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高考數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

上傳人:仙*** 文檔編號:41986322 上傳時間:2021-11-24 格式:DOC 頁數(shù):10 大?。?19.50KB
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1、 (四)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 一、知識歸納: (一)直線和圓的位置關(guān)系 1.直線和圓位置關(guān)系的判定方法一是方程的觀點(diǎn),即把圓的方程和直線的方程聯(lián)立成方程組,利用判別式Δ來討論位置關(guān)系. ①Δ>0,直線和圓相交;②Δ=0,直線和圓相切;③Δ<0,直線和圓相離. 方法二是幾何的觀點(diǎn),即把圓心到直線的距離d和半徑R的大小加以比較. ①d<R,直線和圓相交;②d=R,直線和圓相切;③d>R,直線和圓相離. 2.直線和圓相切,這類問題主要是求圓的切線方程.求圓的切線方程主要可分為已知斜率k或已知直線上一點(diǎn)兩種情況,而已知直線上一點(diǎn)又可分為已知圓上一點(diǎn)和圓外一點(diǎn)兩種情況. 3

2、.直線和圓相交,這類問題主要是求弦長以及弦的中點(diǎn)問題. (二)圓與圓的位置關(guān)系  設(shè)兩圓圓心分別為O1,O2,半徑分別為r1,r2,。 ;;; ; 二、學(xué)習(xí)要點(diǎn): 1.有關(guān)直線和圓的位置關(guān)系,一般要用圓心到直線的距離與半徑的大小來確定. 2.當(dāng)直線和圓相切時,求切線方程一般要用圓心到直線的距離等于半徑,求切線長一般要用切線、半徑及圓外點(diǎn)與圓心連線構(gòu)成的直角三角形;與圓相交時,弦長的計(jì)算也要用弦心距、半徑及弦長的一半構(gòu)成的直角三角形. 3.有關(guān)圓的問題,注意圓心、半徑及平面幾何知識的應(yīng)用. 4.在確定點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系時,經(jīng)常要用到距離,因此,兩點(diǎn)間的距離公式、

3、點(diǎn)到直線的距離公式等應(yīng)熟練掌握,靈活運(yùn)用. 三、例題分析: 例1、已知一個圓和軸相切,在直線上截得的弦長為,且圓心在直線上,求圓的方程。 例2.從點(diǎn)發(fā)出的光線射到軸上,被軸反射,其反射光線所在的直線與圓 相切,求光線所在直線的方程. 例3、已知m∈R,直線l:和圓C:。 (1)求直線l斜率的取值范圍; (2)直線l能否將圓C分割成弧長的比值為的兩段圓???為什么? 例4.已知圓A的圓心在曲線上,圓A與y軸相切,又與另一圓 相外切,求圓A的方程. P M N

4、 O1 O2 例5.如圖,圓O1與圓O2的半徑都是1,O1O2=4,過動點(diǎn)P分別作圓O1、圓O2的切線PM、PN(M、N分別為切點(diǎn)),使得試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,并求動點(diǎn)P的軌跡方程 四、練習(xí)題 (一)選擇題 1.設(shè),則直線與圓的位置關(guān)系為 A.相切 B.相交 C.相切或相離 D.相交或相切 2.已知直線ax+by+c=0(abc≠0)與圓x2+y2=1相切,則三條邊長分別為|a|、|b|、|c(diǎn)| 的三角形 A.是銳角三角形 B.是直角三角形 C.是鈍角三角形 D.不存在 3.設(shè)直線過點(diǎn),其斜率

5、為1, 且與圓相切,則的值為 A. B.2 C.2 D.4 4.“”是“直線與圓相切”的 A充分而不必要條件. B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 5.若直線始終平分圓的周長,則 的最小值為 A. B. C. D. 7.圓與圓的位置關(guān)系是: A.外切 B.內(nèi)切 C.相交 D.外離 8.在坐標(biāo)平面內(nèi),與點(diǎn)A(1,2)距離為1,且與點(diǎn)B(3,1)

6、距離為2的直線共有 A.1條 B.2條 C.3條 D.4條 9.若圓(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有兩個點(diǎn)到直線4x-3y=2的距離等于1,則半徑r的范圍是 A.(4,6) B.[4,6) C.(4,6] D.[4,6] 10.一動圓與圓x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都相切,則動圓圓心軌跡為 A..圓 B.橢圓 C.雙曲線一支 D.拋物線 (二)填空題: 11.設(shè)為圓上的動點(diǎn),則點(diǎn)到直線的距離的最小值為 _ .

7、 12.已知圓和直線. 若圓與直線沒有公共 點(diǎn),則的取值范圍是 . 13.設(shè)直線與圓相交于、兩點(diǎn),且弦 的長為 ,則___. 14.過點(diǎn)(1,)的直線l將圓(x-2)2+y2=4分成兩段弧,當(dāng)劣弧所對的圓心角最小時,直 線l的斜率k= . (三)解答題: 15.圓內(nèi)有一點(diǎn),AB為經(jīng)過點(diǎn)P且傾斜角為的弦。 (1)當(dāng)時,求弦AB的長;(2)當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時求直線AB的方程。 16.已知圓: (1)求圓心的坐標(biāo)及半徑的大??; (2)若不過原點(diǎn)的直線與圓相切,且在軸、軸上的截距相等,求直線的方程;

8、 (3)從圓外一點(diǎn)向圓引一條切線,切點(diǎn)為,為坐標(biāo)原點(diǎn),且,求點(diǎn)的軌跡方程。 17.已知直線與圓交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),求的值。 18 在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓和圓. (1)若直線過點(diǎn),且被圓截得的弦長為,求直線的方程; (2)設(shè)P為平面上的點(diǎn),滿足:存在過點(diǎn)P的無窮多對互相垂直的直線和,它們分別與 圓和圓相交,且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等,試 求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)。 19.已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2+y2-4x+1=0.求 (1)的最大值和最小值

9、;(2)y-x的最小值;(3)x2+y2的最大值和最小值. (四)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系參考答案 三、例題分析: 例1.解:設(shè)所求圓的方程為:,則有 解方程組得或, 則所求圓的方程為或 例2解:圓(x-2)2+(y-2)2=1關(guān)于x軸的對稱方程是(x-2)2+(y+2)2=1. 設(shè)l方程為y-3=k(x+3),由于對稱圓心(2,-2)到l的距離為圓的半徑1, 從而可得,化簡得:,解得k1=-,k2=-. 故所求l的方程是3x+4y-3=0或4x+3y+3=0. 例3、(1)直線的方程可化為,此時斜率 因?yàn)椋?,?dāng)且僅當(dāng)時等號成立

10、 所以,斜率k的取值范圍是; (2)不能.由(1知的方程為,其中; 圓C的圓心為,半徑;圓心C到直線的距離 由,得,即,從而,若與圓C相交,則圓C截直線所得 的弦所對的圓心角小于,所以不能將圓C分割成弧長的比值為的兩端?。? (4)解析:兩圓為,, ,,則,兩圓相交。選B 例4解:設(shè)圓A的方程為 則有解得或 則圓A的方程為或 例5.解:以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為原點(diǎn),O1O2所在直線為x軸,建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系, 則O1(-2,0),O2(2,0),由已知:PM=,即 PM2=2PN2, P M N O1 O2 O y x 因?yàn)?/p>

11、兩圓的半徑都為1,所以有:,設(shè)P(x,y) 則(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1], 即 綜上所述,所求軌跡方程 (或) 四、練習(xí)題 一、選擇題 1~10 CBB4C 6BBA10 解析: 1.解析 圓心到直線的距離為d=,圓半徑為. ∵, ∴直線與圓的位置關(guān)系是相切或相離. 選C 2.解析:由題意得=1,即c2=a2+b2,∴由|a|、|b|、|c(diǎn)|構(gòu)成的三角形為直角三角形. 選B 3.解析:設(shè)直線過點(diǎn)(0,a),其斜率為1, 且與圓x2+y2=2相切,設(shè)直線方程為,圓心(0,0)道直線的距離等于半徑,∴ ,

12、∴ a 的值2,選B. 8.解析:分別以A、B為圓心,以1、2為半徑作圓,兩圓的公切線有兩條,即為所求. 選B 9.?dāng)?shù)形結(jié)合法解. 選A 二、填空題: 11. 1_ . 12. (0, ) . 13.__0__14. k= 11.解析:圓心(0,0)到直線3x-4y-10=0的距離d==2. 再由d-r=2-1=1,知最小距離為1. 答案:1 12.解:由題意知,圓心(-5,0) 到直線 l:3x+y+5=0 的距離 d 必須大于圓的半徑 .因?yàn)閐=,所以0<r<.從而應(yīng)填(0, ). 13.解析:設(shè)直線與圓相交于、兩點(diǎn),且弦的長為,則圓心(1,2)到直線的

13、距離等于1,,0. 14. (數(shù)形結(jié)合)由圖形可知點(diǎn)A在圓的內(nèi)部, 圓心為O(2,0)要使得劣弧所對的圓心角最小,只能是直線,所以 三、解答題: 15.解:(1)直線AB的方程是:,則圓心到直線的距離是 由勾股定理 (2)當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時,有,則 由直線方程的點(diǎn)斜式,可得直線AB的方程為: 16.解:(1)圓的方程可化為:,則圓心坐標(biāo)為,半徑 (2)依題意,可設(shè)直線的方程為,則由, 得或,即直線的方程為或 (3)因?yàn)榕c圓相切,切點(diǎn)為,則有,又 故,即 化簡得:,這就是點(diǎn)的軌跡方程 17.解:設(shè),由 得,則 故,即 18【解析】 本小

14、題主要考查直線與圓的方程、點(diǎn)到直線的距離公式,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力、綜合分析問題的能力。滿分16分。 (1)設(shè)直線的方程為:,即 由垂徑定理,得:圓心到直線的距離, 結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式,得: 化簡得: 求直線的方程為:或,即或 (2) 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為,直線、的方程分別為:w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ,即: 因?yàn)橹本€被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等,兩圓半徑相等。由垂徑定理,得::圓心到直線與直線的距離相等。 故有:, 化簡得: 關(guān)于的方程有無窮多解,有: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解之得:點(diǎn)

15、P坐標(biāo)為或。 19.解:(1)方程x2+y2-4x+1=0表示以點(diǎn)(2,0)為圓心,以為半徑的圓. 設(shè)=k,即y=kx,由圓心(2,0)到y(tǒng)=kx的距離為半徑時直線與圓相切,斜率取得最大、最小值.由=,解得k2=3. 所以kmax=,kmin=-. (也可由平面幾何知識,有OC=2,OP=,∠POC=60,直線OP的傾斜角為60,直線OP′的傾斜角為120解之) (2)設(shè)y-x=b,則y=x+b,僅當(dāng)直線y=x+b與圓切于第四象限時,縱軸截距b取最小值.由點(diǎn)到直線的距離公式,得 =,即b=-2, 故(y-x)min=-2-. (3)x2+y2是圓上點(diǎn)與原點(diǎn)距離之平方,故連結(jié)OC,與圓交于B點(diǎn),并延長交圓于C′,則(x2+y2)max=|OC′|=2+, (x2+y2)min=|OB|=2-.

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