(0,1),B(0,1),所以直線AC的方程為yy01
12、x0 x1.令y0,得xMx0y01,所以Mx0y01,0.同理直線BD的方程為yy01x0 x1,求得Nx0y01,0.AMx01y0,1,ANx01y0,1,所以AMANx201y201,由C(x0,y0)在橢圓G:x22y21 上,所以x202(1y20),所以AMAN10,所以MAN90,所以以線段MN為直徑的圓不過點A.20(14 分)(2014東三省四市聯(lián)考)已知圓M和圓P:x2y22 2x100 相內切,且過定點Q( 2,0)(1)求動圓圓心M的軌跡方程;(2)不垂直于坐標軸的直線l與動圓圓心M的軌跡交于A,B兩點,且線段AB的垂直平分線經過點0,12 ,求AOB(O為原點)面積
13、的最大值解析:(1)由已知|MP|2 3|MQ|,即|MP|MQ|2 3,且 23大于|PQ|,所以M的軌跡是以( 2,0),( 2,0)為焦點,23為長軸長的橢圓,即其方程為x23y21.(2)設A(x1,y1),B(x2,y2)且過AB的直線l的方程為ykxt,代入橢圓方程得(3k21)x26ktx3t230,因為方程有兩個不同的解,所以4(9k233t2)0,即 3k21t2,又因為x1x26kt3k21,所以x1x223kt3k21,y1y22t3k21,所以y1y2212x1x2201k,化簡得到 3k214t,綜合得 0t4,又 原 點 到 直 線 的 距 離 為d|t|k21,
14、|AB| 1k2|x1x2| 1k24(9k233t2)3k21,化簡得SABO143(4tt2),所以當t2,即k73時,SAOB取最大值32.一、選擇題(本大題共 12 小題,每小題 5 分,共 60 分在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合要求的)1橢圓x24y21 的兩個焦點為F1、F2,過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交,一個交點為P,則|PF2| (C)A.32B. 3C.72D42拋物線的頂點和橢圓x225y291 的中心重合,拋物線的焦點和橢圓x225y291 的右焦點重合,則拋物線的方程為(A)Ay216xBy28xCy212xDy26x3雙曲線x2y2m1 的離心率大于
15、2的充分必要條件是(C)Am12Bm1Cm1Dm2解析:由e2ca21m11m2,m1.4已知雙曲線x2a2y2b21(a0,b0)的一條漸近線方程是y 3x,它的一個焦點在拋物線y224x的準線上,則雙曲線的方程為(B)A.x236y21081B.x29y2271C.x2108y2361D.x227y291解析:本題主要考查雙曲線與拋物線的幾何性質與標準方程,屬于容易題依題意知ba 3,c6,c2a2b2,a29,b227,所以雙曲線的方程為x29y2271.5(2013惠州一調)已知實數(shù) 4,m,9 構成一個等比數(shù)列,則圓錐曲線x2my21 的離心率為(C)A.306B. 7C.306或
16、7D.56或 7解析:因 4,m,9 成等比數(shù)列,則m236,m6.當m6 時圓錐曲線為橢圓x26y21,其離心率為306;當m6 時圓錐曲線為雙曲線y2x261,其離心率為 7,故選 C.6在y2x2上有一點P,它到A(1,3)的距離與它到焦點的距離之和最小,則點P的坐標是(B)A(2,1)B(1,2)C(2,1)D(1,2)解析:如圖所示,直線l為拋物線y2x2的準線,F(xiàn)為其焦點,PNl,AN1l,由拋物線的定義知,|PF|PN|,|AP|PF|AP|PN|AN1|,當且僅當A,P,N三點共線時取等號,P點的橫坐標與A點的橫坐標相同即為 1,則可排除 A、C、D 項,故選 B.7已知F1(
17、1,0),F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個焦點,過F2且垂直x軸的直線交C于A,B兩點,且|AB|3,則C的方程為(C)A.x22y21B.x23y221C.x24y231D.x25y241解析:依題意可設橢圓的方程為x2a2y2b21(ab0),則A1,b2a,B1,b2a,又|AB|b2ab2a2b2a3,2b23a.又a2b2c21,a2,b 3.故C的方程為x24y231.8(2013新課標全國卷)O為坐標原點,F(xiàn)為拋物線C:y24 2x的焦點,P為C上一點,若|PF|4 2,則POF的面積為(C)A2B2 2C2 3D4解析:設P(a,b)為拋物線上在第一象限內的點,則a 24 2,得a
18、3 2,因為點P(a,b)在拋物線上,所以b2 6,所以SPOF12 22 62 3,故選 C.9動圓的圓心在拋物線y28x上,且動圓恒與直線x20 相切,則動圓必過點(B)A(4,0)B(2,0)C(0,2)D(0,2)解析:直線x20 是拋物線的準線,又動圓圓心在拋物線上,由拋物線的定義知,動圓必過拋物線的焦點(2,0)10 已知F是拋物線y14x2的焦點,P是該拋物線上的動點, 則線段PF中點的軌跡方程是(C)Ax2y12Bx22y116Cx22y1Dx22y2解析:由y14x2x24y,焦點F(0,1),設PF中點Q(x,y)、P(x0,y0),則2x0 x0,2y1y0,4y0 x2
19、0,x22y1.11橢圓x225y291 上一點P到兩焦點的距離之積為m,則m取最大值時,P點坐標是(C)A(5,0)或(5,0)B.52,3 32或52,3 32C(0,3)或(0,3)D.5 32,32 或5 32,32解析:|PF1|PF2|2a10,|PF1|PF2|PF1|PF2|2225.當且僅當|PF1|PF2|5 時,取得最大值,此時P點是短軸端點,故選 C.12已知F1,F(xiàn)2是雙曲線x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點,P為雙曲線左支上一點,若|PF2|2|PF1|的最小值為 8a,則該雙曲線的離心率的取值范圍是(C)A(1,3)B(1,2)C(1,3D(1,2解析:|P
20、F2|2|PF1|(|PF1|2a)2|PF1|PF1|4a2|PF1|4a8a,當|PF1|4a2|PF1|,即|PF1|2a時取等號又|PF1|ca,2aca.c3a,即e3.雙曲線的離心率的取值范圍是(1,3二、填空題(本大題共 4 小題,每小題 5 分,共 20 分將正確答案填在題中的橫線上)13 拋物線y28x上一個點P(P在x軸上方)到焦點的距離是8, 此時P點的坐標是_答案:(6,4 3)14與橢圓x24y231 具有相同的離心率且過點(2,3)的橢圓的標準方程是_答案:x28y261 或3y2254x225115 若直線y32x與雙曲線x2a2y2b21(a0,b0)的交點在實
21、軸上的射影恰好為雙曲線的焦點,則雙曲線的離心率是_答案:216 拋 物 線y2x上 存 在 兩 點 關 于 直 線ym(x 3) 對 稱 , 則m的 范 圍 是_解析:設拋物線上兩點A(x1,y1),B(x2,y2)關于直線ym(x3)對稱,A,B中點M(x,y),則當m0 時,有直線y0,顯然存在點關于它對稱當m0 時,y21x1,y22x2y1y2x1x21y1y212y1m,所以ym2,所以M的坐標為(52,m2),M在拋物線內,則有52(m2)2,得 10m 10且m0,綜上所述,m( 10, 10)答案:( 10, 10)三、解答題(本大題共 6 小題,共 70 分.解答應寫出必要的
22、文字說明、證明過程或演算步驟)17(10 分)求適合下列條件的雙曲線的標準方程:(1)焦點在x軸上,虛軸長為 12,離心率為54;(2)頂點間的距離為 6,漸近線方程為y32x.解析:(1)焦點在x軸上,設所求雙曲線的方程為x2a2y2b21.由題意,得2b12,ca54,b2c2a2.解得a8,b6,c10.所以焦點在x軸上的雙曲線的方程為x264y2361.(2)當焦點在x軸上時,設所求雙曲線的方程為x2a2y2b21由題意,得2a6,ba32.解得a3,b92.所以焦點在x軸上的雙曲線的方程為x29y28141.同理可求當焦點在y軸上雙曲線的方程為y29x241.故所求雙曲線的方程為x2
23、9y28141 或y29x241.18(12 分) 已知橢圓C的焦點F1(2 2,0)和F2(2 2,0),長軸長為 6,設直線yx2交橢圓C于A、B兩點,求線段AB的中點坐標解析:由已知條件得橢圓的焦點在x軸上,其中c2 2,a3,從而b1,所以其標準方程是x29y21.聯(lián)立方程組x29y21,yx2,消去y得,10 x236x270.設A(x1,y1),B(x2,y2),AB線段的中點為M(x0,y0),那么:x1x2185,x0 x1x2295.所以y0 x0215.也就是說線段AB的中點坐標為95,15 .19 (12 分)中心在原點, 焦點在x軸上的一個橢圓與一雙曲線有共同的焦點F1
24、,F(xiàn)2, 且|F1F2|2 13,橢圓的長半軸與雙曲線的實半軸之差為 4,離心率之比為 37.求這兩條曲線的方程解析:設橢圓的方程為x2a21y2b211,雙曲線的方程為x2a22y2b221,半焦距c 13,由已知得:a1a24,ca1ca237,解得:a17,a23.所以:b2136,b224,故所求兩條曲線的方程分別為:x249y2361 ,x29y241.20. (12 分)已知動點P與平面上兩定點A( 2,0)、B( 2,0)連線的斜率的積為定值12.(1)試求動點P的軌跡方程C;(2)設直線l:ykx1 與曲線C交于M、N兩點,當|MN|4 23時,求直線l的方程解析:(1)設點P
25、(x,y),則依題意有yx 2yx 212,整理得x22y21.由于x 2,所以求得的曲線C的方程為x22y21(x 2)(2)聯(lián)立方程組x22y21,ykx1,消去y得:(12k2)x24kx0.解得x10,x24k12k2(x1,x2分別為M,N的橫坐標)由|MN| 1k2|x1x2| 1k2|4k12k2|432,解得:k1.所以直線l的方程xy10 或xy10.21(12 分)設橢圓C1:x2a2y2b21(ab0),拋物線C2:x2byb2.(1)若C2經過C1的兩個焦點,求C1的離心率;(2)設A(0,b),Q3 3,54b,又M,N為C1與C2不在y軸上的兩個交點,若AMN的垂心
26、為B0,34b,且QMN的重心在C2上,求橢圓C1和拋物線C2的方程解析:(1)由已知橢圓焦點(c,0)在拋物線上,可得c2b2,由a2b2c22c2,有c2a212e22.(2)由題設可知M、N關于y軸對稱,設M(x1,y1),N(x1,y1)(x10),由AMN的垂心為B,有BMAN0 x21y134b(y1b)0由點N(x1,y1)在拋物線上,x21by1b2,解得y1b4,或y1b(舍去),故x152b,M52b,b4 ,N52b,b4 ,得QMN重心坐標3,b4 .由重心在拋物線上得 3b24b2,b2,M 5,12 ,N5,12 ,又M,N在橢圓上,得a2163,橢圓方程為x216
27、3y241,拋物線方程為x22y4.22(12 分)已知橢圓x2a2y2b21(ab0)的離心率e63.過點A(0,b)和B(a,0)的直線與原點的距離為32.(1)求橢圓的方程;(2)已知定點E(1,0),若直線ykx2(k0)與橢圓交于C,D兩點,問:是否存在k的值,使以CD為直徑的圓過E點,請說明理由解析:(1)直線AB方程為:bxayab0.依題意ca63,aba2b232,解得a 3,b1.橢圓方程為x23y21.(2)假若存在這樣的k值,由ykx2,x23y230,得(13k2)x212kx90.(12k)236(13k2)0.設C(x1,y1),D(x2,y2),則x1x212k13k2,x1x2913k2.而y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4.要使以CD為直徑的圓過點E(1,0),當且僅當CEDE時,則y1x11y2x211.即y1y2(x11)(x21)0.(k21)x1x2(2k1)(x1x2)50.將式代入整理解得k76.經驗證k76使成立綜上可知,存在k76,使得以CD為直徑的圓過點E.
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