《數學選修21蘇教版：第2章　圓錐曲線與方程 章末復習 Word版含答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《數學選修21蘇教版：第2章　圓錐曲線與方程 章末復習 Word版含答案（17頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 精品資料 章末復習 學習目標　1.梳理本章知識，整合知識網絡.2.鞏固圓錐曲線的定義、標準方程及幾何性質.3.能綜合應用本章知識解決相關問題． 1．三種圓錐曲線的定義、標準方程、幾何性質 橢圓 雙曲線 拋物線 定義 平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數(大于F1F2)的點的軌跡 平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于常數(小于F1F2的正數)的點的軌跡 平面內到一個定點F和一條定直線l(F不在l上)距離相等的點的軌跡 標準方程 ＋＝1(a>b>0) －＝1(a>0，b>0) y2＝2p

2、x(p>0) 關系式 a2－b2＝c2 a2＋b2＝c2 圖形 封閉圖形 無限延展，有漸近線 無限延展，沒有漸近線 對稱性 對稱中心為原點 無對稱中心 兩條對稱軸 一條對稱軸 頂點 四個 兩個 一個 離心率 01 e＝1 準線方程 x＝ x＝ x＝－ 決定形狀的因素 e決定扁平程度 e決定開口大小 2p決定開口大小 2．待定系數法求圓錐曲線標準方程 (1)橢圓、雙曲線的標準方程 求橢圓、雙曲線的標準方程包括“定位”和“定量”兩方面，一般先確定焦點的位置，再確定參數．當焦點位置不確定時，要分情況討論．也可將橢圓方

3、程設為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，其中當>時，焦點在x軸上，當<時，焦點在y軸上；雙曲線方程可設為Ax2＋By2＝1(AB<0)，當<0時，焦點在y軸上，當<0時，焦點在x軸上． (2)拋物線的標準方程 求拋物線的標準方程時，先確定拋物線的方程類型，再由條件求出參數p的大?。斀裹c位置不確定時，要分情況討論，也可將方程設為y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)，然后建立方程求出參數p的值． 3．圓錐曲線的統(tǒng)一定義 (1)定義：平面內到一個定點F和到一條定直線l(F不在l上)的距離比等于常數e的點的軌跡． 當0＜e＜1時，表示橢圓；當e＞1時，表示雙曲線；當e

4、＝1時，表示拋物線． 其中e是圓錐曲線的離心率，定點F是圓錐曲線的焦點，定直線l是圓錐曲線的準線． (2)對于中心在原點，焦點在x軸上的橢圓或雙曲線，與焦點F1(－c,0)，F2(c,0)對應的準線方程分別為x＝－，x＝. 1．設A，B為兩個定點，k為非零常數，PA－PB＝k，則動點P的軌跡為雙曲線．() 2．若直線與曲線有一個公共點，則直線與曲線相切．() 3．方程2x2－5x＋2＝0的兩根x1，x2(x1＜x2)可分別作為橢圓和雙曲線的離心率．(√) 4．已知方程mx2＋ny2＝1，則當m＞n時，該方程表示焦點在x軸上的橢圓．() 5．拋物線y＝4ax2(a≠0)的焦點坐

5、標是.(√) 類型一　圓錐曲線的定義與標準方程 例1　在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F2在x軸上，離心率為.過F1的直線l交C于A，B兩點，且△ABF2的周長為16，那么橢圓C的方程為________________． 考點　橢圓的標準方程 題點　由橢圓的幾何特征求方程 答案　＋＝1 解析　設橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，由e＝，知＝，故＝.由于△ABF2的周長為AB＋BF2＋AF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝4a＝16，故a＝4，∴b2＝8，∴橢圓C的方程為＋＝1. 反思與感悟　1.涉及橢圓，雙曲線上的點與兩個焦點構成的三角形問題，

6、常用定義來解決． 2．涉及焦點，準線，離心率，圓錐曲線上的點中的三者，常用定義解決問題． 3．求軌跡問題，最值問題，曲線方程也常常結合定義求解． 跟蹤訓練1　拋物線y2＝2px(p>0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三點，F是它的焦點，若AF，BF，CF成等差數列，則下列說法正確的是________．(填序號) ①x1，x2，x3成等差數列； ②y1，y2，y3成等差數列； ③x1，x3，x2成等差數列； ④y1，y3，y2成等差數列． 答案　① 解析　如圖，過A，B，C分別作準線的垂線，垂足分別為A′，B′，C′，由拋物線定義知： AF＝AA

7、′，BF＝BB′，CF＝CC′. ∵2BF＝AF＋CF， ∴2BB′＝AA′＋CC′. 又∵AA′＝x1＋，BB′＝x2＋，CC′＝x3＋， ∴2＝x1＋＋x3＋，∴2x2＝x1＋x3， ∴x1，x2，x3成等差數列． 類型二　圓錐曲線性質的應用 例2　雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左，右焦點分別為F1，F2，若P為雙曲線上一點，且PF1＝2PF2，則雙曲線離心率的取值范圍為________． 答案　(1,3] 解析　如圖所示， 由PF1＝2PF2知P在雙曲線的右支上， 則PF1－PF2＝2a， 又PF1＝2PF2， ∴PF1＝4a，PF2＝2a， 在△F

8、1PF2中，由余弦定理得 cos∠F1PF2＝ ＝＝－＝－， ∵0<∠F1PF2≤π， 且當點P是雙曲線的頂點時，∠F1PF2＝π， ∴－1≤cos∠F1PF2<1， ∴－1≤－<1，由e>1，解得1

9、定點C(－1,0)及橢圓x2＋3y2＝5，過點C的動直線與橢圓相交于A，B兩點，在x軸上是否存在點M，使為常數？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由． 解　假設在x軸上存在點M(m,0)，使為常數． 設A(x1，y1)，B(x2，y2)． ①當直線AB與x軸不垂直時，直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y＝k(x＋1)，將y＝k(x＋1)代入橢圓方程x2＋3y2＝5，消去y整理，得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0. 則 所以＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2 ＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1＋1)(x2＋1) ＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)(x

10、1＋x2)＋k2＋m2. 將上式整理，得＝＋m2 ＝＋m2 ＝m2＋2m－－. 注意到是與k無關的常數， 從而有6m＋14＝0，解得m＝－， 此時＝. ②當直線AB與x軸垂直時， 此時點A，B的坐標分別為，， 當m＝－時，亦有＝. 綜上，在x軸上存在定點M，使為常數． 反思與感悟　解決圓錐曲線中的參數范圍問題與求最值問題類似，一般有兩種方法 (1)函數法：用其他變量表示該參數，建立函數關系，利用求函數值域的方法求解． (2)不等式法：根據題意建立含參數的不等關系式，通過解不等式求參數范圍． 跟蹤訓練3　已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點P在C上且其橫

11、坐標為1，以F為圓心、FP為半徑的圓與C的準線l相切． (1)求p的值； (2)設l與x軸交點為E，過點E作一條直線與拋物線C交于A，B兩點，求線段AB的垂直平分線在x軸上的截距的取值范圍． 解　(1)因為以F為圓心、FP為半徑的圓與C的準線l相切， 所以圓的半徑為p，即FP＝p， 所以FP⊥x軸，又點P的橫坐標為1， 所以焦點F的坐標為(1,0)，從而p＝2. (2)由(1)知拋物線C的方程為y2＝4x， 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 線段AB的垂直平分線與x軸的交點為D(x0，0)， 則由DA＝DB，y＝4x1，y＝4x2， 得(x1－x0)2＋y＝(x2－

12、x0)2＋y， 化簡得x0＝＋2，① 設直線AB的方程為x＝my－1，代入拋物線C的方程， 得y2－4my＋4＝0，由Δ>0得m2>1， 由根與系數的關系得y1＋y2＝4m， 所以x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝4m2－2， 代入①得x0＝2m2＋1>3， 故線段AB的垂直平分線在x軸上的截距的取值范圍是(3，＋∞).  1．設雙曲線－＝1(a>0)的漸近線方程為3x2y＝0，則a的值為________． 答案　2 解析　雙曲線－＝1(a>0)的漸近線方程為3xay＝0，與已知方程比較系數，得a＝2. 2．中心在原點，焦點在x軸上，若長軸長為18，且兩個焦點恰好將長

13、軸三等分，則此橢圓的方程是________． 答案　＋＝1 解析　∵兩焦點恰好將長軸三等分，2a＝18， ∴2c＝2a＝6，∴c＝3，b2＝a2－c2＝72， 故橢圓的方程為＋＝1. 3．已知M(－2,0)，N(2,0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點P的軌跡方程是________． 答案　x2＋y2＝4(x≠2) 解析　點P的軌跡是以MN為直徑的圓，又P為直角三角形的頂點，∴點P不能與M，N兩點重合，故x≠2. 4.如圖，已知橢圓的方程＋＝1(a>b>0)，A為橢圓的左頂點，B，C在橢圓上，若四邊形OABC為平行四邊形，且∠OAB＝30，則橢圓的離心率等于_______

14、_． 答案　 解析　由BC，OA平行且相等及橢圓的對稱性，可得點C的橫坐標為.由∠COx＝∠OAB＝30，得C，代入橢圓的方程得＋＝1，即a2＝9b2，則c2＝a2－b2＝8b2，故橢圓的離心率e＝＝＝＝. 5．點P(8,1)平分雙曲線x2－4y2＝4的一條弦，則這條弦所在直線的方程是________________． 答案　2x－y－15＝0 解析　設弦的兩個端點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x－4y＝4，x－4y＝4， 兩式相減得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0. 因為線段AB的中點為P(8,1)， 所以x1＋x2＝16，y

15、1＋y2＝2. 所以＝＝2. 所以直線AB的方程為y－1＝2(x－8)， 代入x2－4y2＝4滿足Δ>0. 即直線方程為2x－y－15＝0. 1．離心率的幾種求法： (1)定義法：由橢圓(雙曲線)的標準方程可知，不論橢圓(雙曲線)的焦點在x軸上還是在y軸上都有關系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意兩個參數，可以求其他的參數，這是基本且常用的方法． (2)方程法：建立參數a與c之間的齊次關系式，從而求出離心率，這是求離心率十分重要的方法． (3)幾何法：與過焦點的三角形有關的離心率問題，根據平面幾何性質、橢圓(雙曲線)的幾何性質和定義，建立參數之間

16、的關系． 2．在解決與圓錐曲線有關的最值問題時，通常的處理策略： (1)若具備定義的最值問題，可用定義將其轉化為幾何問題來處理． (2)一般問題可由條件建立目標函數，然后利用函數求最值的方法進行求解．如利用二次函數在閉區(qū)間上最值的求法，利用函數的單調性，亦可利用基本不等式等求解． 一、填空題 1．設圓C與圓x2＋(y－3)2＝1外切，與直線y＝0相切，則圓心C的軌跡為________． 答案　拋物線 解析　由題意知，圓C的圓心到點(0,3)的距離比到直線y＝0的距離大1，即圓C的圓心到點(0,3)的距離與到直線y＝－1的距離相等，且點(0,3)不在直線y＝－1上，根據拋物線的

17、定義可知，圓心C的軌跡為拋物線． 2．橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，焦距為4，經過點(0,2)，則該橢圓的方程為________． 答案?。? 解析　橢圓的焦距為4，所以2c＝4，c＝2.橢圓經過點(0,2)，根據橢圓的幾何性質可知b＝2，所以a2＝b2＋c2＝8，則由橢圓的焦點在x軸上，可得橢圓的方程為＋＝1. 3．下列曲線中離心率為的是________．(填序號) ①－＝1；②－＝1；③－＝1；④＋＝1(2

18、___條． 答案　3 解析　直線l斜率不存在的時候有一條．斜率存在時，一條交線，一條切線，共3條． 5．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點F1(－2，0)，右焦點F2(2，0)，離心率e＝.若點P為雙曲線C右支上一點，則PF1－PF2＝________. 答案　8 解析　由題意得c＝2，e＝＝， ∴a＝4，PF1－PF2＝2a＝8. 6．拋物線y＝－x2上的點到直線4x＋3y－8＝0的距離的最小值是________． 答案　 解析　設與直線4x＋3y－8＝0平行的直線方程為4x＋3y＋c＝0，與拋物線聯(lián)立方程組得消去y得3x2－4x－c＝0，Δ＝(－4)2－43(－c

19、)＝0，解得c＝－，則拋物線與直線4x＋3y－8＝0平行的切線是4x＋3y－＝0，問題轉化為兩平行線間的距離，利用兩平行線間的距離公式得d＝＝. 7．在平面直角坐標系xOy中，過雙曲線C：x2－＝1的右焦點F作x軸的垂線l，則l與雙曲線C的兩條漸近線所圍成的三角形的面積是________． 答案　4 解析　由題意可得雙曲線的漸近線方程為y＝x， F(2,0)， 那么直線l的方程為x＝2， 把x＝2代入漸近線方程可得y＝2， 故所求的三角形的面積為S＝42＝4. 8．過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，若AF＝3，則BF＝________. 答案　 解析　

20、設∠AFx＝θ(0<θ<π)及BF＝m， 因為點A到準線l：x＝－1的距離為3， 所以3＝2＋3cosθ?cosθ＝. 又m＝2＋mcos(π－θ)，∴m＝＝， 所以BF＝. 9．已知A為橢圓＋＝1上的動點，MN為圓(x－1)2＋y2＝1的一條直徑，則的最大值為________． 答案　15 解析　由題意得圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為C(1,0)， 那么＝(－)(－) ＝－(＋)＋2＝－1＋2， 顯然A取(－3,0)時2取得最大值16， 此時的最大值為－1＋16＝15. 10．已知點A(4，－2)，F為拋物線y2＝8x的焦點，點M在拋物線上移動，當MA＋MF取最小

21、值時，點M的坐標為________． 答案　 解析　過點M作準線l的垂線，垂足為E，由拋物線定義知MF＝ME. 當點M在拋物線上移動時，MF＋MA的值在變化， 顯然M移到M′，AM′∥Ox時， A，M，E共線，此時ME＋MA最小， 把y＝－2代入y2＝8x，得x＝， ∴M. 11．已知點A(0,2)，B(2,0)．若點C在拋物線x2＝y(tǒng)的圖象上，則使得△ABC的面積為2的點C的個數為________． 答案　4 解析　由已知可得AB＝2，要使S△ABC＝2，則點C到直線AB的距離必須為，設C(x，x2)，而lAB：x＋y－2＝0，所以有＝，所以x2＋x－2＝2， 當x2＋

22、x－2＝2時，有兩個不同的C點； 當x2＋x－2＝－2時，亦有兩個不同的C點． 因此滿足條件的C點有4個． 二、解答題 12．已知直線AB與拋物線y2＝2px(p>0)交于A，B兩點，且以AB為直徑的圓經過坐標原點O，過O作OD⊥AB于點D，點D的坐標為(2,1)，求拋物線的方程． 解　由題意得kOD＝，∵AB⊥OD，∴kAB＝－2， 又直線AB過點D(2,1)，∴直線AB的方程為y＝－2x＋5， 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵以AB為直徑的圓過點O，∴＝0， 即x1x2＋y1y2＝0，由 得4x2－(2p＋20)x＋25＝0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝，

23、 ∴y1y2＝(－2x1＋5)(－2x2＋5) ＝4x1x2－10(x1＋x2)＋25＝25－5p－50＋25＝－5p， ∴＋(－5p)＝0，∴p＝， ∴拋物線的方程為y2＝x. 13.如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，左頂點A與上頂點B的距離為. (1)求橢圓C的標準方程； (2)過原點O的動直線(與坐標軸不重合)與橢圓C交于P，Q兩點，直線PA，QA分別與y軸交于M，N兩點，問以MN為直徑的圓是否經過定點？請證明你的結論． 解　(1)由題意得解得a＝2，b＝， ∴橢圓C的標準方程為＋＝1. (2)以MN為直徑的圓過定點F(，0

24、)． 設P(x0，y0)，則Q(－x0，－y0)，且＋＝1， 即x＋2y＝4， ∵A(－2,0)，∴直線PA的方程為y＝(x＋2)， ∴M， 同理直線QA的方程為y＝(x＋2)， ∴N. 以MN為直徑的圓為(x－0)(x－0)＋ ＝0，即x2＋y2－y＋＝0， ∵x－4＝－2y，∴x2＋y2＋y－2＝0， 令y＝0，得x2－2＝0，解得x＝， ∴以MN為直徑的圓過定點F(，0)． 三、探究與拓展 14．已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點為F，短軸的一個端點為M，直線l：3x－4y＝0交橢圓E于A，B兩點．若AF＋BF＝4，點M到直線的距離不小于，則橢圓E的離心率

25、的取值范圍是________． 考點　橢圓的離心率問題 題點　求離心率的取值范圍 答案　 解析　如圖所示，設F′為橢圓的左焦點，連接AF′，BF′，則四邊形AFBF′是平行四邊形， ∴4＝|AF|＋|BF|＝|AF′|＋|AF|＝2a，∴a＝2. 取M(0，b)，∵點M到直線l的距離不小于， ∴≥，解得b≥1. ∴e＝＝≤＝. 又∵0＜e＜1， ∴橢圓E的離心率的取值范圍是. 15.如圖，橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左焦點為F1，右焦點為F2，離心率e＝.過F1的直線交橢圓于A，B兩點，且△ABF2的周長為8. (1)求橢圓E的方程； (2)設動直線l：y

26、＝kx＋m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x＝4相交于點Q.試探究：在坐標平面內是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由． 解　(1)因為AB＋AF2＋BF2＝8， 即AF1＋F1B＋AF2＋BF2＝8， 而AF1＋AF2＝F1B＋BF2＝2a， 所以4a＝8，解得a＝2. 又e＝＝，所以c＝a＝1，所以b2＝a2－c2＝3. 故所求橢圓E的方程為＋＝1. (2)由消去y， 整理得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0. 因為動直線l與橢圓E有且只有一個公共點P(x0，y0)， 所以m≠0， Δ＝64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0， 即4k2－m2＋3＝0.① 此時x0＝－＝－，y0＝，故P. 由得Q(4,4k＋m)． 假設在坐標平面內存在定點M滿足條件，由圖形的對稱性知，點M必在x軸上． 設M(x1,0)，則＝0對滿足①式的m，k恒成立． 因為＝，＝(4－x1,4k＋m)， 所以由＝0， 得－＋－4x1＋x＋＋3＝0， 即(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0.② 由②式對滿足①式的m，k恒成立， 所以有得x1＝1. 故存在定點M(1,0)，使得以PQ為直徑的圓恒過點M.