課時作業(yè)(四十六)　直線的傾斜角與斜率、直線的方程 一、選擇題 1．直線x＋(a2＋1)y＋1＝0(a∈R)的傾斜角的取值范圍是(　　) A.　　　　　 B. C.∪ D.∪ 解析：斜率k＝－，故k∈[－1,0)，由正切函數(shù)圖象知傾斜角α∈。 答案：B 2．設(shè)A(－2,3)、B(3,2)，若直線ax＋y＋2＝0與線段AB有交點(diǎn)，則a的取值范圍是(　　) A.∪ B. C. D.∪ 解析：直線ax＋y＋2＝0恒過點(diǎn)M(0，－2)，且斜率為－a， ∵kMA＝＝－，kMB＝＝，由圖可知：－a≤－或－a≥，∴a≤－或a≥，故選D。 答案：D 3．如圖，在同一直角坐標(biāo)系中，表示直線y＝ax與y＝x＋a正確的是(　　) A B C D 解析：當(dāng)a＞0時，直線y＝ax的傾斜角為銳角，直線y＝x＋a在y軸上的截距為a＞0，A、B、C、D都不成立； 當(dāng)a＝0時，直線y＝ax的傾斜角為0°，A、B、C、D都不成立； 當(dāng)a＜0時，直線y＝ax的傾斜角為鈍角，直線y＝x＋a在y軸上的截距為a＜0，只有C成立。 答案：C 4．直線l1：3x－y＋1＝0，直線l2過點(diǎn)(1,0)，且它的傾斜角是l1的傾斜角的2倍，則直線l2的方程為(　　) A．y＝6x＋1 B．y＝6(x－1) C．y＝(x－1) D．y＝－(x－1) 解析：由tanα＝3可求出直線l2的斜率 k＝tan2α＝＝－， 再由l2過點(diǎn)(1,0)即可求得直線方程。 答案：D 5．若直線(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x軸上的截距為1，則實(shí)數(shù)m是(　　) A．1 B．2 C．－ D．2或－ 解析：當(dāng)2m2＋m－3≠0時，在x軸上截距為＝1，即2m2－3m－2＝0， ∴m＝2或m＝－。 答案：D 6．函數(shù)y＝asinx－bcosx(ab≠0)的一條對稱軸的方程為x＝，則以向量c＝(a，b)為方向向量的直線的傾斜角為(　　) A．45° B．60° C．120° D．135° 解析：由f(x)＝asinx－bcosx關(guān)于x＝對稱， 得f(0)＝f，代入得a＝－b， ∴向量c＝(a，b)＝(a，－a)＝a(1，－1)， ∴直線的斜率為k＝－1， 即傾斜角α＝135°。 答案：D 二、填空題 7．實(shí)數(shù)x、y滿足3x－2y－5＝0(1≤x≤3)，則的最大值、最小值分別為______、______。 解析：設(shè)k＝，則表示線段AB：3x－2y－5＝0(1≤x≤3)上的點(diǎn)與原點(diǎn)的連線的斜率。 ∵A(1，－1)、B(3,2)。由圖易知： max＝kOB＝， min＝kOA＝－1。 答案：?。? 8．直線l過點(diǎn)P(－1,1)且與直線l′：2x－y＋3＝0及x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形，則直線l的方程為__________。 解析：如圖所示，由直線l、l′與x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形可知：l與l′的傾斜角互補(bǔ)，從而可知其斜率互為相反數(shù)，由l′的方程知其斜率為2，從而l的斜率為－2，又過點(diǎn)P(－1,1)，則由直線方程的點(diǎn)斜式，得 y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0。 答案：2x＋y＋1＝0 9．過點(diǎn)P(－1,2)，且在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍的直線方程是__________。 解析：當(dāng)直線過原點(diǎn)時，方程為y＝－2x；當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時，設(shè)方程為＋＝1，把P(－1,2)代入上式，得a＝，所以方程為x＋2y－3＝0。 答案：y＝－2x或x＋2y－3＝0 三、解答題 10．根據(jù)所給條件求直線的方程。 直線過點(diǎn)(5,10)，且到原點(diǎn)的距離為5。 解析：依題設(shè)知，此直線有斜率不存在的情況。 當(dāng)斜率不存在時，所求直線方程為：x－5＝0； 當(dāng)斜率存在時，設(shè)其為k， 則y－10＝k(x－5)， 即kx－y＋(10－5k)＝0。 由點(diǎn)到線距離公式，得＝5，解得k＝。 故所求直線方程為3x－4y＋25＝0。 綜上知，所求直線方程為x－5＝0或3x－4y＋25＝0。 11．在△ABC中，已知A(5，－2)、B(7,3)，且AC邊的中點(diǎn)M在y軸上，BC邊的中點(diǎn)N在x軸上，求： (1)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)； (2)直線MN的方程。 解析：(1)設(shè)C(x0，y0)， 則AC邊的中點(diǎn)為M， BC邊的中點(diǎn)為N。 ∵M(jìn)在y軸上，∴＝0，x0＝－5。 ∵N在x軸上，∴＝0，y0＝－3。 即C(－5，－3)。 (2)∵M(jìn)，N(1,0)， ∴直線MN的方程為＋＝1， 即5x－2y－5＝0。 12．已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)。 (1)證明：直線l過定點(diǎn)； (2)若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍； (3)若直線l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S，求S的最小值并求此時直線l的方程。 解析：(1)證明：直線l的方程是：k(x＋2)＋(1－y)＝0， 令解之得 ∴無論k取何值，直線總經(jīng)過定點(diǎn)(－2,1)。 (2)由方程知，當(dāng)k≠0時直線在x軸上的截距為－，在y軸上的截距為1＋2k，要使直線不經(jīng)過第四象限，則必須有解之得k＞0； 當(dāng)k＝0時，直線為y＝1，合題意，故k≥0。 (3)由l的方程，得A，B(0,1＋2k)。 依題意得解得k＞0。 ∵S＝·|OA|·|OB| ＝·||·|1＋2k| ＝· ＝ ≥(2×2＋4)＝4， “＝”成立的條件是k＞0且4k＝，即k＝， ∴Smin＝4，此時l：x－2y＋4＝0。