課時(shí)作業(yè)(三十三)　數(shù)列求和 一、選擇題 1．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝，其前n項(xiàng)和Sn＝，則項(xiàng)數(shù)n＝(　　) A．13　　　B．10 C．9 D．6 解析：∵an＝＝1－， ∴Sn＝n－＝n－1＋＝， ∴n＝6。 答案：D 2．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1an＝2n(n∈N*)，則S2 012＝(　　) A．22 012－1 B．321 006－3 C．321 006－1 D．321 005－2 解析：a1＝1，a2＝＝2，又＝＝2。 ∴＝2.∴a1，a3，a5，…成等比數(shù)列；a2，a4，a6，…成等比數(shù)列， ∴S2 012＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋a2 011＋a2 012 ＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2 011)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2 012) ＝＋＝321 006－3。故選B。 答案：B 3．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2bx過(1,2)點(diǎn)，若數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2 012的值為(　　) A. B. C. D. 解析：由已知得b＝，∴f(n)＝n2＋n， ∴＝＝＝－， ∴S2 012＝1－＋－＋…＋－＝1－＝。 答案：D 4．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋an＋1＝(n∈N*)，且a1＝1，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S21＝(　　) A. B．6 C．10 D．11 解析：依題意得an＋an＋1＝an＋1＋an＋2＝，則an＋2＝an，即數(shù)列{an}中的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別相等，則a21＝a1＝1，S21＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20)＋a21＝10(a1＋a2)＋a21＝10＋1＝6，故選B。 答案：B 5．已知函數(shù)f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(　　) A．－100 B．0 C．100 D．10 200 解析：若n為偶數(shù)時(shí)，則an＝f(n)＋f(n＋1)＝n2－(n＋1)2＝－(2n＋1)，為首項(xiàng)為a2＝－5，公差為－4的等差數(shù)列；若n為奇數(shù)，則an＝f(n)＋f(n＋1)＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1，為首項(xiàng)為a1＝3，公差為4的等差數(shù)列。所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝503＋4＋50(－5)－4＝－100。 答案：A 6．在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，an＋1－an＝sin，記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S2 014＝(　　) A．1 006 B．1 007 C．1 008 D．1 009 解析：由an＋1－an＝sin?an＋1＝an＋sin，所以a2＝a1＋sinπ＝1＋0＝1，a3＝a2＋sin＝1＋(－1)＝0，a4＝a3＋sin2π＝0＋0＝0，a5＝a4＋sin＝0＋1＝1，因此a5＝a1，如此繼續(xù)可得an＋4＝an(n∈N*)，數(shù)列{an}是一個(gè)以4為周期的周期數(shù)列，而2 014＝4503＋2，因此S2 014＝503(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＋a2＝503(1＋1＋0＋0)＋1＋1＝1 008，故選C。 答案：C 二、填空題 7．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，則S2 013＝__________。 解析：由a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)可得a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝0，該數(shù)列是周期為4的數(shù)列，所以S2 013＝503(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2 013＝503(－2)＋1＝－1 005。 答案：－1 005 8．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n－1，則a＋a＋…＋a＝__________。 解析：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1， 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1， 又∵a1＝1適合上式?！郺n＝2n－1，∴a＝4n－1。 ∴數(shù)列{a}是以a＝1為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列。 ∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)。 答案：(4n－1) 9．對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)n，設(shè)曲線y＝xn＋1在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，令an＝lgxn，則a1＋a2＋…＋a99＝__________。 解析：曲線y＝xn＋1在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y＝(n＋1)(x－1)＋1，即y＝(n＋1)x－n，它與x軸交于點(diǎn)(xn,0)，則有(n＋1)xn－n＝0?xn＝， ∴an＝lgxn＝lg＝lgn－lg(n＋1)， ∴a1＋a2＋…＋a99＝(lg1－lg2)＋(lg2－lg3)＋…＋(lg99－lg100)＝lg1－lg100＝－2。 答案：－2 三、解答題 10．已知等比數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝3，公比q>1，且3(an＋2＋an)－10an＋1＝0(n∈N*)。 (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。 (2)設(shè)是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和Sn。 解析：(1)因?yàn)?(an＋2＋an)－10an＋1＝0(n∈N*)， 所以3(anq2＋an)－10anq＝0， 即3q2－10q＋3＝0， 又q>1，所以q＝3， 因?yàn)閍1＝3，所以an＝3n。 (2)因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列， 所以bn＋an＝1＋2(n－1)， 即{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n－1－3n－1。 前n項(xiàng)和Sn＝－(1＋3＋32＋…＋3n－1)＋[1＋3＋…＋(2n－1)]＝－(3n－1)＋n2。 11．(20xx山東卷)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知2Sn＝3n＋3。 (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列{bn}滿足anbn＝log3an，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn。 解析：(1)因?yàn)?Sn＝3n＋3， 所以2a1＝3＋3，故a1＝3， 當(dāng)n＞1時(shí)，2Sn－1＝3n－1＋3， 此時(shí)2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝23n－1， 即an＝3n－1， 所以an＝ (2)因?yàn)閍nbn＝log3an，所以b1＝。 當(dāng)n＞1時(shí)，bn＝31－nlog33n－1＝(n－1)31－n。 所以T1＝b1＝； 當(dāng)n＞1時(shí)，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋[13－1＋23－2＋…＋(n－1)31－n]， 所以3Tn＝1＋[130＋23－1＋…＋(n－1)32－n]， 兩式相減，得 2Tn＝＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)31－n ＝＋－(n－1)31－n ＝－， 所以Tn＝－。 經(jīng)檢驗(yàn)，n＝1時(shí)也適合。 綜上可得Tn＝－。 12．(20xx昆明模擬)已知數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＋1，a3＋1，a7＋1成等比數(shù)列。 (1)求{an}的通項(xiàng)公式。 (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn。 解析：(1)由題意，得a3＋1＝a1＋5，a7＋1＝a1＋13， 所以由(a3＋1)2＝(a1＋1)(a7＋1)， 得(a1＋5)2＝(a1＋1)(a1＋13)， 解得a1＝3，所以an＝3＋2(n－1)，即an＝2n＋1。 (2)由(1)知an＝2n＋1，則Sn＝n(n＋2)， ＝， Tn＝ ＝ ＝－。