課時(shí)作業(yè)(五十三)　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 1．已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓E的長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)是拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，且橢圓E的離心率是。 (1)求橢圓E的方程； (2)過(guò)點(diǎn)C(－1,0)的動(dòng)直線與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)。若線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是－，求直線AB的方程。 解析：(1)由題知橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上，且a＝， 又c＝ea＝×＝， 故b＝＝＝， 故橢圓E的方程為＋＝1，即x2＋3y2＝5。 (2)依題意，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x＋1)，將其代入x2＋3y2＝5， 消去y，整理得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0。 設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)。 則 由線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是－，得＝－＝－，解得k＝±，符合(*)式。 所以直線AB的方程為x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0。 2．已知圓C：(x＋)2＋y2＝16，點(diǎn)A(，0)，Q是圓上一動(dòng)點(diǎn)，AQ的垂直平分線交CQ于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為E。 (1)求軌跡E的方程； (2)過(guò)點(diǎn)P(1,0)的直線l交軌跡E于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，△AOB(O是坐標(biāo)原點(diǎn))的面積S＝，求直線AB的方程。 解析：(1)由題意|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝4>2， 所以軌跡E是以A，C為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓， 即軌跡E的方程為＋y2＝1。 (2)記A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由題意，直線AB的斜率不可能為0，而直線x＝1也不滿足條件， 故可設(shè)AB的方程為x＝my＋1。 由消去x得(4＋m2)y2＋2my－3＝0， 所以則S＝|OP||y1－y2|＝＝。 由S＝，解得m2＝1，即m＝±1。 故直線AB的方程為x＝±y＋1，即x＋y－1＝0或x－y－1＝0為所求。 3．已知對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓C1與拋物線C2：x2＝4y有一個(gè)相同的焦點(diǎn)F1，直線l：y＝2x＋m與拋物線C2只有一個(gè)公共點(diǎn)。 (1)求直線l的方程； (2)若橢圓C1經(jīng)過(guò)直線l上的點(diǎn)P，當(dāng)橢圓C1的離心率取得最大值時(shí)，求橢圓C1的方程及點(diǎn)P的坐標(biāo)。 解析：(1)由消去y，得x2－8x－4m＝0， ∵直線l與拋物線C2只有一個(gè)公共點(diǎn)， ∴Δ＝82＋4×4m＝0，解得m＝－4。 ∴直線l的方程為y＝2x－4。 (2)∵拋物線C2的焦點(diǎn)為F1(0,1)， 依題意知橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F1(0,1)，F(xiàn)2(0，－1) 設(shè)橢圓C1的方程為＋＝1(a>1)， 由消去y，得 (5a2－4)x2－16(a2－1)x＋(a2－1)(16－a2)＝0。(*) 由Δ＝162(a2－1)2－4(5a2－4)(a2－1)(16－a2)≥0， 得a4－4a2≥0(a2>0且a2－1>0)，解得a2≥4。 ∵a>1，∴a≥2， ∴e＝≤， 當(dāng)a＝2時(shí)，emax＝，此時(shí)橢圓C1的方程為＋＝1。 把a(bǔ)＝2代入方程(*)，解得x＝。 又y＝2x－4，∴y＝－1， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為。 4．如圖，設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸在x軸上，上頂點(diǎn)為A，左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，線段OF1，OF2的中點(diǎn)分別為B1，B2，且△AB1B2是面積為4的直角三角形。 (1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程。 (2)過(guò)B1作直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，使PB2⊥QB2，求直線l的方程。 解析：(1)設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)，右焦點(diǎn)為F2(c,0)。 因?yàn)椤鰽B1B2是直角三角形，又|AB1|＝|AB2|，所以∠B1AB2為直角，因此|OA|＝|OB2|，則b＝，又c2＝a2－b2，所以4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，c2＝4b2，所以離心率e＝＝。 在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2。 故S＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b2。 由題設(shè)條件S＝4得b2＝4，從而a2＝5b2＝20。 因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1。 (2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)。 由題意知直線l的傾斜角不為0， 故可設(shè)直線l的方程為x＝my－2。 代入橢圓方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0。 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1，y2是上面方程的兩根， 因此y1＋y2＝，y1·y2＝－。 又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)， 所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2 ＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2 ＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16 ＝－－＋16＝－， 由PB2⊥QB2，得·＝0， 即16m2－64＝0，解得m＝±2。 所以滿足條件的直線有兩條，其方程分別為x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0。